DIE KNICKSICHERHEIT VON KOLBENSTANGEN. Von Otto Mies, Charlottenburg. (Fortsetzung von S. 296 d. Bd.) MIES: Die Knicksicherheit von Kolbenstangen. 6. Es erübrigt noch, die in dem Schema (S. 275) unter Nr. 5 dargestellte Kolbenstange einer Tandemmaschine auf ihre Knicksicherheit zu untersuchen. Die Knickbedingung ergibt sich, wie schon früher angedeutet, aus der für die Konstruktion nach Nr. 3 des Schemas gefundenen, indem man c = 0 setzt. Multipliziert man demnach in Gleichung 8 die dritte Kolonne mit c und setzt darauf c = 0, so findet sich als die hier gültige Knickbedingung \left|\begin{matrix}\sqrt{s\,m}\,\mbox{cos}\,\sqrt{s\,m}\,a&0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &-\left(1-\frac{P_1\,b}{P\,l}\right)\\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\sqrt{s\,n}\,\mbox{cos}\,\sqrt{s\,n}\,b\ \ &1+\frac{P_1\,a}{P_2\,l}\\\mbox{sin}\,\sqrt{s\,m}\,a\ \ \ \ \ &-\mbox{sin}\,\sqrt{s\,n}\,b\ \ \ \ \ \ &-\frac{{P_1}^2}{P\,P_2}\,\frac{a\,b}{l} \end{matrix}\right|=0 17) aus der sich \frakfamily{s} durch graphische Auflösung finden läßt. Um auch diese Knickbedingung mit der in Gleichung 10 und graphisch in Fig. 10 (S. 294) dargestellten angenäherten zu vergleichen, seien in Gleichung 17 die Winkel ϕ und ψ sowie die Abkürzungen μ, v, ε eingeführt, so daß sich ergibt \left|\begin{matrix}\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi&0\ \ \ \ \ \ \ &-\frac{1}{\epsilon}\,\left(\frac{\psi}{\varphi}\right)^2\,\mu^4-\mu^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\0\ \ \ \ \ &\psi\,\mbox{cos}\,\psi&\epsilon\,\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)^2+\mu\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\mbox{sin}\,\varphi&-\mbox{sin}\,\psi&-\epsilon\,\left(\frac{\varphi}{\psi}\right)^2-\frac{1}{\epsilon}\,\left(\frac{\psi}{\varphi}\right)^2\,\mu^4+2\,\mu^2 \end{matrix}\right|=0 18) Dieser Gleichung entsprechende ϕ – ψ-Kurven sind in Fig. 14 für ε = 1 und mehrere Werte von μ gezeichnet. Die Kurven verlaufen durchweg unterhalb der eingestrichelten Näherungskurven nach Gleichung 10, die auch in diesem Falle als Näherungskurven Gültigkeit besitzen, da die Größe c auf sie keinen Einfluß hat. Die Belastungsart ist also hier gefährlicher als sie der Ableitung der Näherungsformel zugrunde gelegt wurde. Darin kommt die Wirkung der Kraft P1 tg ϕ1 zur Geltung, da die Kraft P2 tg ϕ2 in diesem Falle direkt von der Stangenlagerung aufgenommen wird, wenn eine solche Kraft überhaupt vorhanden ist. Der Einfluß von P1 tg ϕ1 ist hier derselbe, wie er schon in Artikel 3 für die Kolbenstange einer Einzylindermaschine an Hand der Fig. 8 (S. 292) erläutert wurde. 7. Eine einfache Näherungsformel, aus der man leicht erkennt, wie stark die Knicksicherheit auf Grund der E u 1 e r sehen Formel unter Umständen überschätzt wird, findet man folgendermaßen. Die untersuchte Kolbenstange sei so dimensioniert, daß die Trägheitsmomente der einzelnen Stangenteile zueinander in demselben Verhältnis stehen wie die dort herrschenden Druckbelastungen, d.h. es soll \epsilon=\frac{J_a}{J_b}=\frac{P}{P_2} ssin, womit aus Gleichung 11 folgt \frac{\varphi}{\psi}=\frac{a}{b}=\mu . . . . . 