ÜBER DAS AUSKNICKEN STABFÖRMIGER KÖRPER. Von Otto Mies, Charlottenburg. (Schluß von S. 201 d. Bd.) MIES: Ueber das Ausknicken stabförmiger Körper. 7. Es soll nun gezeigt werden, daß die Ergebnisse des Artikels 5 auch dann noch gültig bleiben, wenn die Stabachse von vornherein eine schwache, sonst aber beliebige Krümmung besitzt. Es liegt in der Natur der Aufgabe, daß hier von einem Gleichgewichtszustand des Stabes bei gerader Stabachse nicht die Rede sein kann. Es zeigt sich aber, daß der Einfluß einer kleinen ursprünglichen Krümmung ähnlich ist wie derjenige der schon besprochenen Abweichungen von den strengen Voraussetzungen. Bezeichnet man mit \frac{1}{\rho_0} die ursprüngliche Krümmung der Stabachse an einer Stelle mit der Abszisse x, die nach der Biegung dort entstehende Krümmung mit \frac{1}{\rho}, so besteht für irgend einen Ast der elastischen Linie, dessen Ordinaten y von der Richtungslinie der dort wirkenden Druckkraft P gemessen werde, die Beziehung \frac{1}{\rho}-\frac{1}{\rho_0}=-\frac{P}{E\,J}\,y, wobei vorausgesetzt werden soll, daß die Kraft P ihre Richtung während der Knickung nicht ändert. \frac{1}{\rho_0} kann man sich für den betrachteten Ast der elastischen Linie als stetige Funktion f(x) von x gegeben denken, und zwar in der Form einer Fourierschen Reihe, so daß man schreiben kann f\,(x)=\Sigma\,a_k\,\mbox{sin}\,k\,\frac{x}{s}+\Sigma\,b_k\,\mbox{cos}\,k\,\frac{x}{s}\,(k=0,\ 1,\ 2\ .\ .\ .\ \infty) wo die Werte a, b und s von der ursprünglichen Form der Stabachse abhängige Konstante bedeuten. Dann ergibt sich als Differentialgleichung der elastischen Linie E\,J\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}=-P\,.\,y+f\,(x), p woraus nach Integration mit m=\frac{P}{E\,J} folgt y=\frakfamily{A}\,\mbox{sin}\,\sqrt{m}\,x+\frakfamily{B}\,\mbox{cos}\,\sqrt{m}\,x+F\,(x,), wo F(x)=\Sigma\,{a_k}'\,\frakfamily{sin}\,k\,\frac{x}{s}+\Sigma\,{b_k}'\,\mbox{cos}\,k\,\frac{x}{s}\,(k=0,\ 1,\ 2\ .\ .\ .\ \infty) und {a_k}'=\frac{a_k}{P-k^2\,P_k},\ {b_k}'=\frac{b_k}{P-k^2\,P_k} ist, wenn P_k=\frac{E\,J}{s^2} gesetzt wird. Aus diesen Gleichungen der einzelnen Aeste der elastischen Linie ergibt sich unter Berücksichtigung der Grenzbedingungen ein System linearer Gleichungen, aus dem in bekannter Weise die Knickbedingung gewonnen wird. Dieselbe unterscheidet sich nicht von derjenigen, welche man für ursprünglich gerade Stabachse findet. Die linearen Gleichungen sind jedoch hier nicht homogen, da beim Einführen der Grenzbedingungen die Funktionen F (x) von den Unbekannten freie Glieder ergeben. Es folgt also, was ohne weiteres einzusehen war, daß der Stab sich schon unter der geringsten Belastung weiterkrümmt. Für ein Kräftesystem, welches die Knickbedingung erfüllt, werden die Durchbiegungen rechnungsmäßig unendlich groß. Die Ergebnisse ändern sich nicht, wie man sich leicht überzeugt, wenn die Druckkräfte P während der Knickung in irgend einer gegebenen Weise ihre Lage und Richtung ändern. 