ELEMENTARE BERECHNUNG DER TURBO-GEBLÄSE UND KOMPRESSOREN. Von Oberingenieur R. von Stein, Karolinental. (Fortsetzung von S. 245 d. Bd.) von STEIN: Elementare Berechnung der Turbo-Gebläse und Kompressoren. Hauptsächlich soll hier ein einfaches, zeichnerisches Verfahren dargelegt werden, welches für gegebene Verhältnisse gestattet, die von einem Lauf- und Leitradpaar erzeugte Druckhöhe zu berechnen unter der einzigen beschränkenden Annahme stoßfreier Wasserzuführung des Fördermittels. Es bedeuten in Fig. 10 auf einen mittleren Flüssigkeitsfaden bezogen (nicht auf die Schaufel, welche beiden Begriffe streng auseinandergehalten werden sollen) ue und ua die Umfangsgeschwindigkeiten beim Ein- und Austritt, ferner ce und ca die absoluten und we und wa die relativen Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten bezüglich des Laufrades. Für stoßfreie Flüssigkeitsführung müssen bekanntlich we und wa Tangenten an den mittleren Flüssigkeitsfaden sein. Die theoretische Förderhöhe setzt sich dann aus drei Gliedern zusammen: h_{th}=\frac{{w_e}^2-{w_a}^2}{2\,g}+\frac{{u_a}^2-{u_e}^2}{2\,g}+\frac{{c_a}^2-{c_e}^2}{2\,g}. Textabbildung Bd. 327, S. 257 Fig. 10. Die beiden ersten Glieder dieses Ausdruckes zusammengenommen bilden die sogen. „Reaktionshöhe“, welche unmittelbar als Druck auf den Radspalt (zwischen Lauf- und Leitrad) lastet und daher auch den Spaltverlust erzeugt, während das dritte Glied die Steigerung der lebendigen Kraft der Förderflüssigkeit beim Durchgang durch das Laufrad darstellt, welche erst durch eine passende Vorrichtung (Leitrad, Diffuser) in Druck umgesetzt werden muß. Dies Glied heißt „Aktionshöhe“. Das Glied \frac{{u_a}^2-{u_e}^2}{2\,g} der Reaktionshöhe berücksichtigt den Einfluß, welchen der Unterschied zwischen Austritts- und Eintrittshalbmesser auf die Aenderung der relativen Geschwindigkeit beim Durchfluß durch das Laufrad ausübt. Es wird gewöhnlich unrichtigUnrichtig deshalb, weil es auch dann auftritt, wenn eine sogen. neutrale Schaufelform vorliegt, bei welcher die mit der absoluten Geschwindigkeit ce in irgendeiner Richtung dem Laufrade zufließende Flüssigkeit dasselbe mit der nämlichen Geschwindigkeit ca = ce in der ursprünglichen Richtung verläßt, seitens des Rades also keine Einwirkung empfangen, noch eine solche an das Rad abgegeben hat (Grenzfall zwischen Pumpe und Turbine). Da hier bei vollkommen neutralem Verhalten des Rades gegen die geradlinig im Raum fortschreitende Flüssigkeit, die relative Beschleunigung \frac{{u_a}^2-{u_e}^2}{2\,g} auch auftritt, kann sie nicht von der Fliehkraft herrühren. der Fliehkraftswirkung zugeschrieben. Berechnet man mit Hilfe des Carnot sehen Satzes aus den schraffierten Dreiecken wa2 und we2 und setzt die gefundenen Werte in obige Gleichung ein, so erhält man nach gehöriger Reduktion die allgemeine Gleichung: g ∙ hth = ua ca cos δa – ue ce cos δe, welche wir als Fundamentalgleichung bezeichnen wollen. Textabbildung Bd. 327, S. 257 Fig. 11. Erfolgt der Flüssigkeitseintritt in das Laufrad radial, was früher namentlich bei Kreiselpumpen die Regel war, so verschwindet das zweite Glied der Fundamentalgleichung, und Fig. 11 man erhält: g ∙ hth = ua ∙ ca cos δa, welche Gleichung eine einfache geometrische Deutung zuläßt. In Fig. 11 ist ca cos δa : x = x : 2 ua oder x2 = 2 ua ca cos δa, was in Verbindung mit der vorigen Gleichung ergibt: h_{th}=\frac{x^2}{2\,g}. Die Größe x stellt also jene Geschwindigkeit dar, deren Geschwindigkeitshöhe der theoretischen Förderhöhe gleichkommt. Dies von Professor Herrmann aufgestellte Diagramm ist zwar sehr einfach, aber nicht allgemein, da es nur für radialen Eintritt Gültigkeit hat und die weiter daraus gezogenen Folgerungen nur mit der Einschränkung gelten, daß die radialen Komponenten der Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten einander gleich sind, welche Umstände meist nicht zutreffen; ferner kann man dem Diagramm die Förderhöhe nicht unmittelbar in m entnehmen. Der Verfasser konstruierte daher ein anderes Diagramm, welches von diesen Uebelständen frei ist, und auch die umgekehrte Aufgabe, zu einer gegebenen Förderhöhe die passenden Radverhältnisse zu finden, zu lösen gestattet. Textabbildung Bd. 327, S. 258 Fig. 12. Zu diesem Zweck gehen wir auf die Fundamentalgleichung zurück und lösen die beiden ganz gleichartig gebildeten Glieder derselben gesondert graphisch auf: Aus ua ∙ ca cos δa = g ∙ hth (δe = 90°) folgt: g : ua = ca ∙ cos ∙ δa : hth, was sich nach Fig. 12 leicht konstruieren läßt. Das bei nicht radialem Eintritt auftretende subtraktive Glied wird ganz analog aus dem Eintrittsdreieck konstruiert, wodurch man die ganz allgemeine Fig. 13 erhält. Textabbildung Bd. 327, S. 258 Fig. 13. Von der so erhaltenen theoretischen Förderhöhe wird nur ein Teil realisiert, da die Spaltverluste, sowie die unvollständige Umsetzung der lebendigen Kraft in Druck die völlige Erreichung der theoretischen Förderhöhe verhindern, wir schreiben also: hp = ηp ∙ hth, d.h. man findet die praktische Förderhöhe hp, wenn man die theoretische hth mit einem Erfahrungskoeffizienten ηp multipliziert. ηp nennen wir den pneumatischen Wirkungsgrad entsprechend dem hydraulischen Wirkungsgrad bei Kreiselpumpen, für welche die vorstehende Entwicklung natürlich ebenfalls gilt. Es ist nun von Wichtigkeit die passenden Radien einzuführen, denn alles Vorstehende bezog sich auf den mittleren Wasserfaden, der nur bei einer unendlich großen Schaufelzahl mit dem Schaufelprofil übereinstimmt. Betrachten wir aber Fig. 14, so können wir die einzelnen aufeinanderfolgenden Laufradzellen als aneinandergereihte Gefäße betrachten, und wenn wir nun den mittleren Wasserfaden verfolgen, finden wir, daß derselbe erst bei a eintritt und bereits bei b das allseitig geschlossene Zellengefäß verläßt. Unser Diagramm darf also nicht auf die wirklichen Radien Re und Ra bezogen werden, sondern auf die sogen. wirksamen Radien Rew und Raw, von denen ersterer größer, letzterer kleiner ist als der bezügliche wirkliche Radius. Für das Studium der Austrittsverhältnisse bei Turbinen-Laufrädern ist diese Betrachtungsweise schon lange üblich, für den Eintritt bei solchen hat sie meines Wissens zuerst Professor Pfarr in seinem epochemachenden Werk über Wasserturbinen angewendet, und die einzige mir bekannte Schrift, welche bei Kreiselrädern denselben Gedanken konsequent durchführt, ist das treffliche Buch „Die Zentrifugalpumpen“ von Fritz Neumann, welches im Jahre 1906 im Springer sehen Verlag erschienen ist. Textabbildung Bd. 327, S. 258 Fig. 14. Unabhängig von den Genannten kam der Verfasser für den Eintritt der Förderflüssigkeit in Kreiselräder auf denselben Gedanken, und in der Tat kann man sich hier den Vorgang der Flüssigkeitsaufnahme kaum anders vorstellen; schwerer ist es schon, für den Austritt sich in diese Auffassung hineinzufinden, doch bei einigem Nachdenken und Vergleich mit dem entsprechenden Turbinentypus gleicher Flüssigkeitsbewegung (innere Radialturbine) wird man auch hier die vorgetragene Auffassung als logisch begründet anerkennen. Man erhält da auch wahrscheinlichere Werte für den pneumatischen bezw. hydraulischen Wirkungsgrad, welcher bei der landläufigen Auffassung immer viel kleiner ausfällt als der Gesamtwirkungsgrad, welches Mißverhältnis bei der von uns vertretenen Auffassung sofort wegfällt, von welcher daher in der Folge ausschließlich Gebrauch gemacht werden soll. Setzt man in der Fundamentalgleichung g ∙ hth = ua ca cos ∙ δa – ue ce cos ∙ δe \frac{u_e}{u_a}=m und , so wird g hth = ua ca cos δa (l – m n) oder g hth = k ∙ ua ca, wenn (l – m n) cos – δa = k gesetzt wird. Setzen wir ferner ca = k' ua, so erhalten wir h_{th}=k\,.