Der Spannungszustand von Schwungrädern bei gleichförmiger Rotation. Von Otto Mies, Charlottenburg. Der Spannungszustand von Schwungrädern bei gleichförmiger Rotation. Die Spannungen in Schwungrädern rühren, abgesehen von den durch Riemen oder Seile übertragenen Kräften, von den Massenkräften her, die infolge der zentripetalen und tangentialen Beschleunigungen bei der Rotation entstehen. Ausschließlich zentripetale Beschleunigungen treten bei Umdrehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, also im normalen Betriebe, auf. Dazu kommen bei Aenderungen der Winkelgeschwindigkeit durch Stöße oder Durchgehen der Maschine noch tangentiale Beschleunigungen, deren Einfluß aber meist gegenüber den Zentrifugalwirkungen gering ist. Beide Spannungszustände sollen in zwei getrennten Aufsätzen behandelt werden, von denen sich der vorliegende mit dem durch die Zentrifugalkräfte hervorgerufenen beschäftigt. Die erste Berechnung der im Schwungradkörper sowohl durch zentripetale, wie auch durch tangentiale Beschleunigungen hervorgerufenen Spannungen veröffentlichte Grashof im Jahre 1866 in seinem Buche „Die Festigkeitslehre“. Numerische Tabellen zur bequemeren Anwendung der Grashofschen Formeln gab Krüger im Jahre 1872 in der „Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure“ heraus. Durchsichtigere Formeln als Grashof entwickelte KöchyKöchy, Ueber Schwungradexplosionen, Verh. d. Ver. z. Bef. d. Gewbfl. 1886. S. 25. in einer Arbeit aus dem Jahre 1886. Den Spannungszustand infolge der tangentialen Beschleunigungen ermittelt er im Gegensatz zu Grashof ohne Annäherung. Eine etwas abweichende Behandlung beider Spannungszustände gibt GöbelGöbel, Ueber Schwungradexplosionen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1898, S. 352. in einer im Jahre 1898 veröffentlichten Arbeit. In einem ZusatzGöbel, Ueber Schwungradexplosionen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1899 S. 237.) sucht derselbe die Wirkungen der Fliehkraft der Kranzverbindungen zu berechnen. Im Jahre 1905 wurde eine weitere Schwungradberechnung von Tolle in seinem Buche: „Die Regelung der Kraftmaschinen“ veröffentlicht. Derselbe bestimmt zum ersten Mal den Einfluß der Verjüngung der Arme durch ein graphisches Verfahren. In der formalen mathematischen Behandlung weichen alle Arbeiten mehr oder weniger voneinander ab. Ohne im einzelnen auf eine Kritik der erwähnten Rechnungsmethoden einzugehen, läßt sich behaupten, daß das regelmäßige Auftauchen neuer Methoden in gewissen Zeiträumen ein Beweis dafür ist, daß die vorhandenen den Interessen des praktischen Ingenieurs nicht vollkommen genügen, sei es, daß sie den Einblick in die Spannungserscheinungen und deren Abhängigkeit von den Konstruktions- und Betriebsgrößen nicht genügend erleichtern, sei es, daß ihre Endergebnisse sich nicht zu einer einfachen numerischen Berechnung eignen. Fußend auf den Erfahrungen mit den bestehenden Rechnungsmethoden, wurde bei dem im folgenden entwickelten Verfahren versucht, gerade in diesen beiden Punkten Fortschritte zu erzielen und ein Ergebnis zu erlangen, welches qualitativ durchsichtig und zahlenmäßig genügend genau mit Hilfe des Rechenschiebers zu bestimmen ist. 1. Grandzüge des Rechnungsganges. In einem frei rotierenden kreisförmigen Ringe, dessen Umfangsgeschwindigkeit in der Schwerpunktsfaser gleich v ist, entsteht unter der Voraussetzung, daß seine Höhe gering im Vergleich zum Krümmungsradius ist, in radialen Querschnitten die gleichmäßig verteilte Zugspannung σ1= γ1/gv2 . . . . . . 