ÜBER EINE WÜNSCHENSWERTE BERICHTIGUNG AM HARTUNG-REGULATOR. Von Fr. Dubois, Dipl.-Ing., Assistent für Maschinenbau an der eidgen. Techn. Hochschule in Zürich. DUBOIS: Ueber eine wünschenswerte Berichtigung am Hartung-Regulator. Inhaltsübersicht. Veränderlichkeit der Unempfindlichkeit und der Stellkraft beim gewöhnlichen Hartung-Regulator. Bemühungen, die Unveränderlichkeit von ε und K durch Anwendung der „Corliß-Schränkung“ zu erzielen. Die Eindeutigkeit der Lösung. Theorie des alten Hartung-Regulators mit rechtem Winkel zwischen Pendelhebelarmen. Theorie des verbesserten Härtung-Regulators mit stumpfem Winkel zwischen den Pendelarmen. Schlußformel. Zahlenbeispiel. Vergleich mit einem gewöhnlichen Hartung-Regulator. –––––––––– Der sich in der modernen Technik – und namentlich im Dampfturbinenbau – immer weitere Kreise erobernde Federregler von Hartung ist mit der Eigenschaft behaftet, daß seine Unempfindlichkeit nicht konstant ist. Alte Ausführung. Neue Ausführung. Die in den oberen Lagen stark zunehmende Unempfindlichkeit kann im Regelungsvorgang zu ungewünschten Erscheinungen Veranlassung geben. – Diese Tatsache war schon längst bekannt, und man hat sich bemüht, die Konstanz der Stellkraft nach Tunlichkeit zu erreichen. Textabbildung Bd. 327, S. 561 Fig. 1. Alte Ausführung; Neue Ausführung Neuere Hartungsche Regler (Fig. 1) zeigen in dieser Hinsicht gegen die ursprüngliche Ausführungsform eine Verbesserung, die darin besteht, daß der Winkel, welchen die beiden Arme der zur Uebertragung der Bewegung der Schwungmassen auf die Muffe dienenden Winkelhebel miteinander einschließen, nicht mehr, wie dort = 90° gemacht wird, sondern neuerdings als Stumpfer ausgeführt wird. Daß dadurch eine bessere Annäherung an der Konstanz der Unempfindlichkeit erreicht wird, davon kann man sich leicht an Hand folgender kurzen Ueberlegung überzeugen. Wir schließen uns den in der Regulatorentheorie allgemein üblichen Bezeichnungen an und nennen: ε den Unempfindlichkeitsgrad; S die „Energie“, d.h. die Kraft, welche der ruhend und vom Stellzeuge nicht belastet gedachte Regler auf die Muffe ausübt. Der Begriff von „Energie“ deckt sich mit denjenigen von der „Statischen Hülsenkraft“ bei den alten Gewichtsregulatoren; K die Stellkraft, d.h. diejenige Kraft, welche der Regulator zur Verstellung der ganzen Reguliervorrichtung zu leisten hat, und die durch die verhältnismäßige Aenderung der minutlichen Umlaufzahl um den Betrag \frac{\epsilon}{2} in positivem oder negativem Sinne \left(+\frac{\epsilon}{2}\mbox{ oder }-\frac{\epsilon}{2}\right) hervorgerufen wird. Textabbildung Bd. 327, S. 561 Fig. 2. Zwischen den drei Größen s, S und K besteht der bekannte Zusammenhang: \epsilon=\frac{K}{S} Nun ist (Fig. 2) S=\frac{a}{b}\,S', wenn S' die auf den Schwerpunkt der Schwungmasse reduzierte „Energie“ bezeichnet. Im Ausdruck von S' ist die Federkraft enthalten und letztere ändert sich mit dem Regulatorausschlag. Wenn also das K konstant sein soll, so soll dafür e veränderlich sein; oder, ist das e eine Konstante, so muß das K veränderlich sein; aber weder die eine noch die andere dieser beiden Möglichkeiten ist für eine gute Regelung erwünscht. Dann bleibt wohl nichts anderes übrig, als das Verhältnis \frac{a}{b} veränderlich zu machen, wodurch das S trotz der Variabilität von S' konstant gehalten wird. Es muß aber bei dieser Veränderlichkeit von \frac{a}{b} das Prinzip der Erhaltung der Arbeit gewahrt sein, also: S × δs = S' × δs'. Dies kann man einfach mit Hilfe der bei den Dampfmaschinensteuerungen wohlerprobten „Corliß-Schränkung“ erzielen. Die Kraft der Feder ist um so größer, je größer ihre Zusammendrückung, also je größer der Ausschlag ist. Um eine konstante „statische Hülsenkraft“ S zu erlangen, müssen wir daher bei den starken Ausschlägen, d.h. bei hochgehobener Muffe, einen großen Weg derselben haben; hingegen bei ganz niederstehender Muffe, also für kleine Auslenkungen der Schwungkörper, müssen wir einen geringen Weg der Muffe zurücklegen. Die „Corliß-Schränkung“ erfüllt diesen Zweck vollkommen. Soviel lehrt die einfache Anschauung. Demgemäß findet man auch heute Hartungsche Regler mit ziemlich stumpfem Winkel zwischen den beiden Armen der Winkelhebel. Ueber das erforderliche Mindestmaß des stumpfen Winkels wußte man bis jetzt nichts genaueres, und man pflegte nach Gefühl den Winkelhebel mit dem bequemen runden Maß 120° auszuführen, wie Verfasser an Zeichnungen von ausgeführten Reglern von Hartung feststellen konnte. In seiner Diplomarbeit an der eidgen. Techn. Hochschule zu Zürich im Jahre 1911 hat Verfasser darauf hingewiesen, daß der zahlenmäßige Betrag des in Frage stehenden Winkels einen ganz bestimmten, von den übrigen Regulatordimensionen abhängigen Wert haben muß, wenn die Bedingung ε = konst. und K = konst. erfüllt sein soll. Prof. Dr. A. Stodola in Zürich machte in freundl. Weise Verfasser darauf aufmerksam, daß die im folgenden enthaltene Ableitung ob ihrer praktischen Bedeutung wert wäre, technischen Kreisen bekannt gemacht zu werden. Dieser Anregung Folge leistend, entscheide ich mich, die Sache jetzt zur Veröffentlichung zu bringen. Um den Gegensatz zwischen dem alten Regler mit dem rechten Winkel der beiden Pendelarme, und dem neuen Regler mit stumpfem Winkel klarer hervortreten zu lassen, werden wir an dieser Stelle die bekannte Theorie des gewöhnlichen Hartungs-Regulators in großen Zügen vorauszuschicken. Bezeichnungen. F = Zentrifugalkraft. P = Federkraft. G = Gewicht eines Schwungkörpers. Q = Hülsengewicht. ω = Winkelgeschwindigkeit. I. Der gewöhnliche Hartungs-Regler mit rechtem Winkel zwischen Pendelhebelarmen. (Fig. 3.) Vom Gewicht der Hebelarme wird abgesehen, a links von der Mittellage positiv gerechnet, negativ auf der rechten Seite. Momentengleichung für den Drehpunkt des Winkelhebels; bezogen auf eine Hälfte des Regulators, (F-P)\,.\,h=G\,.\,p+\frac{Q}{2}. Textabbildung Bd. 327, S. 562 Fig. 3. Hierin haben die Buchstaben folgende Werte: F=\frac{G}{g}\,\omega^2\,x g = Erdbeschleunigung, h = a cos α p = a sin α, q = b sin (90 + α) = b cos α. In voriger Gleichung eingesetzt, gibt: \left(\frac{G}{g}\,\omega^2\,x-P\right)\,a\,\mbox{cos}\,\alpha=G\,a\,\mbox{sin}\,\alpha+\frac{Q}{2}\,b\,\mbox{cos}\,\alpha. Wir dividieren beiderseits mit a cos α und erhalten: \frac{G}{g}\,\omega^2\,x-P=G\,\mbox{tang}\,\alpha+\frac{Q}{2}\,\frac{b}{a} \frac{G}{g}\,\omega^2\,x=P+G\,\mbox{tang}\,\alpha+\frac{Q}{2}\,\frac{b}{a} \frac{\omega^2\,x}{g}=\frac{P+\frac{b}{a}\,.\,\frac{Q}{2}}{G}+\mbox{tang}\,\alpha . . 