Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. (Die Sinuslinie als Uebergangsbogen.) Von Ingenieur Robert Edler, k. k. Professor, Wien. (Schluß von S. 620 d. Bd.) Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. Im Interesse der Betriebssicherheit soll die Schienenüberhöhung nicht so weit getrieben werden, daß die Innenschiene eine zu starke Neigung nach außen erhält. Da gemäß den „Technischen Vereinbarungen des Vereines Deutscher Eisenbahn-Verwaltungen über den Bau und die Betriebseinrichtungen der Haupt-Eisenbahnen“ die Schienen eine Innenneigung von 1 : 20 erhalten sollen, um der Kegelform der Radreifen zu entsprechen und um einen erhöhten Widerstand gegen die nach außen wirkenden Seitenkräfte zu bieten, so steht die Innenschiene schon bei HE = 0,075 m = 75 mm lotrecht; es empfiehlt sich daher nicht, die Schienenüberhöhung HE größer als 0,1 m bis 0,125 m (100 mm bis 125 mm) zu wählen, wenn auch hie und da größere Werte vorkommen. Nach der Gleichung 45 wird dann aber: H_E=\frac{0,0118\,.\,\sqrt2}{R_E}\,<\,0,125 (Meter) . . 75) Wählt man zur Vereinfachung der Zahlenrechnungen den Wert HE = 0,118 (Meter), dann wird der Maximalwert der Fahrgeschwindigkeit: \left{{V^2=10\,.\,R_E\ \ \ \ }\atop{V=3,16\,.\,\sqrt{R_E}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 76) Diese Formel liefert folgende Zahlen: Tabelle 5. ReMeter V2 = 10 ∙ RE– Vkm f. d. Std.   100   1000 31,6   200   2000 44,7   300   3000 54,8   400   4000 63,3   500   5000 70,7   600   6000 77,5   800   3000 89,5 1000 10000 100 Nach der „Eisenbahn-Bau- und Betriebs-Ordnung für die deutschen Eisenbahnen“ dürfen folgende Maximalwerte der Geschwindigkeit V nicht überschritten werden: Tabelle 6. RE Meter         = 180 200 300 400 1000 1300 V km f. d. Std. = 45 50 65 75 105 120 In Belgien rechnet man nach folgender Formel: V = 3 ∙ √RE, also V2 = 9 ∙ RE. . . 77) Diese Formel gibt nachstehende Werte: Tabelle 7. REMeter V2 = 9 ∙ RE– Vkm f. d. Std.   100   900 30   200 1800    42,5   300 2700 52   400 3600 60   500 4500    67,2   600 5400    73,5   800 7200 85 1000 9000 95 In Oesterreich dagegen ist die Formel V=4\,.\,\sqrt{R_E-50} . . . . . 78) üblich; dieselbe liefert folgende Zahlenwerte: Tabelle 8. RE Meter         = 219 275 374 450 675 V km i. d. Std. =   52   60   72   80 100 Textabbildung Bd. 325, S. 633 Fig. 17. Die Werte der Tabellen 5, 6, 7 und 8 sind in der Fig. 17 eingetragen, und man sieht daraus, daß man den in Deutschland und Oesterreich üblichen Werten durch die Formel V = 3,5 ∙ √Re V2 = 12,25 RE . . 79) in sehr befriedigender Weise nahe kommen kann; diese Formel gibt folgende Zahlwerte (in Fig. 17 gleichfalls eingetragen): Tabelle 9. REMeter √RE– V = 3,5 . √REkm i. d. Std.   169 13   45,5   196 14   49,0   256 16   56,0   324 18   63,0   400 20   70,0   625 25   87,5   900 30 105,0 1089 33 115,5 1296 36 126,0 Die befriedigende Uebereinstimmung der Werte der Formel 79 berechtigt uns, bei den späteren Berechnungen diese Zahlen zugrunde zu legen. Man kann sich jetzt mit Hilfe der Gleichung 45 leicht ein Bild über die größte zugehörige Ueberhöhung machen, denn es wird nach Gleichung 79: \begin{array}{rcl}H_E=\frac{0,0118\,.