ÜBER DAS AUSKNICKEN STABFÖRMIGER KÖRPER. Von Otto Mies, Charlottenburg. (Fortsetzung von S. 181 d. Bd.) MIES: Ueber das Ausknicken stabförmiger Körper. 4. Bisher war von der Knickung eines Stabes die Rede, an dessen Enden je eine Druckkraft angreift, dessen Achsenendpunkte auf einer Geraden frei verschieblich sind und dessen Querschnitte gleiches Trägheitsmoment besitzen. Es fragt sich nun, wie der Gleichgewichtszustand eines Stabes zu untersuchen ist, der in einer beliebigen Anzahl von Punkten durch achsial gerichtete Kräfte so belastet ist, daß in allen Querschnitten Druckspannungen herrschen, von dem beliebig viele Punkte in gemeinsamer Geraden verschieblich gelagert sind, gleichgültig, ob dort die Stabachse gezwungen ist, ihre ursprüngliche Richtung beizubehalten oder nicht, und der sich aus einer beliebigen endlichen Anzahl von Teilen zusammensetzt, deren Querschnitte verschiedene Trägheitsmomente besitzen.Vergl. Wittenbauer, Die Knicklast mehrfach befestigter Stäbe, Zeitschr. d. Vereins deutsch. Ing. 1902, S. 501. Desgl. Die Verallgemeinerung der Eulerschen Knicklast, Zeitschrift d. Vereins deutsch. Ing. 1903, S. 245. Dondorf, Die Knickfestigkeit des geraden Stabes... 1907, Diss. Aachen. Es sei zunächst vorausgesetzt, daß die Kräfte in der ursprünglichen Stabachse wirken. Dann kann nirgendwo eine zur Stabachse senkrechte Kraft auftreten. Die elastische Linie des Stabes setzt sich aus einer Anzahl von Aesten zusammen, von denen jeder für einen Stabteil gültig ist, auf dessen Länge der Ausdruck m=\frac{P}{E\,J} konstant ist, unter P die auf jeden Querschnitt des Stabteiles wirkende Druckkraft verstanden. Jeder dieser Aeste der elastischen Linie ist dargestellt durch eine Gleichung von der Form y=\frakfamily{A}\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x+\frakfamily{B}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x. s. Gleichung 3, S. 177. Besitzt die elastische Linie des Stabes n Aeste, so sind in deren Gleichungen 2 n Integrationskonstanten \frakfamily{A} und \frakfamily{B} enthalten. Die an den Auflagerstellen sowie zwischen zwei benachbarten Aesten zu erfüllenden Grenzbedingungen liefern ein System von linearen Gleichungen für die Integrationskonstanten, deren Koeffizienten Funktionen der den Stab belastenden Kräfte darstellen. Im vorliegenden Falle sind die Gleichungen homogen, da die Gleichungen der einzelnen Aeste der elastischen Linie keine von den Unbekannten freie Glieder enthalten. Sie sind also für alle Werte der Koeffizienten erfüllt, wenn sämtliche Integrationskonstante gleichzeitig gleich Null sind, d.h. wenn der Stab gerade ist; oder aber für beliebige Werte der Integrationskonstanten, d.h. bei beliebiger Verbiegung des Stabes, wenn die aus den Koeffizienten gebildete Determinante N = 0. Da die Koeffizienten Funktionen der am Stabe angreifenden Druckkräfte sind, stellt die Gleichung N = 0 eine Beziehung zwischen diesen Kräften dar. Für jedes System von Kräften, welches diese Gleichung befriedigt, sind die Größen der Durchbiegungen des Stabes beliebig, d.h. der Stab befindet sich unter Wirkung eines solchen Kräftesystems im indifferenten Gleichgewicht. Bei einem Kräftesystem, welches die Bedingung N = 0 nicht befriedigt, ist das Gleichgewicht des Stabes im geraden Zustande entweder stabil oder labil, und zwar im allgemeinen stabil, wenn irgend eine der Kräfte kleiner ist als diejenige, welche im Verein mit den übrigen die Gleichung N = 0 erfüllen würde, labil, wenn sie größer ist. Die Gleichung N = 0 kann man demnach als die Knickbedingung bezeichnen. Sie läßt sich in jedem Belastungs- und Lagerungsfalle mit geringer Mühe anschreiben. 