\,k'\,\frac{{u_a}^2}{g}. In den Konstanten k und k' sind nur solche Größen vorhanden, welche von der Art der Verschaufelung abhängen, und wir können sie zu einem gemeinsamen Faktor f, dem sogen. Formfaktor, zusammenziehen. Nehmen wir noch den pneumatischen Wirkungsgrad ηp hinzu, so erhalten wir die wirkliche Förderhöhe für ein Lauf- und Leitradpaar h=\eta_p\,.\,f\,.\,\frac{{u_a}^2}{g}=\varphi\,.\,\frac{u^2}{g}, wenn wir den jetzt selbstverständlichen Index a bei ua hinweglassen. Soll h in m Wässersäule angegeben werden, so ist obiger Ausdruck noch mit dem Verhältnis der spezifischen Gewichte der Förderflüssigkeit = γ und des Wassers = γ0 multipliziert worden, wodurch man h=\varphi\,.\,\frac{u^2}{g}\,.\,\frac{\gamma}{\gamma_0} erhält, jene Formel, von der wir bei Aufstellung des Flächengesetzes Gebrauch gemacht haben. Die Formel zeigt, daß unter übrigens gleichen Umständen die Förderhöhe, oder der erreichbare Druck dem Quadrat der Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades proportional ist. Dasselbe lehrt auch unmittelbar unser Diagramm. Verdoppelt man nämlich in demselben alle Strecken, so würden auch die Höhen hth und hp verdoppelt. Da aber die Strecke g = 9,81 m/Sek.2 der Verdopplung nicht unterliegt, so findet durch Rückführung des einstweilen verdoppelten g auf seinen ursprünglichen Wert eine abermalige Verdopplung von hth und damit auch von hp statt, also im ganzen eine Vervierfachung, woraus die quadratische Zunahme von h mit u folgt. Textabbildung Bd. 327, S. 259 Fig. 15. Die Strecke we, welche im Verein mit dem senkrecht zu dieser Strecke gemessenen Zellenquerschnitt für die aufgenommene Flüssigkeitsmenge maßgebend ist, wächst nur im einfachen Verhältnis mit u unter sonst gleichen Umständen, daher auch die Fördermenge selbst. Die erforderliche Arbeitsleistung, welche dem Produkt aus Förderhöhe und Fördermenge proportional ist, wächst demnach mit der dritten Potenz der Umlaufszahl. Wählt man stets geometrisch ähnliche Schaufel- und Geschwindigkeitspläne, so kann man aus einem einmal vorgenommenen Versuch mit Sicherheit auf die Leistung bei einem anderen Rade und einer anderen Umlaufszahl schließen, indem man bloß dessen Umfangsgeschwindigkeit in Betracht zieht; denn auch die Verlustarbeiten (Reibungswiderstände und Spaltverluste) ändern sich mit dem Quadrat der Umfangsgeschwindigkeit, so daß ηp als konstant betrachtet werden kann, solange man nicht künstlich, etwa durch Drosselung, ein anderes Verhältnis zwischen Fördermenge und Förderhöhe herstellt, als der geänderten Umfangsgeschwindigkeit entspricht. Wir gehen nunmehr zur Besprechung der Leitapparate über. Dieselben haben einen doppelten Zweck: 1. Die beträchtliche lebendige Kraft der mit großer Geschwindigkeit dem Laufrade entströmenden Förderflüssigkeit möglichst verlustlos in Druck zu überführen. 2. Die Förderflüssigkeit dem nächsten Laufrade behufs weiterer Drucksteigerung in geeigneter Richtung zuzuführen. Der erste Zweck wird häufig nur durch einen in radialer Richtung genügend ausgedehnten und sich in achsialer Richtung schwach erweiternden schaufellosen Ringraum, Diffuser genannt, erreicht (Rateau), andere bringen schon in diesem Raume Schaufeln an (Leitrad), die Ueberleitung der Förderflüssigkeit nach dem nächsten Laufrade wird aber immer durch Schaufelapparate vermittelt. Auf alle Fälle ist es wichtig, die absolute Bahn der Förderflüssigkeit im Diffuser kennen zu lernen. Zu diesem Zweck machen wir folgende Ueberlegung: Unsere Fundamentalgleichung gilt auch für den Diffuser, da hier ebenfalls kreisendes Wasser radial fortschreitet, wir gestalten sie aber folgendermaßen um: Wir setzen anstatt c cos δ... u' (Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit) und an Stelle der Indices e und a die allgemeineren 1 und 2, so wird: h=\frac{1}{g}\,(u_2\,{u_2}'-u_1\,{u_1}'). Werden Q kg in 1 Sek. gefördert, so ist die geleistete Arbeit L=Q\,.