8. Wird ein Stab durch zwei Kräfte auf Knickung beansprucht, so ist, da beide Kräfte des Gleichgewichts wegen gleich groß sind, eine einzige Größe: „die Knickkraft“ kennzeichnend für die Grenze zwischen dem stabilen und dem labilen Gleichgewichtszustand des Stabes. Das Verhältnis der Größe dieser Kraft zu der im normalen Zustand oder Betriebe an ihrer Stelle wirkenden Kraft wird der Sicherheitsgrad gegen Knicken genannt. Dieser gibt das Vielfache an, um welches sich die im normalen Zustand wirkende Kraft vergrößern kann, ehe der labile Gleichgewichtszustand erreicht wird. Beansprucht aber eine beliebige Anzahl von n Kräften den Stab auf Knickung, so erscheint die Knickbedingung – nach Elimination der als Auflagerkraft zu betrachtenden Druckkraft mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung – als eine Gleichung zwischen n – 1 Kräften, für die es also unendlich viele Lösungen gibt. Erreichen die n – 1 Kräfte gleichzeitig die Größen, welche irgend einer Lösung entsprechen, so tritt Knickung auf. Dabei beträgt die Größe einer jeden der die Knickung mitbewirkenden Kräfte ein bestimmtes Vielfache der Größe derjenigen Kraft, welche im normalen Betriebe ein ihrer Stelle wirkt. Man kann also in bezug auf jede der Kräfte von einem Sicherheitsgrad sprechen, so daß einem bestimmten, die Knickung herbeiführenden Belastungsfall n – 1 Sicherheitsgrade der einzelnen Kräfte entsprechen. Von diesen ist der größte für das Eintreten der Knickung insofern charakteristisch, als er das größte Vielfache angibt, das eine der n – 1 Kräfte erreicht haben muß, ehe die Knickung eintritt. Man kann ihn daher als den Sicherheitsgrad der Konstruktion gegen Knickung gegenüber dem bestimmten Belastungsfall, bezeichnen. Bei den unendlich vielen Belastungsfällen, welche möglich sind, wird der so definierte Sicherheitsgrad im allgemeinen verschiedene Werte annehmen. Die Gefahr der Knickung liegt am nächsten bei demjenigen Belastungsfall, bei welchem dieser Wert ein Minimum wird, so daß man diesen Kleinstwert folgerichtig als den Sicherheitsgrad der Konstruktion schlechtweg zu bezeichnen hat. Die weitere Untersuchung werde auf eine bestimmte Art von Belastungen beschränkt, welche in der Praxis meistens vorliegt. Man denke sich ein beliebiges System von Kräften gegeben, welches die Knickbedingung erfüllt und alle Kräfte in demselben konstant gehalten bis auf zwei beliebige. Verkleinert man die eine dieser beiden veränderlichen Kräfte, so ist die Knickbedingung nicht mehr erfüllt. In vielen Belastungsfällen erhält man jetzt wieder ein System von Kräften, welches die Knickbedingung erfüllt, wenn man die zweite der veränderlichen Kräfte in geeigneter Weise vergrößert. Für diese Eigenschaft der Lösungen der Knickbedingung erhält man folgendes mathematische Kriterium. Die zwischen den Knickkräften P1 bis Pn – 1 bestehende Knickbedingung sei F (P1, P2, P3.....Pn – 1) = 0. Dann ist \frac{\partial\,F}{\partial\,P_1}\,d\,P_1+\frac{\partial\,F}{\partial\,P_2}\,d\,P_2+\frac{\partial\,F}{\partial\,P_3}\,d\,P_3+\ .\ .\ .\ +\frac{\partial\,F}{\partial\,P_{n-1}}\,d\,P_{n-1}=0 . . . . . . 17) Nach dem soeben Gesagten muß für zwei beliebige Kräfte Pi und Pk unter der Voraussetzung, daß die übrigen Kräfte konstant sind, die Beziehung \frac{d\,P_i}{d\,P_k}\,<\,0 . . . . . . 18) bestehen. Es ist dann aber \frac{\partial\,F}{\partial\,P_i}\,d\,P_i+\frac{\partial\,F}{\partial\,P_k}\,d\,P_k=0, d.h. \frac{d\,P_i}{d\,P_k}=-\frac{\frac{\partial\,F}{\partial\,P_k}}{\frac{\partial\,F}{\partial\,p_i}}, woraus mit Gleichung 18 folgt \frac{\frac{\partial\,F}{\partial\,P_k}}{\frac{\partial\,F}{\partial\,P_i}}\,>\,0, d.h. die Knickbedingung hat die gekennzeichnete Eigenschaft, wenn alle ihre partiellen Ableitungen nach den Kräften gleiches Vorzeichen haben. Bei einem Belastungsfalle der gekennzeichneten Art kann man von einem die Knickbedingung erfüllenden