\,V_2}{R_E}=\frac{0,0118\,.\,12,25\,.\,R_E}{R_E}&=&0,14455\mbox{ m}\\ &=&144,55\mbox{ mm}.\end{array} Dieser Wert kann im Sinne der obigen Erörterungen gerade noch als zulässig angesehen werden, wenn er auch schon ziemlich hoch liegt. Ein Unterausschuß des Technischen Ausschusses des Vereines Deutscher Eisenbahn-Verwaltungen, der unter anderem auch eine Gebrauchsformel für die Spurerweiterung in Kurven aufstellteVergl.: Die Eisenbahntechnik der Gegenwart, 2. Band, 2. Abschnitt, 2. Auflage 1908; Wiesbaden, Verlag Kreidel; Seite 148 und 151., empfiehlt für die Schienenüberhöhung folgende Formel: H_E=K\,.\,\frac{V}{R} . . . . . . 80) wobei K = 0,5 bis 0,7 zu setzen ist und für V die Werte nach Gleichung 78 anzunehmen sind. Im allgemeinen haben sich die größeren Werte der Schienenüberhöhung als günstiger erwiesen, wenn sich auch bisher keine vollkommen aufgeklärte Gesetzmäßigkeit feststellen ließ, obwohl diesbezügliche Versuche vom Verein Deutscher Eisenbahn-Verwaltungen angestellt wurden.Organ für die Fortschritte des Eisenbahnwesens 1899, Seite 238.) Berechnet man aus der Gleichung 80 mit Benutzung der Formel 78 (Tab. 8) die Werte für die Schienenüberhöhung HE, so erhält man für K = 0,7: Tabelle 10. REMeter Vkm f. d. Std. H_E=0,7\,.\,\frac{R_E}{V}Meter HEmm 219275374450675   52  60  72  80100 0,1660,1530,1350,1250,104 166153135125104 Mittelwert    136,6 Die vorstehenden Formeln, die ihr Entstehen den Erfahrungen und Bedürfnissen der Eisenbahnbetriebspraxis verdanken, zeigen zwar in ihren Ergebnissen einige Unterschiede, die jedoch innerhalb mäßiger Grenzen bleiben und allen Formeln annähernd gleich große Berechtigung zukommen lassen; die „theoretische“ Formel H_E=\frac{0,0118\,.\,V^2}{R_E} . . . . 45) kann aber bei alleiniger Berücksichtigung schon aus dem Grunde allen Verhältnissen der Praxis nicht ganz gerecht werden, weil sie nur für einzelne Achsen gilt; solche freilaufende einzelne Achsen kommen aber im Eisenbahnbetrieb gar nicht vor. Ueberdies weist schon die Gleichung 45 darauf hin, daß noch eine Beziehung zwischen den Größen HE, V und RE hinzugefügt werden muß, um die eindeutige Berechnung der Unbekannten zu ermöglichen; diese Beziehung ist eben in einer der Gleichungen 76–80 enthalten. Sobald dann V oder RE als unabhängig veränderliche Größe gewählt ist, können alle anderen Größen ohne Schwierigkeit berechnet werden. Um die Anwendung der verschiedenen Formeln, Tabellen und Kurven vollkommen klar zu machen, wollen wir zum Schluß zwei Zahlenbeispiele durchrechnen. 1. Beispiel. Es ist ein sinusförmiger Gleisbogen zu berechnen für V = 100 km i. d. Std. und für φ° = 60°, d.h. also, für einen Winkel 2 φ° =120° zwischen den Anschlußgeraden. Aus der Gleichung 79, welche nach den obigen Ausführungen den praktisch bewährten Verhältnissen gut entspricht, erhält man als Krümmungsradius im Scheitel E den Wert: R_E=\frac{V^2}{12,25}=\frac{10000}{12,25}=816,33\mbox{ m.