1) wenn γ1 das spezifische Gewicht des Ringmaterials bedeutet. Besitzt der Ring ein symmetrisches Armkreuz, das ihn mit der Nabe verbindet, so wird die Spannungsverteilung durch die Zugkräfte beeinflußt, die von den Armen auf den Ring übertragen werden. Daß von den Armen nicht auch Schubkräfte oder Biegungsmomente auf den Ring übertragen werden, folgt daraus, daß die Armmittellinien Symmetrieachsen sind. Die zwischen den Armen und dem Kranz wirkenden Zugkräfte Z sind demnach charakteristisch für die Beanspruchung des Rades. Sie kommen unter folgenden Bedingungen zustande. Textabbildung Bd. 325, S. 692 Fig. 1. Das Armkreuz werde längs der Innenfläche des Kranzes von diesem abgeschnitten. Rotieren in diesem Zustande Kranz und Armkreuz unabhängig voneinander mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω, so vergrößert sich infolge der Zentrifugalwirkung der Kranzmassen der Schwerpunktsradius r des Kranzes, und annähernd auch der Radius der inneren Kranzfaser A um das Stück ρc, das sich nach Gleichung 1 ohne weiteres ergibt zu \rho_c=\frac{\sigma_1}{E_1}\,.\,r=\frac{\gamma_1}{g\,E_1}\,r^3\,\omega^2 . . . .  2) wenn mit E1 der Elastizitätsmodul des Kranzmaterials bezeichnet wird, während sich die Arme infolge der Zentrifugalkräfte ihrer Massen um die noch zu bestimmende Strecke λc verlängern. Die geringe Ausdehnung der Nabe bleibe unberücksichtigt. Da λc stets kleiner ist als ρc, so klaffen die Schnittfugen um die Strecken ρc – λc, wie Fig. 1 andeutet. Textabbildung Bd. 325, S. 693 Fig. 2. Die in Wirklichkeit in den Schnittfugen auftretenden Zugspannungen rufen an dem Kranz radial nach innen, an den Armen radial nach außen gerichtete Zugkräfte Z hervor, welche den Kranz an den Armstellen um die Strecken ρz radial nach innen biegen (Fig. 2), und die Arme um die Strecken λz verlängern, und so dafür sorgen, daß in Wirklichkeit keine Fugen entstehen. Es muß also zwischen den durch die Rotation und den durch die Zugkräfte Z hervorgerufenen Längenänderungen die Beziehung bestehen ρz + λz = ρc – λc . . . . . 3) Setzt man, da ρz und λz proportional der Zugkraft Z sind, ρz= u ∙ Z und λz = w ∙ Z, . . . . 4) so ergibt sich aus Gleichung 3 Z=\frac{\rho_c-\lambda_c}{u+w} . . . . . . 5) Die Zugkraft Z kann also nach Berechnung der Formierungen ρ und λ von Kranz und Armen als bekannt angenommen werden. Die Spannungen in Kranz und Armen setzen sich, wie die Formänderungen, aus solchen zusammen, die durch die Rotation, und solchen, die durch die Zugkräfte Z verursacht werden. Die einzelnen Anteile werden gepennt zum Teil mit Hilfe der als bekannt zu betrachtenden Zugkraft Z bestimmt und schließlich mit Berücksichtigung des Richtungssinnes zusammengefügt. Für den Gang der Berechnung ergibt sich also folgende Reihenfolge: Bestimmung der Formänderungen ρ und λ. Entwicklung des Ausdrucks für die Zugkraft Z. Berechnung der Spannungen. 2. Die Einbiegungen ρz des Kranzes an den Armgellen. Aus dem Kranze werde durch Schnitte in zwei benachbarten Armmittelebenen ein Segment mit dem Zentriwinkel 2 α herausgeschnitten (Fig. 3). Alle derartigen Segmente befinden sich der Symmetrie wegen durch die Kräfte Z in demselben Spannungs- und Deformationszustande. Die in den Schnittflächen aa und bb auftretenden entsprechenden Spannungen müssen gleich groß und symmetrisch zur Mittelachse ∞ des Segmentes gerichtet sein. Sie lassen sich zu einer Normalkraft P0 und einem Moment M0 zusammenfassen. Eine Schubkraft kann der Symmetrie halber nicht vorhanden sein. Radial nach innen gerichtet wirkt noch in jeder Schnittfläche die halbe Armzugkraft Z/2. Zur Bestimmung der radialen Durchbiegungen ρz der Enden des Segments ist die Kenntnis von P0 und M0 nötig. Textabbildung Bd. 325, S. 693 Fig. 3. P0 findet sich aus dem Gleichgewicht der am Segment angreifenden Kräfte, für welches die Gleichung P0∙ sin α = Z/2 ∙ cos α gilt: P0 = Z/2 ∙ ctg α . . . . . . 