1) Nach der Definition der Stellkraft K muß, nach Anbringung der Kraft K an der Muffe (also \frac{K}{2} für die hier in Betracht kommende rechte Regulatorhälfte), die Regulatorstellung unverändert bleiben, wenn die Winkelgeschwindigkeit ω um den Betrag δω zunimmt. Also: \frac{(\omega+\delta\,\omega)^2\,x}{g}=\frac{P+\frac{b}{a}\,\left(\frac{Q}{2}+\frac{K}{2}\right)}{G}+\mbox{ tang }\,\alpha. \left(\frac{\omega^2+2\,\omega\,\delta\,\omega+(\delta\,\omega)^2}{g}\right)\,x=\frac{P+\frac{b}{b}\,\left(\frac{Q}{2}+\frac{K}{2}\right)}{G}+\mbox{ tang }\,\alpha (2) Das unendlich Kleine zweiter Ordnung (δω)2 wird vernachlässigt. Nach Subtrahieren der Gleichungen 1 und 2 verbleibt: \frac{2\,\omega\,.\,\delta\,\omega}{g}\,.\,x=\frac{\frac{b}{a}\,\frac{K}{2}}{G} . . . . . (3) Ich dividiere die Gleichungen 3 und 1 durcheinander. \frac{\frac{2\,\omega\,.\,\delta\,\omega}{g}\,x}{\frac{\omega^2\,x}{g}}=\frac{\frac{\frac{b}{a}\,\frac{K}{2}}{G}}{\frac{P+\frac{b}{a}\,\frac{Q}{2}}{G}+ \mbox{tang }\alpha} Hieraus ergibt sich der Unempfindlichkeitsgrad: \epsilon=\frac{2\,\delta\,\omega}{\omega}=\frac{\frac{\frac{b}{a}\,\frac{K}{2}}{G}}{\frac{P+\frac{a}{b}\,\frac{Q}{2}}{G}+\mbox{ tang }\,\alpha} \epsilon=\frac{K}{2\,(P+G\mbox{ tang }\alpha)\,\frac{a}{b}+Q} . . . . (4) Aus dem Kräfteplan (Fig. 4) ist ersichtlich, daß P + G tang α die statische Kraft für ein Schwunggewicht ist. Textabbildung Bd. 327, S. 563 Fig. 4. 2\,(P+G\,\mbox{tg}\,\alpha)\,\frac{a}{b} ist die auf die Hülse reduzierte statische Kraft der beiden Schwungmassen, daher ist. 2\,(P+G\mbox{ tang }\alpha)\,\frac{a}{b}+Q=S nichts anderes als die „statische Hülsenkraft“. Mithin \epsilon=\frac{K}{S} . . . . . . . (5) wie zu erwarten war. Ist K konstant, so ist e veränderlich, weil der Nenner S die mit x veränderliche Federkraft P enthält; oder, ist e konstant, so ist K veränderlich (dies ist bei den gewöhnlichen Hartungs-Reglern meistens der Fall). Der verbesserte Regler von Hartung mit stumpfem Winkel zwischen den Pendelhebearmen. (Fig. 5.) Anwendung der „Corliß-Schränkung“. (Gewicht der Hebelarme vernachlässigt.) Wir nennen γ den Winkel, den die beiden Arme des Winkelhebels miteinander bilden. Mit Benutzung der gleichen Bezeichnungen wie vorhin, lautet die Momentengleichung für den Drehpunkt des Winkelhebels: (F-P)\,h=G\,p+\frac{Q}{2}\,q. F=\frac{G}{g}\,\omega^2\,x h = a cos α p = a sin α q = b sin [180° – (α + γ)] = b sin (α + γ). Textabbildung Bd. 327, S. 563 Fig. 5. Nach Einsetzen geht vorige Gleichung über in: \left(\frac{Q}{g}\,\omega^2\,x-P\right)\,a\,\mbox{cos}\,\alpha=G\,a\,\mbox{sin}\,\alpha+\frac{Q}{2}\,b\,\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha). Wir dividieren beiderseits mit a cos α. \frac{G}{g}\,\omega^2\,x=P+G\mbox{ tang }\alpha+\frac{Q}{2}\,\frac{b}{a}\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}. Hieraus ergibt sich: \frac{\omega^2\,x}{g}=\frac{P+\frac{Q}{2}\,\frac{b}{a}\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}+G\mbox{ tang }\alpha}{G} . . (1) Nach der Definition der Stellkraft K. muß sein: \frac{(\omega+\delta\,\omega)^2\,x}{g}=\frac{P+\left(\frac{Q}{2}+\frac{K}{2}\right)\,\frac{b}{a}\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}+G\mbox{ tang }\alpha}{G} (2) Nach Subtraktion von 1 aus 2 folgt mit Vernachlässigung von (δω)2 \frac{2\,\omega\,.\,\delta\,\omega\,.\,x}{g}=\frac{\frac{K\,b}{2\,a}\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}}{G} . . . (3) Aus 1 und 3 folgt nun durch Division: \frac{\frac{2\,\omega\,.\,\delta\,\omega\,.\,x}{g}}{\frac{\omega^2\,x}{g}}=\frac{\frac{\frac{K}{2}\,.\,\frac{b}{a}\,.