} Die Gleichung 45 liefert die zugehörige Schienenüberhöhung: H_E=\frac{0,0118\,.\,V^2}{R_E}=0,0118\,.\,12,25=0,1445_5\mbox{ m}=144,55\mbox{ mm.} (Bemerkenswert ist der Umstand, daß HE durch die Gleichung 79 unabhängig von V und RE festgelegt ist; die Gleichung 79 ist eben als „Gebrauchsformel“ ein Erfahrungsgesetz und keine theoretische Formel.) Die Länge l der halben Sehne zwischen den Bogenanfangspunkten A und B läßt sich aus der Gleichung 25 bestimmen; es wird mit tang φ = tang 60°= √3 = 1,73205: l=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{R_E}{\mbox{tang}\,\varphi}=\frac{\pi}{2\,.\,\sqrt{3}}\,.\,816,33=740,33\mbox{ m.} Die Entfernung der beiden Bogenanfangspunkte A und B vom Schnittpunkte C der beiden Anschlußgeraden kann mit Hilfe der Gleichung 23 bestimmt werden, und man erhält mit sin φ = sin 60° = 1/2 ∙ √3: T=\frac{l}{\mbox{sin}\,\varphi}=\frac{740,33}{\sqrt3}\,.\,2=854,86\mbox{ m.} Die Bogenanfangspunkte A und B können also jetzt von C aus auf den Anschlußgeraden abgesteckt werden, indem die Entfernung T dabei benutzt wird. Die richtige Lage der beiden Punkte A und B kann sodann überprüft werden, weil die gegenseitige Entfernung dieser beiden Punkte gleich 2 ∙ l sein muß. Aus der Gleichung 21 findet man weiter die Größe r1 (m), welche bei den theoretischen Betrachtungen an früherer Stelle als Längeneinheit benutzt worden war; es wird r1= 2/π ∙ l = 2/π ∙ 740,33 = 471,31 m. Zur Kontrolle der bisherigen Berechnungen benutzen wir die beiden Gleichungen: \mbox{tang}\,\varphi=\frac{r_1}{r}\left(=\frac{l}{h}\right) . . . . . 23) R=\frac{{r_1}^2}{r} . . . . . . 15) und finden leicht mit tang φ = tang 60° = √3: r=\frac{r_1}{\mbox{tang}\,\varphi}=\frac{471,31}{\sqrt3}=272,11\mbox{ m;} R=R_E=\frac{471,31^2}{272,11}=816,33\mbox{ m} (wie oben). Es empfiehlt sich, diese Kontrollrechnung durchzuführen, weil man sich dadurch in einfachster Weise gegen Rechenfehler schützen kann. Nach Feststellung dieser Hauptergebnisse kann man nunmehr aus der Gleichung: C\,.\,m=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{{R_E}^2}{\mbox{tang}\,\varphi} . . . . 74) den Wert für (C ∙ m) berechnen und erhält: C\,.\,m=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{816,33^2}{\sqrt3}=604353,3 Nach der Hilfstabelle 4 ist für φ = 60°: m_0=\frac{Z_0}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=1,020262 (Z0 ‰ Steig. i. Bogenanfg.) m_m=\frac{Z_m}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=1 (Zm ‰ mittlere Steigung) m_{max}=\frac{Z_{max}}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=1,263087 (Zmax ‰ maximale Steig.) und man erhält daher die zugehörigen Werte C0, Cm und Cmax, wie folgt: C_0=\frac{604353,3}{1,020262}=592351,0, Cm = 604353,3, C_{max}=\frac{604353,3}{1,263087}=478473,2,0. Diese Werte für C übersteigen den weiter oben angeführten größten Wert C = 24000 um ein Bedeutendes; der Grund dafür ist darin zu suchen, daß hier in dem ganzen Gleisbogen von ziemlich