6) Zur Bestimmung von M0 steht die Deformationsbedingung zur Verfügung, daß die Aenderung Δα des Winkels α bei der Verbiegung des Kranzes gleich Null sein muß. Diese Bedingung lautet \Delta\,\alpha=\int\limits_0^{\alpha}\,\frac{M}{E_1\,J}\,r\,d\,\varphi=0, wenn M das in beliebigem, um den Winkel φ zur Symmetrieachse oo geneigten Querschnitt (Fig. 3) herrschende Biegungsmoment, und J das Trägheitsmoment des Kranzquerschnitts bedeuten. Das Moment M findet sich aus der Gleichgewichtsbedingung M = M0 + P0 ∙ r (1 – cos (α – φ)) – Z/2 ∙ r ∙ sin (α – φ) mit Hilfe der Gleichung 6 zu M=M_0+Z/_2\,.\,r\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}\,(\mbox{cos}\,\alpha-\mbox{cos}\,\varphi) . 7) Die Deformationsbedingung lautet jetzt \rho=\frac{r}{E_1\,J}\,\left\{M_0\,\alpha+Z\_2\,.\,r\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}\,(\mbox{cos}\,\alpha\,.\,\alpha-\mbox{sin}\,\alpha)\right\} woraus sich findet M_0=Z/_2\,.\,r\,\left(\frac{1}{\alpha}-\mbox{ctg}\,\alpha\right) . . . . 8) Die Einbiegung ρz ist der Weg, den die Kräfte Z/2 in den Schnittflächen bei der Verbiegung zurücklegen, wobei sie eine Arbeit A= 1/2 ∙ Z/2 ∙ ρz . . . . . 9) leisten. Da weder P0 noch M0 bei der Durchbiegung des Segments eine Arbeit leisten, ist A auch die Größe der Formänderungsarbeit, die in jeder Hälfte des Segments vom Zentriwinkel α geleistet wird. In beliebigem, um den Winkel φ gegen die Symmetrieachse o... o geneigtem Querschnitt herrscht das Biegungsmoment M, die Normalkraft P und die Schubkraft S (Fig. 3). Vernachlässigt man die geringe Wirkung der Schubkraft auf die Formänderungsarbeit, so ergibt sich für sie der Ausdruck A=\frac{1}{2}\,\int\limits_0^{\alpha}\,\frac{M^2}{E_1\,J}\,r\,d\,\varphi+\frac{1}{2}\,\int\limits_0^{\alpha}\,\frac{P^2}{E_1\,F}\,r\,d\,\varphi . 10) wenn mit F die Querschnittsfläche des Kranzes bezeichnet wird. M ergibt sich aus Gleichung 7 mit Hilfe der Gleichung 8. P findet sich aus der Gleichgewichtsbedingung P = P0 ∙ cos (α – φ) + Z/2 sin (α – φ) mit Hilfe der Gleichung 6. Demnach hat man \left{{M=Z/_2\,.\,r\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\mbox{cos}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\right)}\atop{P=\frac{\mbox{cos}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right\}\ .\ .\ .\ .\ 11) womit Gleichung 10 in die Form übergeht A=\frac{1}{2}\,\frac{Z^2}{4}\,\left\{\frac{r^3}{E_1\,J}\,\int\limits_0^{\alpha}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\mbox{cos}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\right)^2\,d\,\varphi+\frac{r}{E_1\,F}\,\int\limits_0^{\alpha}\,\frac{\mbox{cos}^2\,\varphi}{\mbox{sin}^2\,\alpha}\,d\,\varphi\right\} A=\frac{1}{2}\,\frac{Z^2}{4}\,\left\{\frac{r^3}{E_1\,J}\,\left(\frac{1}{2}\,\left[\mbox{ctg}\,\alpha+\frac{\alpha}{\mbox{sin}^2\,\alpha}\right]-\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{r}{E_1\,F}\,.\,\frac{1}{2}\,\left[\mbox{ctg}\,\alpha+\frac{\alpha}{\mbox{sin}^2\,\alpha}\right]\right\} oder in abgekürzter Schreibweise A=\frac{Z^2}{4}\,\left(\frac{r^3}{E_1\,J}\,m+\frac{r}{E_1\,F}\,n\right) . . . 