19) Führt man diese Beziehung in die angenäherte Knickbedingung Gleichung 10 ein, so folgt nach Multiplikation mit \frac{l}{\psi\,.\,\mu} \left|\begin{matrix}\mbox{sin}\,\varphi&-\,\mbox{sin}\,\psi\\\mbox{cos}\,\varphi&\ \ \ \mbox{cos}\,\psi\end{matrix}\right|=0, d.h. sin (ϕ + ψ) = 0                      ϕ + ψ = π . . . . . 20) Aus Gleichung 19 findet man \varphi+\psi=\frac{a+b}{a}\,\varphi=\frac{l}{a}\,\varphi, und hieraus mit Hilfe der Beziehung \varphi=\sqrt{\frakfamily{m}}\,a und Gleichung 20 \varphi+\psi=\sqrt{\frakfamily{m}}\,I=\pi und endlich mit der Beziehung \frakfamily{m}=\frac{P_k}{E\,J_a} P_k=\pi^2\,\frac{E\,J_a}{l^2} . . . . . . 21) Textabbildung Bd. 327, S. 309 Fig. 14. ϕ = ψ = Kurven für ε = 1 und c = 0. Diese Formel stimmt der Form nach mit der gewöhnlich verwendeten Eulerschen Formel überein; als Knicklänge erscheint in ihr jedoch statt des Abstandes a zwischen Kreuzkopfzapfen und Kolbenmittelebenes. Einleitung. die Länge der Stange zwischen den Führungen. Gleichung 21 kann auch dann als Näherungsformel gelten, wenn die erwähnte Bedingung für ε nicht erfüllt ist, da der Einfluß von ε, wie nachgewiesen, nicht groß ist. Merkwürdigerweise stellt dieselbe Gleichung auch angenähert die Knickkraft der Kolbenstangen von Einzylindermaschinen dar, wie sie in dem Schema (S. 275) unter 1. und 2. enthalten sind. Wird auch hier die zur Stangenachse senkrechte Komponente der Kolbenkraft vernachlässigt, so ist die Knickbedingung durch Gleichung 3 gegeben, Tabelle 1. Textabbildung Bd. 327, S. 310 Kolbenstangen nach Schema (S. 275) Nr. 1 (Nr. 1–3), Nr. 2 (Nr. 4–9) (Dampfmaschinen); 1. Abmessungen; Nr.; Zylinderdurchmesser; Hub; Stützweiten der Kolbenstangen; Durchmesser der Kolbenstangen; Trägheitsmomente; Querschnittsfläche; Bemerkungen; Einzylindermaschinen; Verbundmaschinen; Tandemmaschinen; N.D.-Seite als Einzylindermaschine; 2. Rechnungsergebnisse; Berechneter Zylinder; Größte Kolbenkraft; Knickkraft; Knicksicherheiten; Druckspannungen; Sicherheit gegen Druck welche man im Falle cos ϕ ≠ 0 schreiben kann \mbox{tg}\,\varphi+\frac{b}{a}\,\varphi=0, oder, indem man setzt ϕ1 = π – ϕ \mbox{tg}\,\varphi_1=\frac{b}{a}\,(\pi-\varphi_1) . . . . 22) Für die praktisch in Frage kommenden Winkel gilt in erster Annäherung tg ϕ1 = ϕ1, so daß mit a + b = l aus Gleihhung 22 folgt \varphi_1=\frac{b}{l}\,\pi \varphi=\frac{a}{l}\,\pi. Somit ergibt sich mit Hilfe der bekannten Beziehung für die Knickkraft P_k=\varphi^2\,\frac{E\,J_a}{a^2} P_k=\pi^2\,\frac{E\,J_a}{l^2}, d.h. in der Tat Gleichung 21. 