5. Fallen die Wirkungslinien der Kräfte nicht mit der ursprünglichen Stabachse zusammen, sondern bilden sie kleine Winkel φ mit derselben, oder besitzen sie ihr gegenüber kleine Exzentrizitäten e, so wirken an den Belastungs- und Auflagerstellen auch Kräfte senkrecht zur Stabachse, deren Größen von e und φ abhängig sind. Die elastische Linie setzt sich in diesem Falle aus so viel Aesten zusammen, als Stabteile vorhanden sind, die keine Unstetigkeiten in Belastung und Querschnittsform aufweisen. Die Gleichung eines jeden dieser Aeste der elastischen Linie hat, wenn wieder m=\frac{P}{E\,J} gesetzt wird, die Form y=\frakfamily{A}\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x+\frakfamily{B}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x+\frac{S}{P}\,(s+x), wo S die Querkraft des Querschnittes mit der Abszisse x bedeutet und s + x deren Hebelarm, also s deren Abstand von der Stelle x = 0. Die Querkräfte S sind abhängig von der Größe der Druckkräfte P, der Lage ihrer Angriffspunkte und den Exzentrizitäten bezw. Winkelneigungen φ. Wenn die Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Querkräfte S und ihrer Hebelarme s nicht ausreichen, sind in den Gleichungen der einzelnen Aeste der elastischen Linie außer den Integrationskonstanten \frakfamily{A} und \frakfamily{B} noch andere Unbekannte enthalten. Zur Bestimmung sämtlicher Unbekannten läßt sich mit Hilfe der Grenzbedingungen stets eine genügende Anzahl von Gleichungen aufstellen. Diese bilden dann ein System homogener linearer Gleichungen, wenn sämtliche Exzentrizitäten e und sämtliche Winkel φ nicht konstante Werte besitzen, sondern vom Durchbiegungszustand abhängig sind. Das ist z.B. der Fall, wenn die Kräfte ursprünglich in der Stabachse wirken, sich aber bei der Durchbiegung des Stabes so verschieben, daß ihr Angriffspunkt auf der Stabachse bleibt, oder ihre Richtung so ändern, daß dieselbe stets parallel zur Tangente an die Stabachse bleibt. Bezeichnet man die Determinante aus den Koeffizienten der Unbekannten der aufgestellten Gleichungen mit N, so ist auch hier N = 0 die Knickbedingung. Textabbildung Bd. 327, S. 198 Fig. 5. Sind jedoch die Exzentrizitäten e oder die Winkel φ zum Teil oder insgesamt konstant, d.h. von der Durchbiegung unabhängig, so besitzen die aus den Grenzbedingungen gewonnenen Gleichungen von Unbekannten freie Glieder, d.h. sie sind nicht mehr homogen. Dasselbe ist der Fall, wenn auf den Stab noch irgendwelche konstante Kräfte senkrecht zur Achse wirken. Durch das gleichzeitige Verschwinden sämtlicher Unbekannten werden die Gleichungen jetzt nicht mehr befriedigt, d.h. ein Gleichgewichtszustand des Stabes bei gerader Stabachse ist nicht mehr vorhanden, der Stab beginnt vielmehr sich bei der geringsten Belastung zu krümmen. Die zwischen Durchbiegungen und Belastungen bestehenden Beziehungen lassen sich stets durch Auflösen der aufgestellten Gleichungen bestimmen. In allen Fällen ergeben sich aus der Rechnung unendlich große Werte für die Unbekannten, d.h. unendlich große Durchbiegungen, wenn die Determinante N aus den Koeffizienten der Unbekannten gleich Null ist. Wenn auch diese Lösung der Gleichungen keine physikalische Bedeutung hat,Vergl. Artikel 3. so hat man damit doch ein System von Belastungen gekennzeichnet, das für den Stab unbedingt gefährlich ist. Dieses System ist von den konstanten Werten der Exzentrizitäten e, der Winkelneigungen φ und der zur Achse senkrecht wirkenden Kräfte unabhängig, es ist, wie sich leicht einsehen läßt, dasselbe, bei welchem für genau zentrisch wirkende