\,h=\frac{Q}{g}\,(u_2\,{u_2}'-u_1\,{u_1}') oder L = M (u2 u'2 – u1 u'1). Ist allgemein die am Umfange vom Radius r tätige Kraft P, so ist L = P ∙ u = P r ∙ ω, wenn ω die Winkelgeschwindigkeit bedeutet. Nennen wir das Drehmoment P\,.\,r...\ \frakfamily{M}, so erhalten wir L=\frakfamily{M}\,\omega oder \frakfamily{M}=\frac{L}{\omega}, ferner ist u = r ω, daher \frac{l}{\omega}=\frac{r}{u}, somit \frakfamily{M}=\frac{L\,r}{u}. Führen wir in diese Gleichung jene für L ein, so erhalten wir: \frakfamily{M}=\frakfamily{M}\,(r_2\,u'_2-r_1\,u'_1). Diese Gleichung gilt für aktive und passive Flüssigkeitswirkung (Turbinen und Kreiselräder), und muß daher auch für den Grenzfall gelten; wenn also die Flüssigkeit völlig frei strömt, also Arbeitsleistung weder abgibt noch empfängt. Dies ist der Fall im Diffuser, und es ist da \frakfamily{M}=\Theta zu setzen. Daraus folgt r2 u'2 = r1 u'1 oder allgemein r u' = konst. Nenen wir ferner die Radialkomponente der Flüssigkeitsbewegung im Diffuser ρ und setzen letzteren zunächst mit parallelen Wänden voraus, welche den Abstand b voneinander haben, so ist Vm3/Sek. = 2 π r b ρ für irgend einen Zylinderschnitt vom Radius r, woraus folgt: r\,.\,\rho=\frac{V}{2\,\pi\,b}. Die beiden r enthaltenden Gleichungen durcheinander dividiert, ergeben: -\frac{\rho}{u'}=\mbox{ konst. }=\mbox{tg}\,.\,\alpha (Fig. 15), d.h. die absolute Flüssigkeitsbahn im parallelwandigen schaufellosen Diffuser schneidet alle Zylinderschnitte, welche man in demselben führen kann, unter dem nämlichen Winkel a, ist also eine logarithmische Spirale, welche mit genügender Annäherung nach Fig. 15 konstruiert werden kann. Ebenso einfach ist es natürlich, die absolute Bahn in einem nach außen konisch erweiterten Diffuser zu ermitteln, doch wird man davon meist absehen können. Wie leicht ersichtlich, müßte hier die Kurve flacher als die log. Spirale verlaufen, wegen der rascheren Abnahme von ρ. Textabbildung Bd. 327, S. 260 Fig. 16. Da aber die Umfangskomponente durch Reibung der Förderflüssigkeit an den Diffuserwänden verzögert wird, was bei der durch die Flüssigkeitskontinuität erzwungenen Radialkomponente nicht der Fall sein kann, so wird der Verlauf der absoluten Bahn bei nur mäßig erweiterten Diffusoren (und nur solche soll man verwenden) wenig von der leicht zu konstruierenden log. Spirale abwelchen. Verwendet man Leitschaufeln im Diffuser, so muß man dieselben so legen, daß der mittlere Flüssigkeitsfaden zu Anfang mit der log. Spirale zusammenfällt bezw. bei geraden Schaufeln dieselbe tangiert. Im weiteren Verlauf wird man trachten, die Flüssigkeitsbahn mehr gegen den Radius abzulenken, d.h. derselben einen steileren Verlauf geben, als der log. Spirale entspricht. Die Diffuserwirkung wird dadurch vergrößert, indem dann die absolute Geschwindigkeit mehr abnimmt als ohne Vorhandensein der Schaufeln. Ganz radial auszumünden ist, nicht empfehlenswert, weil dann die Leitzellen sich zu schnell kelchartig erweitern, welcher Erweiterung die Flüssigkeit schwerlich folgen wird; es werden sich vielmehr tote Raume bilden, und die Flüssigkeit wird flacher strömen als der Schaufelform entspricht, und Wirbelbildungen werden das Resultat beeinträchtigen. Zwischen Lauf- und Leitschaufeln soll ein nicht zu kleiner Spielraum sein, um der Flüssigkeit etwas freiere Entfaltung zu ermöglichen und summendes Geräusch zu vermeiden. Zu letzterem Zweck soll man auch für Lauf- und Leitrad verschiedene Schaufelzahlen wählen, welche am besten als relative Primzahlen anzunehmen sind. Sind c'e (Fig. 16) die am wirksamen