8. Aus der im vorigen Artikel abgeleiteten Näherungsformel läßt sich folgern, daß man im allgemeinen die Knicksicherheit von Kolbenstangen bei Berechnung durch Gleichung 1 um etwa das Dreifache überschätzt, wenn man nämlich annimmt, daß das Verhältnis \frac{a}{b} bei normalen Konstruktionen im Mittel etwa gleich 1,4 ist. Wenn also Kolbenstangen, wie die Handbücher vorschlagen, mit 15- bis 22-facher Knicksicherheit gemäß Gleichung 1 ausgeführt werden, so besitzen sie – die Gültigkeit der unserem Verfahren zugrunde gelegten Annahmen vorausgesetzt Tabelle 2. Textabbildung Bd. 327, S. 311 Kolbenstangen nach Schema (S. 275) Nr. 1 (Nr. 1–4, stehende Dampfmaschinen), Nr. 2 (Nr. 5–8, liegende Hochofengebläse); 1. Abmessungen; Nr.; Zylinderdurchm.; Hub; Stützweiten der Kolbenstangen; Durchmesser der Kolbenstangen; Trägheitsmomente; Querschnittsfläche; Bemerkungen; Steh. Dampfmaschinen; Lieg. Hochofengebläse; 2. Rechnungsergebnisse; Berechneter Zylinder; Größte Kolbenkraft; Knickkraft; Knicksicherheiten; Druckspannungen; Sicherheit gegen Druck – in Wirklichkeit nur etwa 3- bis 7-fache Sicherheit gegen Knicken. Um sich nun einen Ueberblick darüber zu verschaffen, welche Werte im einzelnen bei ausgeführten Konstruktionen die Knicksicherheit besitzt, sind einige solcher nachgerechnet und die Ergebnisse tabellarisch zusammengestellt worden. Es finden sich hierunter Kolbenstangen von Dampfmaschinen, Großgasmaschinen und Hochofengebläsen. Um einen Vergleich der Rechnungsergebnisse zu ermöglichen, wurden die Nachrechnungen unter folgenden übereinstimmenden Annahmen durchgeführt: Die Kolbenkraft ergibt sich aus der Kolbenfläche und die Differenz der Drucke vor und hinter dem Kolben. Für diese Drucke wurde bei Dampfmaschinen gesetzt: 1. Bei Einzylindermaschinen als Gegendruck 1,0 bezw. 0,1 at, je nachdem Auspuff oder Kondensation vorhanden ist. 2. Bei Verbundmaschinen im Hochdruckzylinder als geringster vorkommender Gegendruck 1 at, im Niederdruckzylinder als höchster Eintrittsdruck 2,4, als Gegendruck 0,1 at. 3. Bei Tandemmaschinen als ungünstigste gleichzeitig mögliche Werte im Hochdruckzylinder als Gegendruck 2,4 at, im Niederdruckzylinder als Eintrittsdruck 2,4 at, als Gegendruck 0,1 at. 4. Bei Dreifach-Expansionsmaschinen im Hochdruckzylinder als Gegendruck 4 at, im Mitteldruckzylinder als Eintrittsdruck 4 at, als Gegendruck 1,0 at, im Niederdruckzylinder als Eintrittsdruck 1,1 at, als Gegendruck 0,1 at. Bei Hochofengebläsen ist mit einer Druckdifferenz von 1,5 at, bei Großgasmaschinen mit einer solchen von 30 at gerechnet. In den Tabellen sind neben den in Frage kommenden Abmessungen und Kräftewerten die Knicksicherheiten Tabelle 3. Textabbildung Bd. 327, S. 312 Kolbenstangen nach Schema (S. 275) Nr. 2 (Großgasmaschinen); 1. Abmessungen; Nr.; Zylinderdurchmesser; Hub; Leistung; Stützweiten der Kolbenstangen; Durchmesser der Kolbenstangen; Trägheitsmomente; Querschnittsfläche; Bemerkungen; Einzylindermaschinen; Zwillingsmaschine; Tandemmaschinen; 2. Rechnungsergebnisse; Größte Kolbenkraft; Knickkraft; Knicksicherheiten; Druckspannungen; Sicherheit gegen Druck angeführt, welche sich nach dem hier entwickelten Verfahren, nach der üblichen Methode und nach der im Artikel 7 abgeleiteten Näherungsformel ergeben, sowie die obere Grenze für die Knicksicherheit, welche sich aus den Druckbeanspruchungen bestimmt. 