Belastung der Gleichgewichtszustand des geraden Stabes indifferent wird. Es zeigt sich also, daß der Einfluß von Abweichungen der Kraftrichtungen von der ursprünglichen Stabachse in diesem allgemeinen Belastungsfalle derselbe ist, wie er im Artikel 3 für den Spezialfall des nur an den Enden belasteten Stabes geschildert ist. 6. Zur Erläuterung der beiden letzten Artikel mögen einige einfache Beispiele hier Platz finden: a. Ein Stab sei durch zwei Kräfte P belastet, deren Wirkungslinie in die ursprüngliche Stabachse fällt (Fig. 5). Die Enden der Stabachse A und B seien drehbar und verschieblich auf einer festen Geraden gelagert. Die eine der Kräfte P greife an einem Stabende an, die andere an einem Punkte C der ursprünglichen Stabachse, so daß an dieser Stelle auf den Stabquerschnitt eine Druckkraft und ein der Durchbiegung proportionales Biegungsmoment übertragen wird. Das in Frage kommende Hauptträgheitsmoment des Stabquerschnittes auf dem Teil a sei mit Ja, das auf dem Teil b mit Jb bezeichnet. Alle übrigen Bezeichnungen sind aus der Figur zu entnehmen. Es soll die Knickbedingung gesucht werden. Die elastische Linie des Stabes setzt sich aus zwei Aesten zusammen, von denen sich der eine über den Teil a, der andere über den Teil b erstreckt. Die Differentialgleichungen der beiden Aeste lauten E\,J_a\,\frac{d^2\,y_a}{d\,{x_a}^2}=-P\,y_a E\,J_b\,\frac{d^2\,y_b}{d\,{x_b}^2}=0 Textabbildung Bd. 327, S. 198 Fig. 6. Durch Integration folgt mit m=\frac{P}{E\,J_a} . . . . 8) y_a=\frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x_a+\frakfamily{B}_a\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x_a y_b=\frakfamily{A}_b\,x_b+\frakfamily{B}_b, als Gleichungen der elastischen Linie, deren Integrationskonstante \frakfamily{A} und \frakfamily{B} sich aus den Grenzbedingungen ya bezw. yb = 0 für xa bezw. xb = 0 ya = yb und \frac{d\,y_a}{d\,x_a}=-\frac{d\,y_b}{d\,x_b}   „  xa = a und xb = b bestimmen. Es finden sich die Gleichungen \frakfamily{B}_a=0 \frakfamily{B}_b=0 A_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a -\frakfamily{A}_b\,b=0 A_a\,\sqrt{m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,a +\frakfamily{A}_b=0 Bezeichnet man die Knickkraft mit Pk und setzt entsprechend Gleichung 8 m=\frac{P_k}{E\,J_a} . . . . 8a) so ergibt sich die Knickbedingung als die Nenner-Determinante des homogenen Gleichungspaares \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &-b\\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&1 \end{matrix}\right|=0 . . . . 9) Dieselbe stellt eine transzendente Gleichung zur Bestimmung von \frakfamily{m} bezw. Pk dar. b. Die Belastung des Stabes sei jetzt in der Weise abgeändert, daß (Fig. 6) die bei C angreifende Kraft P einen konstanten Hebelarm e gegenüber der ursprünglichen Stabachse besitze, und daß außerdem dort eine zur Stabachse senkrechte Kraft Q wirke. Die bei A und B auftretenden Auflagerkräfte haben dabei die in der Figur eingeschriebene Größe. Für die beiden Aeste der elastischen Linie finden sich aus den Differentialgleichungen E\,J_a\,\frac{d^2\,y_a}{d\,{x_a}^2}=-P\,y_a+\left(P\,\frac{e}{l}-Q\,\frac{b}{l}\right)\,x_a E\,J_b\,\frac{d^2\,y_b}{d\,{x_b}^2}=-\left(P\,\frac{e}{l}+Q\,\frac{a}{l}\right)\,x_b die Gleichungen in endlicher Form y_a=\frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x_a+\mbox{B}_a\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x_a+\left(\frac{e}{l}-\frac{Q}{P}\,\frac{b}{l}\right)\,x_a y_b=-\left(P\,\frac{e}{l}+Q\,\frac{a}{l}\right)\,\frac{{x_b}^3}{6\,E\,J_b}+\frakfamily{A}_b\,x_b+\frakfamily{B}_b, woraus sich mit Hilfe der für den Fall a angegebenen Grenzbedingungen die Gleichungen \frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a-\frakfamily{A}_b\,.