Kräftesystem zu einem ebensolchen benachbarten nur unter Vergrößerung mindestens einer der Kräfte übergehen, d.h. unter Vergrößerung mindestens einer der Sicherheiten gegenüber den einzelnen Kräften. Man kann also von demjenigen Kräftesystem, für welches die Sicherheiten gegenüber den einzelnen Kräften alle dieselbe Größe \frakfamily{s} besitzen, zu keinem anderen gelangen, bei dem nicht mindestens ein Sicherheitsgrad größer als \frakfamily{s} ist. Daraus folgt, daß \frakfamily{s} der kleinste Sicherheitsgrad aller möglichen Systeme von Knickkräften, d.h. der Sicherheitsgrad der Konstruktion schlechtweg ist. Besitzen die partiellen Ableitungen der Knickbedingung nicht für beliebige Systeme von Knickkräften gleiches Vorzeichen, so kann zwar unter Umständen auch jetzt der vorhin definierte Wert von \frakfamily{s} der Sicherheitsgrad der Konstruktion sein, doch nimmt derselbe unter Umständen einen kleineren oder größeren Wert als g an, worauf indes hier nicht näher eingegangen werden soll. 9. Der zahlenmäßige Wert des im vorigen Artikel definierten Sicherheitsgrades, der bei der Ermittlung der Abmessungen irgend einer Konstruktion auf Grund spezieller Ueberlegungen und Erfahrungen zu wählen ist, ist an bestimmte Grenzen gebunden. Nach unten darf er den Wert 1 nicht unterschreiten, während seine obere Grenze aus der Bedingung hervorgeht, daß in keinem Stabquerschnitt die Druckspannungen zu Beginn der Knickung die Elastizitäts- bezw. Proportionalitätsgrenze überschritten haben dürfen, da die abgeleiteten Beziehungen nur unter der Voraussetzung von Proportionalität zwischen Dehnungen und Spannungen gültig sind. Bedeutet σp die Proportionalitätsgrenze der Druckspannungen, F die Größe eines Stabquerschnitts, P die auf denselben wirkende Druckkraft, \frakfamily{s} den Sicherheitsgrad gegen Knicken und \frakfamily{s}_P den Sicherheitsgrad gegenüber dem Anwachsen der Druckspannungen bis zur Proportionalitätsgrenze, so ist \frakfamily{s}_p\,.\,P\,=\sigma_p\,.\,F \frakfamily{s}\,.\,P=\varphi^2\,\frac{E\,J}{l^2},, da sich nach dem Vorhergegangenen für die Knickkraft stets eine Beziehung von der Form P_k=\varphi^2\,\frac{E\,J}{l^2} findet, wo l die Länge des betrachteten Stabteiles bedeutet. Setzt man J = F i2, so folgt \frac{\frakfamily{s}}{\frakfamily{s}_p}=\varphi^2\,\frac{E}{\sigma_p}\,\frac{1}{(l/1)^2}, d.h. \frakfamily{s}\,<\,\frakfamily{s}_p wenn \frac{l}{i}\,>\,\varphi\,\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}. Die Sicherheit \frakfamily{s} erreicht demnach ihre obere Grenze \frakfamily{s}_p, wenn die „Schlankheit“ des betrachteten Stabteils gleich \varphi\,\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}} ist. Für diese obere Grenze findet sich die Beziehung \frakfamily{s}_p=\frac{\sigma_p\,.\,F}{P}=\frac{\sigma_p}{\sigma} . . . . . . . 19) wenn mit o die als zulässig gewählte Druckspannung in der Stange bezeichnet wird. Ermittelt man mit Hilfe der für den Proportionalitätsbereich abgeleiteten Formeln einen größeren Sicherheitsgrad gegen Knicken als den durch Gleichung 19 bestimmten, so besitzt derselbe keine physikalische Bedeutung und man befindet sich mit dem Glauben an ihn in einem unter Umständen verhängnisvollen Irrtum. Textabbildung Bd. 327, S. 218 Fig. 11.Durchbiegungen bei unelastischer Knickung. Will man sich Klarheit darüber verschaffen, wie weit die Druckspannungen in das unelastische Gebiet hineinwachsen dürfen, ehe Knickung