Eintrittshalbmesser des Leitrades herrschende absolute Geschwindigkeit, welche nach früherem leicht zu ermitteln ist, ferner a' die doit senkrecht zu c'e gemessene Schluck weite einer Leitradzelle, z' die Zellenzahl, b' die Diffuserbreite, so stehen diese Größen mit der Flüssigkeitsmenge V in folgendem Zusammenhang: V = z' ∙ a' ∙ b' ∙ c'e, wobei V in m3/Sek., c'e in m/Sek. und alle linearen Abmessungen in m einzuführen sind. Hieraus wird b' bestimmt. Ganz analog findet man die Ein- und Austrittsbreiten bei den Laufrädern, nur hat man dort mit den relativen Geschwindigkeiten we und wa und mit der Laufschaufelzahl z zu rechnen und der Spaltverluste wegen auf V einen gewissen Zuschlag zu geben. Auch die Einführung von Kontraktionskoeffizienten wird sich meist als nötig erweisen. Beim Uebertritt in die Rückleitzellen und von diesen ins nächste Laufrad streicht die Förderflüssigkeit über Ringwulste W (Fig. 17); für den mittleren Flüssigkeitsfaden kann man hier mit genügender Annäherung eine Art Schraubenlinie setzen. Die Form der Rückleitschaufeln ist so zu wählen, daß die dazwischenliegenden Zellenräume möglichst kontinuierliche Querschnittsänderungen aufweisen. Textabbildung Bd. 327, S. 260 Fig. 17. Es genügt hier vollkommen, an Stelle des mittleren Fadens die Rückleitschaufel selbst zu nehmen, da das Ganze doch nur eine Näherungskonstruktion vorstellt, welche durch vorstehende Annahme wesentlich erleichtert wird (Fig. 17). Beim Eintritt in die Rückleitzellen kann eine Abweichung vom richtigen Winkel a, falls sie nicht sehr erheblich ist, nicht viel schaden, da infolge der vorangegangenen Diffusionswirkung die Geschwindigkeit so herabgesetzt ist, daß ein nennenswerter Effektverlust dadurch kaum hervorgerufen werden kann, und beim Uebertritt ins folgende Laufrad wird die richtige absolute Eintrittsgeschwindigkeit ohnehin durch die Größe und Richtung der relativen Eintrittsgeschwindigkeit we und der Umfangsgsschwindigkeit ue erzwungen, falls der Flüssigkeit nur genähert die entsprechende Richtung gegeben wird. Es ist aus diesem Grunde empfehlenswert, die Rückleitschaufeln nicht zu weit gegen das Wellenmittel zu führen, damit für die freie Entwicklung des Flüssigkeitsstromes genügend Raum bleibt. Verfasser dieses ist überhaupt der Ansicht, daß der sogen. stoßfreie Eintritt bei Kreiselrädern sich auch ohne Eintrittsleiträder ganz von selbst einstellt wenn sich nur die Flüssigkeit genügend frei entwickeln kann. Im ersten Augenblick des Angehens wird ja die Flüssigkeit gewiß das Bestreben haben radial ins Laufrad zu treten und wird diese Richtung auch behalten, wenn die Verschaufelung für radialen Eintritt eingerichtet ist. Ist dies aber nicht der Fall, so wird die Flüssigkeit im Saughals allmählich eine kreisende Bewegung annehmen (sofern dies nicht durch eingebaute Wände verhindert wird, welche also zu vermeiden sind), welche sich so lange beschleunigen wird, bis die absolute Geschwindigkeit ce jene Richtung erlangt hat, welche den beiden Komponenten ue und we entspricht. Es stimmt dies genau mit dem Austritt des Wassers aus Francis-Turbinen überein, wo auch nur für eine bestimmte Wassermenge radialer Austritt erfolgt, bei jeder anderen Beaufschlagung aber ein von der radialen (und achsialen) Richtung mehr oder weniger abwelchender Verlauf eintritt, welcher das Wasser im Saugrohre zu einer kreisenden Bewegung veranlassen wird. Ueberhaupt dürften die sogen. Stoßverluste in ihrer Wirkung auf den Gütegrad der Kreiselräder meist überschätzt werden, sonst wäre es nicht möglich, daß sich derselbe bei oft sehr verschiedenen Fördermengen so wenig ändert. Die Hauptverluste werden immer, wenn es sich nicht um extreme Fälle handelt, die Reibungs- und Spaltverluste sowie mangelhafte Diffusion sein. (Fortsetzung folgt.)