\,b=-\left(P\,\frac{e}{l}+Q\,\frac{a}{l}\right)\,\frac{b^3}{6\,E\,J_b}-\left(\frac{e}{l}-\frac{Q}{P}\,\frac{b}{l}\right)\,a \frakfamily{A}_a\,\sqrt{m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,a+\frakfamily{A}_b=\left(P\,\frac{e}{l}+Q\,\frac{a}{l}\right)\,\frac{b^2}{2\,E\,J_b}-\left(\frac{e}{l}-\frac{Q}{P}\,\frac{b}{l}\right) und unter Berücksichtigung der Gleichung 8a die Knickbedingung Gleichung 9 ergibt. Die Knickbedingung hat sich demnach, wie in Artikel 5 allgemein begründet ist, durch Einführung der konstanten Exzentrizität sowie der Kraft Q nicht geändert. Jedoch ergaben sich in diesem Falle für die Knickkraft rechnungsmäßig unendlich große Durchbiegungen, während dieselben im vorigen Fall unbestimmt blieben. Textabbildung Bd. 327, S. 199 Fig. 7. c. Die Anfangsbelastung sei die unter a behandelte, doch sei die Kraft genötigt, ihren ursprünglichen Angriffspunkt auf der gebogenen Stabachse beizubehalten, also die Verschiebung f des Angriffspunktes C mitzumachen (Fig. 7). Die Differentialgleichungen der beiden Aeste der elastischen Linie lauten jetzt E\,J_a\,\frac{d^2\,y_a}{d\,{x_a}^2}=-P\,y_a+P\,\frac{f}{l}\,x_a E\,J_b\,\frac{d^2\,y_b}{d\,{x_b}^2}=-P\,\frac{f}{l}\,x_b woraus durch Integration folgt y_a=\frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x_a+\frakfamily{B}_a\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x_a+\frac{f}{l}\,x_a y_b=-P\,\frac{f}{l}\,\frac{{x_b}^3}{6\,E\,J_b}+\frakfamily{A}_b\,x_b=\frakfamily{B}_b. Mit den Grenzbedingungen, ya = 0 bezw. yb = 0 für xa = 0 bezw. xb = 0 ya = f „ yb = f „ xa = a „ xb = b \frac{d\,y_a}{d\,x_a}=-\frac{d\,y_b}{d\,x_b} „ xa = a „ xb = b findet sich das Gleichungssystem \frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a-f\,\frac{b}{l}=0 \frakfamily{A}_a\,\sqrt{m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,a+\frakfamily{A}_b+f\,\frac{1}{l}\,\left(1-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{2}\right)=0 \frakfamily{A}_b\,b-f\,\left(1+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^3}{6\,l}\right)=0 und daraus unter Berücksichtigung der Gleichung 8a die Knickbedingung \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ &0&-\frac{b}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&1&\frac{1}{l}\,\left(1-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{2}\right)\\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &b&-\left(1+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^3}{6\,l}\right) \end{matrix}\right|=0 oder nach einer einfachen Umrechnung \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &-b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&1+\frac{l}{b}-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{3}\end{matrix}\right|=0 . . 10) Textabbildung Bd. 327, S. 199 Fig. 8. d. Die zwischen den Stützen angreifende Druckkraft sei jetzt genötigt, stets in tangentialer Richtung an die elastische Linie zu wirken (Fig. 8). Der Winkel, den sie mit der ursprünglichen Stabachse bildet, sei mit φ bezeichnet. Die in die Richtung der ursprünglichen Stabachse fallende Komponente sei gleich P, dann ist die dazu senkrechte Komponente gleich P tg φ. Die bei A und B entstehenden Auflagerkräfte besitzen die in Fig. 8 eingetragen Werte. Die Gleichungen der beiden Aeste der elastischen Linien lauten jetzt y_a=\frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x_a+\frakfamily{B}_a\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x_a+\left(\frac{f}{l}+\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{b}{l}\right)\,x_a