9. Die Zusammenstellung der Tab. 1 enthält Kolbenstangen von liegenden Dampfmaschinen, und zwar solche von Einzylinder- und Verbundmaschinen, sowie die hinteren Kolbenstangen von Tandemmaschinen, d.h. beiderseits geführte Kolbenstangen, auf die eine Kolbenkraft wirkt. Die Führungen sind entweder feststehende Gleitlager oder Schlitten. Bei feststehenden Führungen ist die Knickkraft für Mittelstellung des Kolbens unter Voraussetzung einer Füllung von 50 v. H. berechnet Dabei ergeben sich ungünstigere Werte als in allen vorhergehenden Stellungen, weil dort bei der größten Kolbenkraft das größte Verhältnis \frac{b}{a} erreicht ist. Es ist denkbar, daß irgend eine nachfolgende Stellung die überhaupt ungünstigste ist, wenn nämlich die Kolbenkraft mit wachsendem \frac{b}{a} weniger schnell abnimmt als ϕ2. Das läßt sich jedoch nur mit Hilfe des Dampfdruckdiagramms feststellen. Die Knicksicherheit wird dabei sicherlich nicht viel von der in der Mittelstellung vorhandenen abweichen. Der Vergleich der Kolonnen für \frakfamily{s} und \frakfamily{s}_E zeigt, daß Tabelle 4. Textabbildung Bd. 327, S. 313 Kolbenstangen nach Schema (S. 275) Nr. 3 (Nr. 1–5a) Nr. 5 (Nr. 6, 7) (Dampfmaschinen); 1. Abmessungen; Nr.; Zylinderdurchm.; Hub; Stützweiten der Kolbenstangen; Durchmesser der Kolbenstangen; Trägheitsmomente; Querschnittsfläche; Bemerkungen; berechnet für Mittelstellung; berechnet für Anfangsstellung; 2. Rechnungsergebnisse; Berechneter Zylinder; Größte Kolbenkraft; Knickkraft; Knicksicherheiten; Druckspannungen; Sicherheit gegen Druck in der Tat die Sicherheit bei der üblichen Berechnung um reichlich das Dreifache überschätzt wird. Wenn auch manche Werte der Sicherheit \frakfamily{s} im Vergleich zu den sonst im Maschinenbau üblichen immerhin noch ziemlich hoch erscheinen, so liegen sie im großen ganzen doch in den auch bei anderen Beanspruchungsarten üblichen Grenzen, zumal, wenn man bedenkt, daß die gefährlichen Belastungen infolge der unvermeidlichen Abweichungen von den Voraussetzungen der Rechnung in Wirklichkeit kleiner sind, als sie hier ermittelt werden. Die Sicherheiten erreichen, wie die Kolonne für \frakfamily{s}_P zeigt, durchweg nicht ihre obere Grenze. Die Kolonne für \frakfamily{s}_O ist mit Hilfe der im Artikel 7 entwickelten Näherungsformel berechnet. Die Werte sind etwa von derselben Größenanordnung wie die der Kolonne für \frakfamily{s}. In einem gewissen Gegensatz dazu stehen die Ergebnisse der Zusammenstellung in Tab. 2. In ihr sind die Daten für Kolbenstangen von stehenden Dampfmaschinen und liegenden Hochofengebläsen enthalten, d.h. von Maschinen, welche aus bestimmten Gründen mit so starken Kolbenstangen ausgeführt zu werden pflegen, daß sich bei der üblichen Berechnung, wie die Kolonne für \frakfamily{s}_E zeigt, im Mittel etwa vierzigfache Knicksicherheit ergibt. Demnach erscheint die Knickgefahr bei solchen Kolbenstangen vollständig ausgeschlossen und eine Nachrechnung auf Knicksicherheit überflüssig. Anders erscheint das, wenn man die Kolonne für die genaueren