ELEMENTARE BERECHNUNG DER TURBO-GEBLÄSE UND KOMPRESSOREN. Von Oberingenieur R. von Stein, Karolinental. von STEIN: Elementare Berechnung der Turbo-Gebläse und Kompressoren. Inhaltsübersicht. Es wird gezeigt, wie man auf elementarem Wege unter Vermeidung von Entropiediagrammen sämtliche Abmessungen von Turbo-Gebläsen bezw. Kompressoren ermitteln kann. Die mitgeteilten Methoden werden an Hand eines ausgeführten Turbo-Kompressors erläutert und diskutiert. –––––––––– Für die Berechnung der Dampfturbinen, soweit dieselbe auf rationeller Grundlage erfolgt, wird heute wohl ausschließlich das Wärmediagramm, sei es als T s-Diagramm oder als i s-Diagramm (Mollier), verwendet und mit Recht; denn den verwickelten Vorgängen in den mehrstufigen Dampfturbinen ließe sich auf anderem Wege nur schwer und unvollkommen Rechnung tragen. Textabbildung Bd. 327, S. 241 Fig. 1. Der Gebrauch dieser Diagramme bringt es aber unvermeidlich mit sich, daß man beständig mit einem Begriff arbeiten muß, welcher der Anschauung und damit dem klaren Verständnis schwer zugänglich ist, eben jenem von Professor Peary treffend als „geisterhaft“ bezeichneten Begriff der „Entropie“, mit welchem bisher wohl die meisten nichts rechtes anzufangen wissen, denselben vielmehr als einen rein mathematischen Begriff ohne sinnliche Grundlage hinnehmen. Ist es nun bei den Turbinen, wie schon hervorgehoben, kaum zu vermeiden, diesen Nachteil in Kauf zu nehmen, so liegt die Sache bei einer nahe verwandten Gruppe von umlaufenden Maschinen, nämlich den Turbo-Gebläsen und Kompressoren, wesentlich anders. Hier genügt das alte, jedem Techniker geläufige p v-Diagramm im Verein mit einigen wenigen einfachen Konstruktionen vollkommen, um alle für den Bau dieser Maschinen benötigten Größen in einfacher und namentlich durchsichtiger Weise zu ermitteln. Das Gesagte ist in den wesentlich einfacheren physikalischen Eigenschaften der Luft (allgemein der permanenten Gase) gegenüber jenen des überhitzten Wasserdampfes begründet und es ist der Zweck folgender Zeilen, dies an Beispielen zu erläutern und damit den Konstrukteur vom Gebrauch graphischer Tafeln unabhängig zu machen, die nicht immer zur Hand sind und trotz der Einfachheit des zugrundeliegenden Prinzipes wegen der verwirrenden Menge von Linien viel Uebung bei deren Gebrauch voraussetzen. Textabbildung Bd. 327, S. 241 Fig. 2. Als Verdichtungslinien der permanenten Gase kommen fast nur die sogen. polytropischen Linien, welche dem Gesetze p vn = konst. folgen, in Betracht, und von diesen wieder jene beiden Sonderfälle, welche mit n = 1 und mit n=\frac{c_p}{c_v}=k das isothermische bezw. das adiabatische Verdichtungsgesetz darstellen. Zwischen diesen beiden Linien als Grenzen liegen meist die wirklichen Verdichtungslinien der Turbomaschinen, nur bei völligem Mangel jeder Kühlung erhebt sich die wahre Verdichtungslinie noch über die Adiabate, da die unvermeidlichen Verlustarbeiten im Innern der Maschine der Förderflüssigkeit während ihrer Verdichtung in Gestalt von Wärme zugeführt werden. Die Isotherme kann nach der allgemein bekannten Konstruktion als gleichseitige Hyperbel (Fig. 1), die Adiabate nach der gleichfalls oft verwendeten Methode von Professor Brauer mit den leicht zu merkenden Werten tg ∙ α = ⅓ und tg ∙ β = ½ (Fig. 2) verzeichnet werden. Letzlere Konstruktion hat bei aller Einfachheit und Bequemlichkeit den Nachteil, daß Ungenauigkeiten sich fortpflanzen, da jeder folgende Punkt aus dem nächstvorhergehenden gefunden wird, ferner, daß die Abstände der ermittelten Punkte rasch wachsen, daß man