y_b=\frac{P}{E\,J_b}\,\left(\frac{f}{l}-\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{a}{l}\right)\,\frac{{x_b}^3}{6}+\frakfamily{A}_b\,x_b+\frakfamily{B}_b, woraus mit den Grenzbedingungen ya = 0 bezw. yb = 0 für xa = 0 bezw. xb = 0 ya = f „ yb = f „ xa = a „ xb = b \frac{d\,y_a}{d\,x_a}=\mbox{tg}\,\varphi „ \frac{d\,y_b}{d\,x_b}=-\frakfamily{tg}\,\varphi „ xa = a „ xb = b folgt \frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a-f\,\frac{b}{l}+\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{a\,b}{l}=0 \frakfamily{A}_a\,\sqrt{m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,a+\frac{f}{l}-\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{a}{l}=0 \frakfamily{A}_b\,b-f\,\left(1-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^3}{6\,l}\right)-\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^3}{6\,l}=0 \frakfamily{A}_b+f\,\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{2\,l}-\mbox{tg}\,\varphi\,\left(1+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^2}{2\,l}\right)=0, so daß die Knickbedingung sich in folgender Form anschreiben läßt: \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &0-\frac{b}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\frac{a\,b}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&0-\frac{1}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &-\frac{a}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &b-\left(1-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{6\,l}\right)&-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^2}{6\,l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &1-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{2\,l}\ \ \ \ \ \ \ \ &-\left(1+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^2}{2\,l}\right)\end{matrix}\right|=0 Durch Addition der mit \frac{1}{a} multiplizierten letzten Kolonne zur vorletzten findet sich \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &-b\\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&1\end{matrix}\right|=0 d.h. dieselbe Knickbedingung wie im Fall a. Textabbildung Bd. 327, S. 200 Fig. 9. e. Es sei endlich angenommen, daß die Druckkraft stets durch den Punkt C gehe, daß ihre Richtung aber parallel zur Tangente an die elastische Linie in ihrem ursprünglichen Angriffspunkt bleibe (Fig. 9). Dann ergeben sich mit den in die Figur eingetragenen Werten der Kräfte die Gleichungen der beiden Aeste der elastischen Linie y_a=\frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x_a+\frakfamily{B}_a\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x_a+\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{b}{l}\,x_a y_b=\frac{P}{E\,J_b}\,\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{a}{l}\,\frac{{x_b}^3}{6}+\frakfamily{A}_b\,x_b+\frakfamily{B}_b. Hierzu kommen die Grenzbedingungen ya = 0 bezw. yb = 0 für xa = 0 bezw. xb = 0 ya = yb „ xa = a und xb = b \frac{d\,y_a}{d\,x_a}=\mbox{tg}\,\varphi „ \frac{d\,y_b}{d\,x_b}=-\mbox{tg}\,\varphi „ xa = a bezw xb = b welche folgendes Gleichungssystem liefern \frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a-\frakfamily{A}_b\,b+\mbox{tg}\,\varphi\,\left(\frac{a\,b}{l}-\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^3}{l\,6}\right)=0 \frakfamily{A}_a\,\sqrt{m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,a-\mbox{tg}\,\varphi\,\frac{a}{l}=0 \frakfamily{A}_b+\mbox{tg}\,\varphi\,\left(1+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^2}{l\,.