12) \left{{m=\frac{1}{4\,\mbox{sin}\,\alpha}\,\left(\mbox{cos}\,\alpha+\frac{\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}\right)-\frac{1}{2\,\alpha}}\atop{n=\frac{1}{4\,\mbox{sin}\,\alpha}\,\left(\mbox{cos}\,\alpha+\frac{\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}\right)}\ \ \ \ \ \ \ }\right\}\ .\ .\ .\ 12\mbox{a}) Durch Gleichsetzung der Werte für A nach den Gleichungen 9 und 12 findet sich für die Einbiegung \rho_z=Z\,\left(\frac{r^3}{E_1\,J}\,m+\frac{r}{E_1\,F}\,n\right) 13) und für den Wert u nach Gleichung 4 u=\frac{r^3}{E_1\,J}\,.\,m+\frac{r}{E_1\,F}\,.\,n . . . 13a) Bei der numerischen Ausrechnung kann man die Werte für m und n der Tab. 1 entnehmen, die für die üblichen Winkel α, d.h. für die üblichen Armzahlen berechnet ist. 3. Die Verlängerungen λz und λc der Arme. Die Verlängerungen, welche die Arme durch die Zugkraft Z und die Zentrifugalkraft ihrer eigenen Massen erleiden, sind verschieden, je nachdem die Arme prismatisch oder verjüngt sind. Bedeuten f den Querschnitt eines prismatischen Armes, l die Armlänge, zwischen Nabe und Kranz gemessen, rn den Halbmesser der Nabe, γ das spezifische Gewicht des Armmaterials, E den Elastizitätsmodul des Armmaterials, so gelten für prismatische Arme die allgemein bekannten Formeln: \lambda_z=\frac{Z}{E\,f}\,.\,l . . .  . . . . 14) \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,l^2\,\left(\frac{l}{3}+\frac{r_n}{2}\right)Ueber die Ableitung dieser Formel s.u.a. Tolle, Die Regelung der Kraftmaschinen, 1905, S. 119. . . . 14a) Formeln für die entsprechenden Werte verjüngter Arme, die verschieden sind, je nachdem die Arme konisch oder keilförmig verjüngt sind, habe ich vor einiger Zeit veröffentlicht.Mies, Die Dehnungen verjüngter Schwungradarme, D, p. J. 1910, S. 358. Diese Werte lassen sich in der Form schreiben \lambda_z=\epsilon_z\,.\,\frac{Z}{E\,f_i}\,.\,l . . . . . 15) \lambda_c=\epsilon_c\,.\,\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,l^2\,\left(\frac{l}{3}+\frac{r_n}{2}\right) . . 15a) indem man die Verlängerung des verjüngten Armes als das Vielfache der Verlängerung eines prismatischen Armes von beliebigem Querschnitt fi darstellt. Nennt man Höhen- und Breitendimensionen der Arme an der Nabe ai und bi, am Kranz a und b, und wählt als den Querschnitt fi des zu substituierenden prismatischen Armes den an der Nabe gelegenen, so ergibt sich aus den Gleichungen 2 und 4 des genannten Aufsatzes über die Dehnungen verjüngter Schwungradarme für konische Arme \epsilon_z=\frac{a_i}{a}=\frac{b_i}{b} . . . . . . 16) für keilförmige Arme \epsilon_z=\frac{a_i\,b_i}{a_i\,b-a\,b_i}\,ln\,\frac{a_i\,b}{a\,b_i} . . . 16a) Die Koeffizienten εc lassen sich nach den Gleichungen 6, 9 und 10 des genannten Aufsatzes bestimmen, aber nicht in so einfacher Form anschreiben, wie die Koeffizienten εz. Zahlen werte für dieselben sind in dem genannten Aufsatze für verschiedene Verjüngungsverhältnisse a/ai und b/bi in einer Tabelle zusammengestellt. Die Verlängerungen λz und λc der Arme werden also durch die Gleichungen 15 und 15a in allgemeiner Form dargestellt; für prismatische Arme im besonderen sind die Koeffizienten e = 1 zu setzen. Für den Faktor w nach Gleichung 4 findet sich w=\epsilon_z=\frac{l}{E\,f_i} . . . . . . 17) 4. Die zwischen Arm und Kranz wirkende Zugkraft Z. Mit Hilfe der Werte für ρc und λc nach den Gleichungen 2 und 15 a, sowie derer für u und w nach den Gleichungen 13a und 17 findet sich für die Armkraft Z nach Gleichung 5 Z=\frac{\frac{\gamma_1}{g\,E_1}\,r^3\,\omega^2-\epsilon_c\,\frac{\gamma}{g\,E}\,l^2\,\omega^2\,\left(\frac{l}{3}+\frac{r_n}{2}\right)}{\frac{r^3}{E_1\,J}\,m+\frac{r}{E_1\,F}\,+\epsilon_z\,\frac{l}{E\,f_i}}. Setzt man zur Abkürzung l^2\,\left(\frac{l}{3}+\frac{r_n}{2}\right)={r_1}^3 und \frac{J}{r^2}=F_1, . . 