nicht für einen bestimmten Druck ohne weiteres das zugehörige Volumen erhält und daß schließlich für andere Werte von n das Verhältnis zwischen a und β nicht so einfach ist, vielmehr nach der Formel 1 + tg ∙ β = (1 + tg ∙ α)n durch eine logarithmische Rechnung ermittelt werden muß. Textabbildung Bd. 327, S. 242 Fig. 3. Textabbildung Bd. 327, S. 242 Fig. 3a. Von diesen Uebelständen ist die nachfolgende vom Verfasser angegebene Konstruktion frei und dürfte deshalb trotz ihrer etwas größeren Umständlichkeit nicht ohne Interesse sein. Anstatt unmittelbar von der Formel p vn = konst. auszugehen, wählen wir die Formel \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}, welche aus der vorigen Formel durch Verbindung mit der Boyle-Gay-Lussacschen Formel p v = R T erhalten wird. Bezeichnen wir die Anfangs- und Endzustände mit p1, v1, T1, und p2, v2, T2, ferner mit vi das isothermische Endvolumen, so gilt: \frac{p_2}{p_1}=\frac{v_1}{v_i} und \frac{T_2}{T_1}=\frac{v_2}{v_1} was in obige Formel eingesetzt \frac{v_2}{v_i}=\left(\frac{v_1}{v_i}\right)^{\frac{n-1}{n}} zum Vorschein bringt. Setzen wir der Einfachheit halber vi = 1, so erhalten wir v_2=v_1^{\frac{n-1}{n}} und durch Logarithmieren \mbox{log}\,.\,v_2=\frac{n-1}{n}\,.\,\mbox{log}\,.\,v_1 und schließlich: v_2=\mbox{num.}\,\left(\frac{n-1}{n}\,\mbox{log}\,.\,v_1\right). Textabbildung Bd. 327, S. 242 Fig. 4. Dieser Ausdruck kann mit Hilfe einer einfach zu konstruierenden logarithmischen Linie leicht ermittelt werden (Fig. 3 und 3a). Letztere Linie wird in einfachster Weise dadurch erhalten, daß man, von v1 ausgehend, in gleichen, übrigens beliebigen Vertikalabständen wagerechte Ordinaten zieht, deren folgende stets denselben aliquoten Teil der nächstvorhergehenden darstellt. (In Fig. 3a wurde z.B. jede folgende Ordinate = ¾ der nächstvorhergehenden gemacht.) Die Abszissen (von unten nach oben gerechnet) stellen dann die Logarithmen der zugehörigen Ordinaten in einem übrigens gleichgültigen Maßstab dar, bezw. die letzteren die Numeri zu den durch die Abszissen dargestellten Logarithmen. Die Teilung von log. v1 im Verhältnis \frac{n-1}{n} geschieht am einfachsten mittels eines Proportionalwinkels, welcher für jedes beliebige n ohne logarithmische Rechnung leicht ermittelt werden kann. Auf diese Weise ist in Fig. 4 mittels der Isotherme und dem Werte n = k = 1 ∙ 4 die Adiabate für Luft ermittelt worden. Es ist in diesem Falle \frac{n-1}{n}=\frac{k-1}{k}=\frac{0\,.\,4}{1\,.\,4}=\frac{2}{7}=\mbox{tg}\,.\,\alpha zur Ermittlung des Proportionalwinkels α. Da das Verhältnis \frac{v_2}{v_1} gleichzeitig das Verhältnis der absoluten Temperaturen bei polytropischer und isothermischer Verdichtung für den nämlichen Enddruck darstellt, so erhält man durch diese Konstruktion in einfachster Weise für eine gegebene Anfangstemperatur die Endtemperatur des nach einer beliebigen Polytrope auf einen beliebigen Enddruck verdichteten Gases. Umgekehrt läßt sich für eine beliebige Endtemperatur des polytropisch verdichteten Gases der Verlauf der zugehörigen Polytrope sowie der Exponent n ermitteln. Man bestimme aus \frac{v_2}{v_1}=\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_2}{T_1}\ .\ .\ .\ r_2, ermittle mit Hilfe von v2 und vi das schraffierte charakteristische Dreieck und mit Hilfe desselben tg ∙α, dann ist n – 1 = n ∙ tg ∙ α und n=\frac{1}{1-\mbox{tg}\,.