beträchtlicher Länge (halbe Sehnenlänge l = 740,33 m) die Steigung der Ueberhöhungsrampe eine sehr mäßige ist, weil sie sich auf die ganze Strecke vom Bogenanfang A bis zum Scheitel E verteilt, während bei der üblichen Art der Verbindung zweier gerader Gleisstrecken durch einen Kreisbogen im Verein mit zwei Uebergangskurven die volle Schienenüberhöhung schon im Anfangspunkt des Kreisbogens vorhanden sein muß, so daß die Ueberhöhungsrampe ganz in der Uebergangskurve untergebracht werden muß, was natürlich ein wesentlich stärkeres Uebergangsgefälle erforderlich macht (gewöhnlich 2 ∾ 3 ‰). In der Tat wird hier mit l = 740,33 m und HE = 0,14455 m aus Gleichung 73: Z_0=1000\,.\,m_0\,.\,\frac{H_E}{l}=1020,262\,.\,\frac{0,14455}{740,33}=0,199207 Z_m=1000\,.\,m_m\,.\,\frac{H_E}{l}=1000\,.\,\frac{0,14455}{740,33}=0,195251 Z_{max}=1000\,.\,m_{max}\,.\,\frac{H_E}{l}=1263,087\,.\,\frac{0,14455}{740,33}=0,246619 als Steigung der Ueberhöhungsrampe in m f. 1000 m. Wie man erkennt, ist die Steigung an allen Stellen der Ueberhöhungsrampe außerordentlich gering, denn sie beträgt nur etwa 0,2 ‰ gegenüber jenen Werten, wie sie bei der üblichen Anordnung der Gleiskrümmung mit Uebergangskurven angenommen werden, entsprechend dem üblichen Werte C = 24000 in der Formel: C=\frac{0,0118\,V^2}{\left(\frac{Z}{1000}\right)} . . . . . 74) Berechnet man diesen letzteren Wert, so erhält man nämlich mit V= 100 km f. d. Std.: \frac{Z}{1000}=\frac{0,0118\,.\,10000}{24000}=\frac{4,91667}{1000}=4,91667\ ‰ Es ist nach den Ergebnissen der vorstehenden Berechnungen nicht zu bezweifeln, daß die Fahrt in dem sinusförmigen Gleisbogen außerordentlich sanft erfolgen wird, da sowohl die Gleiskrümmung als auch die Schienenüberhöhung durchwegs sehr flache Uebergänge aufweist; nur im Bogenanfang wird eine flache Ausrundung der Ueberhöhungsrampe erforderlich, die sich auf eine kurze Strecke in die geraden Anschlußgleise hinein erstrecken muß, um die Unstetigkeit der Ueberhöhungsrampe (Längenprofil) an dieser Stelle unschädlich zu machen. Allerdings wird die Länge des ganzen Gleisbogens, wenn derselbe als Sinuskurve ausgeführt wird, naturgemäß größer als bei Anordnung eines Kreisbogens samt Uebergangskurven, doch kann dies im vorliegenden Falle kaum als eine besondere Unannehmlichkeit bezeichnet werden, da ja doch Fahrgeschwindigkeiten bis zu 100 km f. d. Std. überhaupt nur dort zulässig sind, wo genügend flache Kreisbögen (hier 816,33 m) eingelegt werden können, d.h. also in flachem, annähernd ebenem Terrain, wo in den meisten Fällen die Trassenführung keine Schwierigkeiten macht. Die Berechnung einzelner Kurvenpunkte kann mit Hilfe der Gleichungen 32 – 35 im Sinne der Fig. 11 leicht durchgeführt werden; dabei wird die Tab. 2 gute Dienste leisten, da sie die bequeme Berechnung von neun Zwischenpunkten zwischen dem Bogenanfang und dem Scheitel ermöglicht. Die zugehörige Schienenüberhöhung HM läßt sich mit Hilfe der Gleichung 46 und der Tab. 2 berechnen. 