\,2}\right)=0, so daß die Knickbedingung lautet: \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &-b&\frac{a\,b}{l}\,\left(1-\frac\{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{6}right)\\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&0&-\frac{a}{l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &1&1+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{a\,b^2}{2\,l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right|=0 Daraus findet sich durch Addition der mit b multiplizierten dritten Zeile zur ersten \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &b\,\left(1+\frac{l}{a}+\frac{P}{E\,J_b}\,\frac{b^2}{3}\right)\\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right|=0 . . . . 11) Um aus den gefundenen Knickbedingungen die Knickkräfte zu ermitteln, setze man √m a = ϕ . . . . . . 12) oder gemäß Gleichung 8a P_k=\varphi^2\,\frac{E\,J_a}{a^2} . . . 12a) und löse die durch die Knickbedingungen dargestellten transzendenten Gleichungen nach φ auf. Man erhält demnach für die Knickkräfte stets Beziehungen von der Form der Gleichung 12a, welche als allgemeiner Fall die sogen. Eulerschen Fälle in sich schließt. f. Zum Schluß sei noch ein Beispiel behandelt, bei dem drei Kräfte auf den Stab wirken. Fig. 10 kennzeichnet die Art der Belastung und Lagerung des Stabes. Auf dem Stabteil c sei das Trägheitsmoment wie auf dem Stabteil b gleich Jb. Die elastische Linie setzt sich aus drei Aesten zusammen, deren Differentialgleichungen lauten E\,J_a\,\frac{d^2\,y_a}{d\,{x_a}^2}=-P\,y_a E\,J_b\,\frac{d^2\,y_b}{d\,{x_b}^2}=-P_2\,y_b E\,J_b\,\frac{d^2\,y_c}{d\,{x_c}^2}=-P_2\,y_c woraus nach Integration mit \left{{m=\frac{P}{E\,J_a}}\atop{n=\frac{P_2}{E\,J_b}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 13) folgt y_a=\frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x_a+\frakfamily{B}_a\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x_a y_b=\frakfamily{A}_b\,\mbox{sin}\,\sqrt{n}\,x_b+\frakfamily{B}_b\,\mbox{cos}\,\sqrt{n}\,x_b y_c=\frakfamily{A}_c\,\mbox{sin}\,\sqrt{n}\,x_c+\frakfamily{B}_c\,\mbox{cos}\,\sqrt{n}\,x_c. Daraus finden sich mit Hilfe der Grenzbedingungen ya = 0 bezw. yb = 0 bezw. yc = 0 für xa = 0 bezw.             xb = 0 bezw. xc = 0   ya = yb für xa = a und xb = b \frac{d\,y_a}{d\,x_a}=-\frac{d\,y_b}{d\,x_b} „ xa = a „ xb = b \frac{d\,y_b}{d\,x_b}=\frac{d\,y_c}{d\,x_c} „ xb = 0 „ xc = 0, Textabbildung Bd. 327, S. 200 Fig. 10. die Gleichungen \frakfamily{A}_a\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a-\frakfamily{A}_b\,\mbox{sin}\,\sqrt{n}\,b=0 \frakfamily{A}_a\,\sqrt{m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,a+\frakfamily{A}_b\,\sqrt{n}\,\mbox{cos}\,\sqrt{n}\,b=0 \frakfamily{A}_b-\frakfamily{A}_e=0 Kennzeichnet man die die Knickung herbeiführenden Kräfte durch den Index k und setzt entsprechend den Gleichungen 13 \left{{m=\frac{P_k}{E\,J_a}}\atop{n=\frac{P_{2k}}{E\,J_b}}}\right\}\ .\ .\ .\ 13\mbox{a}) so ergibt sich die Knickbedingung \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,a\ \ \ \ &-\mbox{sin}\,\sqrt{n}\,b\ \ \ \\\sqrt{m}\,\mbox{cos}\sqrt{m}\,a&\sqrt{n}\,\mbox{cos}\,\sqrt{n}\,b\end{matrix}\right|=0 . . . 14) Zur Auflösung setze man \sqrt{\frakfamily{m}\,a=\varphi und \sqrt{\frakfamily{n}}\,b=\psi . . . 15) und entsprechend Gleichung 13a P_k=\varphi^2\,\frac{E\,J_2}{a^2} und P_{2k}=\varphi^2\,\frac{E\,J_b}{b^2} . . . 15a) so daß sich als Gleichung zur Bestimmung zusammengehöriger Werte von φ und ψ ergibt \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\varphi\ \ \ \ &-\mbox{sin}\,\phi\ \ \\\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi&\frac{a}{b}\,\phi\,\mbox{cos}\,\phi\end{matrix}\right|=0 . . . . 16) (Schluß folgt.)