\,\alpha}. Textabbildung Bd. 327, S. 243 Fig. 5. Wie weit man sich mit der wirklichen Verdichtungslinie der Isotherme nähern kann, hängt lediglich von der Rückkühlung der Luft während der Verdichtung ab. Früher schaltete man zwischen je zwei Gruppen, in welche der ganze Kompressor aufgelöst wurde, Zwischenkühler nach Art der mehrstufigen Kolbenkompressoren ein, von welcher Methode man aber gegenwärtig mehr und mehr abkommt, indem man sich auf eine intensive Oberflächenkühlung beschränkt. Diese weist hier ganz andere Erfolge als bei Kolbenkompressoren auf, indem die weit besser verteilte Luft in viel innigere Berührung mit den gekühlten Wänden kommt und mit großer Geschwindigkeit an denselben vorbeistreicht. Man kann so bei einem Enddruck von 7 at abs. auf eine Endtemperatur von 75° und noch weniger bei günstigen Kühlverhältnissen gelangen, so daß der Nutzen von besonderen teuren Zwischenkühlern fraglich erscheint. Wir werden auf diesen Gegenstand noch zurückkommen und halten als vorläufiges Ergebnis fest, daß wir den allgemeinen Verlauf der Verdichtungslinie bei einer entsprechend angenommenen Anfangs- und Endtemperatur als polytropische Linie mittels des angegebenen zeichnerischen Verfahrens ermitteln können. Abweichungen vom reinen polytropischen Verlauf werden sich höchstens anfänglich bemerkbar machen, wo der Temperaturunterschied zwischen Luft und Kühlwasser noch geringfügig ist, so daß der untere Teil der Verdichtungslinie im allgemeinen mehr der Adiabate entsprechen (zuweilen selbst über dieselbe steigen) wird, um im weiteren Verlauf ganz allmählich in die Polytrope überzugehen. Jedenfalls wird man bei dieser Art der Bestimmung der Verdichtungslinie kaum willkürlicher vorgehen als bei Verwendung von Entropietafeln. Ist gar keine Rückkühlung vorhanden, was bei Gebläsen mit geringem Druck vorkommt, bei denen die Umständlichkeiten und Mehrkosten der Kühlung durch den Arbeitsgewinn nicht aufgewogen werden, oder eine hohe Lufttemperatur an sich erwünscht ist, so läßt sich die Verdichtungslinie folgendermaßen finden: Sehen wir von der Lagerreibung ab, so werden die gesamten Verlustarbeiten im Innern des Gebläses in Wärme verwandelt, welche, von der geringen Ausstrahlung abgesehen, nur zur Erhöhung der Lufttemperatur verwendet wird. Bei verlustloser Verdichtung würde dieselbe nach der Adiabate verlaufen, da Wärme weder zu- noch abgeführt wird und die erreichte Endtemperatur wäre ta Der sogen. „adiabatische Wirkungsgrad“ ist dann \eta\mbox{ ad}=\frac{c_p\,.\,\frac{1}{A}\,(t_a-t_1)}{c^p\,.\,\frac{1}{A}\,.\,(t_2-t_1)}=\frac{t_a-t_1}{t_2-t_1}, d.h. das Verhältnis der im Gebläseinnern theoretisch geleisteten verlustfreien, zur daselbst wirklich geleisteten Arbeit (bezogen auf 1 kg Luft). Dieser unterscheidet sich dann von dem Gesamtwirkungsgrad η nur durch die mit etwa 3 v. H. zu veranschlagende Lagerreibung. Nehmen wir η = 72 v. H., wie heute für gute Ausführungen angegeben wird, so findet sich η ad = 0,72 + 0,03 = 0,75. Nun ist: vi : va = T1 : Ta oder vi : (va – vi) = T1 : (Ta – T1) und vi : v2 = T1 : T2 oder vi : (v2 – vi) = T1 : (T2 – T1) woraus folgt: \frac{v_a-v_i}{v_2-v_i}=\frac{T_a-T_1}{T_2-T_1}=\frac{t_a-t_1}{t_2-t_1}=\eta\mbox{ ad} Textabbildung Bd. 327, S. 243 Fig. 6. und schließlich: v_2-v_i=\frac{v_a-v_i}{\eta\mbox{ ad}}. Hieraus kann man, da va und vi durch die Isotherme und Adiabate bekannt sind, v2 berechnen: v_2=v_i+\frac{v_a-v_i}{0,75}. Man erkennt aus Fig. 5, daß der adiabatische Wirkungsgrad im p v-Diagramm dargestellt ist durch das Verhältnis der doppelt schraffierten zur ganzen schraffierten Fläche. Durch Beobachtung der Temperaturen t1 und t2 kann man nach Berechnung von ta den adiabatischen Wirkungsgrad und damit auch den Gesamtwirkungsgrad eines vorhandenen Gebläses leicht ermitteln, doch sei ausdrücklich hervorgehoben, daß diese Berechnungsart nur für ungekühlte Gebläse gilt.Bezüglich der dabei vorzunehmenden, übrigens unbedeutenden Berichtigungen siehe: Z. d. V. d. I. 1910, Nr. 40. Hat man nach vorstehendem das den Umständen entsprechende p v-Diagramm ermittelt, so handelt es sich nunmehr um die Unterteilung der gesamten Diagrammfläche in die den einzelnen Rädern oder Radgruppen entsprechenden Teildiagramme. Wir werden bei Besprechung der Räder die Formel ableiten: h=\varphi\,.