2. Beispiel. Es ist ein sinusförmiger Gleisbogen zu berechnen, der zwei geraden Strecken mit einander verbindet, welche einen Winkel 2 ∙ φ = 90 ° einschließen; die maximale Fahrgeschwindigkeit sei V = 60 km f. d. Stunde. Aus der Gleichung 79 erhält man: R_E=\frac{V^2}{12,25}=\frac{3600}{12,25}=293,88 Meter. Die Gleichung 45 liefert die zugehörige Schienenüberhöhung: H_E=\frac{0,0118\,.\,V^2}{R_E}=0,0118\,.\,12,25=0,14455\mbox{ m}=144,55\mbox{ mm.}. Aus der Gleichung 25 kann man jetzt die halbe Länge (0 der Sehne A – B bestimmen; es wird mit tang φ = tang 45° = 1: l=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{R_E}{\mbox{tang}\,\varphi}=\frac{\pi}{2}\,.\,293,88=461,63 Meter. Mit Hilfe der Gleichung 23 kann man jetzt auch die Lage des Bogenanfangspunktes A bestimmen und erhält mit sin φ = sin 45° = 1/2 ∙ √2: T=\frac{l}{\mbox{sin}\,\varphi}=461,63\,.\,\sqrt2=652,84\mbox{ m.} Die Berechnung der Längeneinheit r1 (m) kann mit Hilfe der Gleichung 21 vorgenommen werden; man erhält: r1 = 2/π ∙ l = 2/π ∙ 461,63 = 293,88 m (= RE!                                                       wegen φ = 45°). Nach Gleichung 23 ist mit φ = 45°, also tang φ = 1: r = r 1 und daher nach Gleichung 15: R = RE– r12/r = r1, wie oben. Aus der Gleichung 74 erhält man: C\,.\,m=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{{R_E}^2}{\mbox{tang}\,\varphi}=\frac{\pi}{2}\,.\,293,88^2=135662,5. Nach der Hilfstabelle 4 ist für φ = 45°: m_0=\frac{Z_0}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=0,555360 m_m=\frac{Z_m}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=1 m_{max}=\frac{Z_{max}}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=1,604523 und man erhält daher die zugehörigen Werte C0, Cm und Cmax, wie folgt: C_0=\frac{135662,5}{0,555360}=244278,5 Cm = 135662,5 C_{max}=\frac{135662,2}{1,604523}=84549,9 Zur Berechnung der Steigung der Ueberhöhungsrampe benutzen wir die Gleichung 73 und erhalten mit l = 461,63 m und HE = 0,14455 m: Z_0=1000\,.\,m_0\,.\,\frac{H_E}{l}=555,360\,.\,\frac{0,14455}{461,63}=0,173900 Z_m=1000\,.\,m_m\,.\,\frac{H_E}{l}=1000\,.\,\frac{0,14455}{461,63}=0,313130 Z_{max}=1000\,.\,m_{max}\,.\,\frac{H_E}{l}=1604,523\,.\,\frac{0,14455}{461,63}=0,502424 als Steigung der Ueberhöhungsrampe in m f. 1000 m. Auch hier ist die Steigung an allen Stellen der Ueberhöhungsrampe nur ein Bruchteil jener Steigung, die sich aus der theoretischen Formel Gleichung 74 mit C = 24000, bezw. mit C = 12000 berechnen ließe; im Zusammenhange damit steht die Tatsache, daß die soeben berechneten Werte von C wesentlich größer sind als jene Werte, die bei der gebräuchlichen Art der Anordnung der Bahnkrümmungen (Kreisbogen und Uebergangskurve) üblich sind. Die Berechnung einzelner Kurvenpunkte kann wieder mit Hilfe der Gleichungen 32 bis 35 durchgeführt werden (vergl. Fig. 11 und Tab. 4). Die zugehörige Schienenüberhöhung HM an der betreffenden Stelle der Gleiskurve kann mit Hilfe der Gleichung Hm = K ∙ HE . . . . . . 46) berechnet werden. Die Werte für K sind den entsprechenden Werten der Tab. 2 reziprok.