18) so wird mit ω2r2 = v2 Z=\frac{\gamma_1}{g}\,v^2\,.\,F\,\frac{1-\epsilon_c\,\frac{\gamma}{\gamma_1}\,\frac{E_1}{E}\,\left(\frac{r_1}{r}\right)^3}{\frac{F}{F_1}\,m+n+\epsilon_z\,\frac{E_1}{E}\,\frac{F}{f_i}\,\frac{l}{r}} Nennt man die im frei rotierenden Schwungring entstehende Zugkraft Z1, und bedenkt, daß Z_1=\frac{\gamma_1}{g}\,v^2\,.\,F=\sigma_1\,.\,F . . . . 19) so ergibt sich Z=Z_1\,.\,\frac{1-\epsilon_c\,\frac{\gamma}{\gamma_1}\,\frac{E_1}{E}\,\left(\frac{r_1}{r}\right)^3}{\frac{F}{F_1}\,m+n+\epsilon_z\,\frac{E_1}{E}\,\frac{F}{f_i}\,\frac{l}{r}} . . 20) Im besonderen findet sich für Räder mit dem gleichen Kranz- und Armmaterial. Tabelle 1. Armzahl a° m n ctg α \frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha} \frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha} \frac{1}{\alpha}-\mbox{ctg}\,\alpha \frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha}-\mbox{cos}\,\alpha} \frac{1}{1-\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha}} 6 30° 0,0016806 0,9566 1,7321 2,0000 0,0901 0,1778 9,7 22,2 8 22° 30' 0,0006906 1,2739 2,4142 2,6131 0,0666 0,1323 18,2 39,2 10 18° 0,0003094 1,5919 3,0777 3,2360 0,0528 0,1055 29,2 61,3 Z=Z_1\,\frac{1-\epsilon_c\,\left(\frac{r_1}{r}\right)^3}{\frac{F}{F_1}\,m+n+\epsilon_z\,\frac{F}{f_1}\,\frac{l}{r}} . . . . . . 20a) Aus den Gleichungen 20 bezw. 20 a läßt sich Z mit Hilfe der in den Tabellen enthaltenen Werte für m, n und εc leicht berechnen. Sie zeigen auch deutlich den Einfluß der einzelnen Konstruktionsgrößen. 5. Die Spannungen im Schwungkranz. Die Spannungen setzen sich wie die Deformationen aus zwei Teilen zusammen. Zu der durch die Rotation im freien Kranz hervorgerufenen in allen Querschnitten gleichen und gleichmäßig verteilten Zugspannung σ1, die durch Gleichung 1 gegeben ist, kommen noch die Spannungen hinzu, welche durch die Zugkraft Z bei der Verbiegung des Kranzes erzeugt werden. Diese sind in verschiedenen Querschnitten verschieden, wiederholen sich aber in den zwischen zwei benachbarten Armen liegenden Kranzsegmenten periodisch (Fig. 3). In einem um den Winkel φ gegen die Symmetrieachse des Segments geneigten Querschnitt sind dies, abgesehen von den zu vernachlässigenden Schubspannungen, die Normalspannungen σ2 und σ3, welche durch die Normalkraft P und das Biegungsmoment M erzeugt werden. Die Werte für P und M sind in den Gleichungen 11 ermittelt, so daß sich für die Spannungen findet \left{{\sigma_2=-\frac{P}{F}=-\frac{Z}{2}\,\frac{1}{F}\,\frac{\mbox{cos}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\atop{\sigma_3=\pm\,\frac{M}{W}=\pm\,\frac{Z}{2}\,\frac{r}{W}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\mbox{cos}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\right)}}\right\} wenn W das entsprechende Widerstandsmoment des Kranzquerschnitts bedeutet. Das Minuszeichen vor dem Ausdruck für σ2 deutet an, daß dieselbe eine Druckspannung ist, während die Spannung σ3 je nach ihrer Lage zur neutralen Faser eine Zug- oder Druckspannung sein wird. Für die Gesamtspannung σ im Kranze findet sich nun σ = σ1 + σ2 + σ3  . . . . . . . . . . .22) Die gefährlichen Spannungen sind stets Zugspannungen. Sie nehmen extreme Werte für φ = α und φ = 0 an, d.h. in den Querschnitten an den Armen und mitten zwischen den Armen. Dabei ruft das Moment M an den Armstellen die größte Zugspannung in der inneren Kranzfaser, für die das