\,\frac{u^2}{g}\,.\,\frac{\gamma}{\gamma_0} als Druckhöhe für ein Lauf- und Leitradpaar in Meter Wassersäule gemessen. Textabbildung Bd. 327, S. 244 Fig. 7. Textabbildung Bd. 327, S. 244 Fig. 8. Hierbei bedeutet ϕ einen konstanten, von der Schaufelung und dem Gütegrad abhängigen Faktor, u die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades, g = 9,81 m/Sek2. die Beschleunigung der Schwere, γ das spez. Gewicht der Förderflüssigkeit und γ0 = 1000 kg/m3 das spezifische Gewicht des Wassers. Von diesen Größen sind alle, mit Ausnahme von y, konstant, und wenn wir noch statt \gamma\ .\ .\ .\ \frac{1}{v} schreiben, erhalten wir die Beziehung: h ∙ v = konst. Suchen wir die Bedeutung dieser Gleichung in Fig. 6, so erkennen wir, daß das Gesamtdiagramm für die einzelnen Räder oder Radgruppen in flächengleiche Streifen zu zerlegen ist, welche Beziehung wir in der Folge kurz als das „Flächengesetz“ bezeichnen, wollen. Um diese Teilung schnell und bequem ausführen zu können, bedienen wir uns eines einfachen zeichnerischen Verfahrens. Wir teilen zunächst die Höhe des p v-Diagramms in mehrere, etwa vier bis fünf gleiche Teile, und ziehen durch die Teilungspunkte wagerechte Linien, welche nunmehr das Gesamtdiagramm in ebensoviel ungleiche Flächenstücke zerlegen. Diese Flächenstücke verwandeln wir in Rechtecke, wie es in Fig. 7 durch die schraffierten ausgleichenden Dreiecke angedeutet ist. Die mittleren Höhen dieser Rechtecke von gleicher Basis oder ein aliquoter Teil derselben (in Fig. 7 ½) geben ein Maß für den Inhalt der einzelnen Flächenstreifen, und durch sukzessive Summierung derselben auf den einander folgenden wagerechten Teillinien und Verbindung der so erhaltenen Endpunkte erhält man die Integralkurve der Diagrammfläche, d.h. eine krumme Linie von der Eigenschaft, daß jede (wagerechte) Ordinate derselben jenes Flächenstück darstellt, welches zwischen der Basis und dieser Ordinate liegt. Die Endordinate stellt also die gesamte Diagrammfläche F dar. Wollen wir nun letztere Beispielsweise in drei flächengleiche Teildiagramme zerlegen, so brauchen wir nur die Endordinate der Integralkurve in drei gleiche Teile zu teilen, durch die Teilungspunkte Senkrechte bis zum Schnitt mit der Integralkurve zu ziehen und durch die so erhaltenen Schnittpunkte Wagerechte zu legen, welche dann das Gesamtdiagramm in die verlangten drei flächengleichen Teildiagramme zerlegen werden. H1H2 und H3 (Fig. 7) stellen dann die in den drei Einzelgruppen zu überwindenden Druckhöhen dar. Textabbildung Bd. 327, S. 244 Fig. 9. Bestimmt man Fig. 8 mit Hilfe der schraffierten Ausgleichsdreiecke die mittleren Ordinaten vm1, vm2, vm3 usw., so stellen diese die mittlere Luftvolumina vor, für welche die Räder der Gruppen 1, 2, 3 usw. zu rechnen sind, wenn die Basis v1 des Gesamtdiagramms das anzusaugende Luftvolumen von atmosphärischer Spannung bedeutet. Faßt man aber vm1, vm2, usw. als spezifische Volumina auf, so sind \frac{1}{v_{m1}}, \frac{1}{v_{m2}} usw. = γ1, γ2 usw. die mittleren spezifischen Gewichte in den einzelnen Gruppen unter der Voraussetzung, daß \frac{1}{v_1}=\gamma das spezifische Gewicht der Förderflüssigkeit bei atmosphärischer Spannung (allgemein bei der Ansaugespannung) vorstellt. Ist nun h jene Druckhöhe, welche man mit einem Lauf- und Leitradpaar erzielt, falls die Förderflüssigkeit atmosphärische Spannung besitzt, so sind die in den einzelnen Radgruppen mit einem Radpaar erzielbaren mittleren Druckhöhen h1, h2 usw. =h\,.