zu erwarten ist, so hat man den Gleichgewichtszustand des Stabes auf Grund des für das Konstruktionsmaterial bekannten Dehnungsgesetzes zu untersuchen. Man findet, daß es auch in diesem Spannungsbereich Kräfte gibt, bei deren Ueberschreiten das Gleichgewicht des geraden Stabes aus dem stabilen in den labilen Zustand übergeht,Engesser, Widerstandsmomente und Kernfigüren bei beliebigem Formänderungsgesetz, Zeitschr. d. Ver. deutsch, lug, 1898, S. 927. und zwar sind diese Knickkräfte, wie zu erwarten ist, kleiner, als sie wären, wenn noch Proportionalität bestände. Die Untersuchung wird vor allem dadurch verwickelter, als sie sich unterhalb der Elastizitätsgrenze gestaltet, weil der Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen auf der Druckseite der für den unelastischen Bereich geltende ist, während auf der Zugseite bei der Entlastung nur die elastischen Formänderungen rückgängig werden. Daher kommt es, daß diese Knickkräfte von der Form der Stabquerschnitte noch in anderer Weise als nur durch das Trägheitsmoment beeinflußt werden. Mit Hilfe dieser Knickkräfte kann man einen Sicherheitsgrad bestimmen, der in der Tat vorhanden ist, wenn die Stabachse ursprünglich gerade und vollkommen zentrisch belastet ist. Kleine Abweichungen von dieser Voraussetzung haben aber bei der unelastischen Knickung einen stärkeren Einfluß als bei der elastischen. Um das zu erkennen, muß man die Abhängigkeit der Durchbiegungen von den Druckbelastungen untersuchen. Eine solche Untersuchung wurde von v. Kármánv. Kármán, Untersuchungen über Knickfestigeit, Mitteilungen über Forschungsarbeiten, herausgegeb. vom Verein deutsch. Ing., Heft 81. für an beiden Enden belastete und mit Schneidenlagerung versehene Stäbe unter der Annahme durchgeführt, daß die Querschnitte auch in dem betrachteten Spannungsbereich bei der Biegung eben bleiben, eine Annahme, die experimentell gut bestätigt ist.Eugen Meyer, Die Berechnung der Durchbiegung von Stäben, deren Material dem Hookeschen Gesetz nicht folgt, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1908, S. 167. Es ergibt sich, daß die Druckkräfte, welche bei der elastischen Knickung in weiten Grenzen von der Durchbiegung unabhängig sind, hier sehr schnell mit wachsender Durchbiegung abnehmen, wie etwa Kurve a b in Fig. 11 veranschaulicht. Bei kleinen Exzentrizitäten der Belastung wird auch hier der Zusammenhang zwischen dieser und den Durchbiegungen durch Kurven dargestellt, welche sich – ähnlich wie in Fig. 4a für die elastische Knickung dargestellt ist – in die Ecke o a b um so enger einschmiegen, je kleiner die Exzentrizität ist. Diese Kurven weisen ein Maximum für die Druckkraft auf, welches schon bei kleinen Exzentrizitäten unterhalb der für den zentrisch belasteten Stab gefundenen Knickkraft liegt. Der für diese Knickkraft bestimmte Sicherheitsgrad wird also schon durch geringe Zufälligkeiten illusorisch. Man tut daher gut daran, den Sicherheitsgrad nur für den elastischen Bereich zu bestimmen, und als seine obere Grenze den durch Gleichung 19 gegebenen Wert zu betrachten. Zum Schlusse möge noch erwähnt werden, daß die beschriebenen Gesetze der Knickung – der elastischen sowohl als der unelastischen – für den an beiden Enden belasteten und mit Spitzenlagerung bezw. Schneidenlagerung versehenen Stab experimentell gut bestätigt sind (vergl. in dieser Hinsicht Kármán a. a. O., Die Zusammenstellung Fig. 3 sowie Abschnitt III).