Knicksicherheiten \frakfamily{s} betrachtet, deren Werte ja immerhin noch reichlich groß sind, aber, wie die beiden letzten Beispiele zeigen, den im übrigen üblichen Sicherheiten unter Umständen nahekommen. Etwas anders wieder erscheinen die Verhältnisse bei der Nachrechnung der Kolbenstangen von Großgasmaschinen, auf welche sich die Zusammenstellung in Tab. 3 bezieht. Die Knicksicherheiten \frakfamily{s} sind zwar durchweg nicht größer, als sie für liegende Dampfmaschinen gefunden wurden, überschreiten aber fast ausnahmslos ihre obere Grenze, so daß die Kolonne \frakfamily{s}_P hier die maßgebenden Sicherheiten enthält, deren Mittelwert etwa 5 ist. Die Kolonne für \frakfamily{s}_O hat hier insofern eine doppelte Bedeutung, als sie nicht nur Näherungswerte angibt, sondern bei Tandemmaschinen die genauen Werte für die Knicksicherheit der vorderen Kolbenstange in dem Augenblick, wo auf den hinteren Kolben die Explosionsspannung wirkt. Weniger stark reduziert als in den bisher angeführten Fällen erscheint die in der üblichen Weise gewonnene Knicksicherheit bei Kolbenstangen von liegenden Tandemdampfmaschinen mit einer festen Führung zwischen den Kolben, für welche Nachrechnungen in der Zusammenstellung der Tab. 4 enthalten sind. Hierin ist der Einfluß der zur Kolbenstangenachse senkrechten Kraft P2 tg ϕ2 am hinteren Kolben zu erkennen, von dem im Artikel 5 allgemein die Rede war. Die in der Zusammenstellung angeführten fünf Maschinen der genannten Art sind je für Mittelstellung und Anfangsstellung berechnet, wobei sich zeigt, daß die Knicksicherheiten für Mittelstellung durchweg etwas geringer sind als für Anfangsstellung; d.h. nach den Erörterungen des Artikels 5, daß sich durchweg der Einfluß von μ stärker geltend macht als der von v. Die Werte der Knicksicherheit \frakfamily{s}, welche ihre obere Grenze durchweg nicht erreichen, sind verhältnismäßig groß, so daß man schließen muß, daß auch hier, wie bei den in Tab. 2 angeführten Maschinen im allgemeinen andere Gründe als die Knicksicherheit für die Dimensionierung des Stangendurchmessers maßgebend sind. In der Tat sind bei der in Rede stehenden Art der Stangenführung starke Kolbenstangen deshalb notwendig, damit die Durchbiegung des überragenden hinteren Endes der Kolbenstange infolge des Kolbengewichts mit Rücksicht auf die Stopfbüchse und das Freigehen des Kolbens im Zylinder nicht zu groß wird. Die beiden in der Zusammenstellung der Tab. 4 noch enthaltenen Nachrechnungen von vorderen Kolbenstangen von Tandemmaschinen mit Schlittenführung zeigen wieder stärkere Reduzierung des auf die übliche Weise gewonnenen Sicherheitsgrades, was mit den allgemeinen Erörterungen des Artikels 5 übereinstimmt. Dabei sind die absoluten Werte der wirklichen Knicksicherheit viel kleiner als für die Kolbenstangen mit überragendem Stangenende, was darauf zurückzuführen ist, daß die Durchbiegungen infolge des Kolbengewichts bei dieser Konstruktion nicht so groß sind als bei der anderen, wie ohne weiteres einzusehen ist. (Schluß folgt.)