\,\frac{\gamma_1}{\gamma}, h\,.\,\frac{\gamma_2}{\gamma} usw. oder auch h\,.\,\frac{v_1}{v_{m1}}, h\,.\,\frac{v_1}{v_{m2}} usw. Die Anzahl der erforderlichen Radpaare für die einzelnen Gruppen erhält man dann zu: n_1=\frac{H_1}{h_1}, n_2=\frac{H_2}{h_2} usw. In Wirklichkeit sind natürlich die innerhalb einer Stufe von den aufeinanderfolgenden Radpaaren erzeugten Druckhöhen nicht gleich, sondern folgen ebenfalls dem Flächengesetz, das ändert aber nichts an der Richtigkeit obiger Berechnungsweise, bei welcher stillschweigend vorausgesetzt ist, daß die mittlere Dichte der Förderflüssigkeit in einer Gruppe auch die wahre Dichte in der ganzen Gruppe ist, oder mit anderen Worten, daß die Förderflüssigkeit innerhalb einer Gruppe sich wie eine tropfbare Flüssigkeit verhält, d.h. als unzusammendrückbar betrachtet wird. Bevor wir nun auf die Bestimmung der Druckhöhe für ein Radpaar übergehen, sei noch folgende Untersuchung angestellt: Wir betrachten ein ideales Diagramm (Fig. 9), dessen Verdichtungslinie also nach der Isotherme verläuft. Nach dem Gezeigten muß die Bedingung erfüllt sein: (pn + 1 – pn) – vn = k (Flächengesetz), während sich die Bedingung isothermischer Verdichtung durch \frac{p_{n+1}+p_n}{2} ausdrücken läßt, unter k und k' Konstante verstanden. Aus der ersten Gleichung folgt: v_n=\frac{k}{p_{n-1}-p_n}, was in die zweite Gleichung eingesetzt \frac{p_{n+1}+p_n}{2}\,.\,\frac{k}{p_{n+1}-p_n}=k' ergibt, aus welcher Gleichung folgt: \frac{p_{n+1}+p_n}{p_{n+1}-p_n}=\frac{2\,k'}{k}=k''. Dies ergibt ferner: pn + 1 + pn = k'' pn + 1 – k'' pn oder pn (k'' + 1) = pn + 1 (k'' – 1) oder p_{n+1}=p_n\,\left(\frac{k''+1}{k''-1}\right). Setzen wir nun \frac{k''+1}{k''-1}=q, so erhalten wir: pn+1 = q ∙ pn, d.h. die Drücke in den aufeinanderfolgenden Stufen wachsen nach einer geometrischen Reihe (mit dem Quotienten q). Dieses Gesetz, welches wir durch Verbindung des allgemein gültigen Flächengesetzes mit dem isothermischen Verdichtungsgesetz erhalten haben, wird häufig der Berechnung von Turbokompressoren zugrunde gelegt. Wie aber aus dem Gesagten folgt, ist dasselbe nur für isothermische Verdichtung gültig, keineswegs aber allgemein und kann bei größeren Abweichungen der wahren Verdichtungslinie von der isothermischen zu nicht unerheblichen Fehlern Veranlassung geben. Ermittlung der Räder: Wir bedienen uns der alten Mittelfadentheorie (eindimensional), zwar mit dem vollen Bewußtsein, daß dieselbe bei zusammendrückbaren Flüssigkeiten noch weniger den wirklichen Strömungsvorgängen entsprechen wird als bei tropfbaren Flüssigkeiten, aber da die bisher vorliegenden Versuche, auch bei letzteren bessere theoretische Grundlagen frei von „Koeffizientenwirtschaft“ zu gewinnen, trotz großen wissenschaftlichen Aufwandes keine einwandfreien Resultate gezeitigt haben, so mag die alte Theorie um so lieber beibehalten werden, als sie bei ihrer Anschaulichkeit und Durchsichtigkeit ganz in den Rahmen der vorliegenden Abhandlung hineinpaßt. Uebrigens ist es tatsächlich möglich, durch Einführung passender Koeffizienten jede wünschenswerte Annäherung an die Wirklichkeit zu erhalten. (Fortsetzung folgt.)