Widerstandsmoment Wi gelte, hervor, während es mitten zwischen zwei Armen die größte Zugspannung in der äußeren Kranzfaser erzeugt, für die das Widerstandsmoment mit Wa bezeichnet sei. An diesen beiden Stellen, die durch die Indizes a und m gekennzeichnet werden, entstehen demnach gemäß den Gleichungen 21 die Spannungen \sigma_{2a}=-\frac{Z}{2}\,\frac{\mbox{ctg}\,\alpha}{F},\sigma_{3a}=\frac{Z}{2}\,\frac{r}{W_i}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\mbox{ctg}\,\alpha\right) 23) bezw. \sigma_{2m}=-\frac{Z}{2}\,\frac{1}{F}\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha},\sigma_{3m}=\frac{Z}{2}\,\frac{r}{W_a}\,\left(\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right) 23a) Die in den Gleichungen 23 und 23a vorkommenden Funktionen des Winkels α können bei der numerischen Berechnung der Tab. 1 entnommen werden. Durch Vergleich der sich ganz oder zum Teil aufhebenden Spannungen σ2a und σ3a bezw. σ2m und σ3m nach den Gleichungen 23 und 23a, kann man von vornherein ohne weitläufige Rechnungen bestimmen, ob die Gesamtspannungen σa und σm größer oder kleiner als die Spannung a1 werden. Die Beziehung σa ≤ σ1 besteht unter der Bedingung σ2a ≥ σ3a, oder nach Gleichung 23, wenn \frac{F\,.\,r}{W_i}\,\leq\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha}-\mbox{cos}\,\alpha} . . . . . . . . . . 24) Aehnlich wird σm ≤ σ1 unter der Bedingung a2m ≥ < σ3m, oder nach Gleichung 23a, wenn \frac{F\,.\,r}{W_a}\,\leq\,\frac{1}{1-\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha}} . . . . . . . . .24a) Gilt in einer der Beziehungen 24 und 24a das Gleichheitszeichen, so wird die entsprechende Gesamtspannung σa oder σm gleich der im freien Schwungring auftretenden Zugspannung σ1 Für die eine oder andere der Spannungen trifft das bei ausgeführten Rädern gelegentlich zu, für beide gleichzeitig, so viel sich feststellen ließ, nicht, obschon sich das unter Umständen erreichen läßt. Die Werte für die in den Beziehungen 24 und 24a vorkommenden Winkelfunktionen sind in Tab. 1 enthalten. Die Nachrechnung an ausgeführten Rädern ergibt, daß die Spannung an den Armstellen meist größer ist als die mitten zwischen zwei Armen. Mit Rücksicht auf gute Ausnutzung der Festigkeit des Kranzmaterials könnte man zu erreichen suchen, daß beide Spannungen gleich groß sind. Das ist der Fall, wenn σ2a+ σ3a= σ2m+ σ3m, oder nach den Gleichungen 23 und 23 a, wenn \frac{\mbox{ctg}\,\alpha}{F}-\frac{r}{W_i}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\mbox{ctg}\,\alpha\right)=\frac{1}{F\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{r}{W_a}\,\left(\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right) 25) Nach der Tab. 1 kann man bei den bei Schwungradkonstruktionen üblichen Winkeln a in erster Annäherung \mbox{ctg}\,\alpha\,\sim\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha} und \frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\mbox{ctg}\,\alpha\right)\,\sim\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha} . 26) setzen, womit aus Gleichung 25 folgt Wi ~ Wa oder \eta_i\,\sim\,\frac{1}{2}\,\eta_a . . . . . . . 27) wenn man mit ηi und ηa die Abstände der inneren bzw. äußeren Kranzfaser von der neutralen Faser bezeichnet. Der Schwerpunkt des Kranzquerschnittes muß also ungefähr in ein Drittel der Kranzhöhe, von der inneren Faser aus gerechnet, liegen, wenn die beiden Maximalspannungen gleich groß werden sollen. Das muß auch neben den Bedingungen 24 und 24a der Fall sein, wenn beide Gesamtspannungen gleich σ1 sein sollen. (Schluß folgt.)