\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}}{G}}{\frac{P+\frac{b}{a}\,.\,\frac{Q}{2}\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}+G\mbox{ tang }\,\alpha}{G}}} Nach Vereinfachung erhalten wir für den Unempfindlichkeitsgrad: \epsilon=2\,\frac{\delta\,\omega}{\omega}=\frac{\frac{K}{2}\,.\,\frac{b}{a}\,.\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}}{P+G\mbox{ tank }\alpha+\frac{b}{a}\,.\,\frac{Q}{2}\,.\,\frac{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}{\mbox{cos}\,\alpha}}. \epsilon=\frac{K}{2\,(P+G+\mbox{ tang }\alpha)\,\frac{a}{b}\,.\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}+Q} (4) Aus dem Kräftedreieck ersehen wir, daß (P + G tang α) die an einem Schwungkörper angreifende statische Kraft ist. Beachten wir nun, daß a cos α = h und b sin (γ α) = q ist, so folgt S=2\,(P+G\mbox{ tang }\,\alpha)\,\frac{a}{b}\,.\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}=2\,(P+G\mbox{ tang }\alpha)\,\frac{h}{q}. Dieser letzte Ausdruck ist aber nichts anderes als die auf die Hülse nach der Uebersetzung \frac{a}{b} übertragene statische Kraft für beide Schwunggewichte. Addiert man diesem Ausdruck das Gewicht der Muffe Q, so erhält man in S=2\,(P+G\mbox{ tang }\alpha)\,\frac{a}{b}\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\gamma+\alpha)}+Q die „statische Hülsenkraft“ oder „Energie“ S. Schließlich \epsilon=\frac{K}{S} . . . . . . . (5) wie im einfachen Falle. Wie können wir es nun erzielen, daß e und K konstant bleiben, trotz der Veränderlichkeit der Federkraft P? Eine strenge Lösung ist nicht möglich; hingegen erhalten wir eine Lösung, die mit sehr guter Approximation der Wirklichkeit entspricht, wenn man sich die technisch wohl berechtigte Annäherung gestattet: daß man das an sich kleine G tang α gegenüber P vernachlässigt. Im weiter unten gerechneten Zahlenbeispiel ist das Gewicht eines Schwungkörpers G = 45 kg. Der größte Wert des Winkels α ist α = 15° entsprechend tang α = tang 15° = 0,268. G tang α = 45 kg × 0,268 = 12 kg. Der kleinste Wert der Federkraft P ist im vorliegenden Falle rd. 190 kg. Mit der Vernachlässigung von G tang α begehen wir also im ungünstigsten Falle einen Fehler von \frac{12}{190}\mbox{ kg }=6,3 v. H., so daß unsere Näherungsannahme als vollkommen berechtigt gelten darf. Wir schreiben also die Gleichung 4 angenähert in der Form: \epsilon \overset{\infty}{=} \frac{K}{2\,\frac{a}{b}\,.\,P\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\alpha+\gamma)}+Q} . . . (4') Muß ε konstant sein, wenn K konstant ist, so muß der Ausdruck f\,(\alpha)=P\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\alpha+\gamma)} eine Konstante sein. Es sei y0 die Abszisse des Punktes, in welchem die P-Kurve in Funktion des Schwungkörperausschlags die Abszissenachse schneidet. Textabbildung Bd. 327, S. 564 Fig. 6. Es gilt die Gleichung P=\frac{J_p\,.\,G}{r^2\,.\,L}\,y, P = T · y, worin Jp = Polares Trägheitsmoment des Federdrahtes, G = Gleitmodul, r = Federradius, L = ganze abgewickelte Länge der Feder, T = Abkürzung für die Federkonstante ist. Mit Bezug auf Fig. 6 ist y = y0 – a sin α, wobei der Winkel α gemäß unserer Annahme als algebraische Größe aufzufassen ist. Mithin: P = T (y0 – a sin α). Der bei der praktischen Ausführung des Regulators von Hartung in Betracht kommende größte Wert von α is αmax = 15°. Nun ist sin 15° = 0,259, tang 15° = 0,268, welche Werte um \frac{9}{1000}=\,\sim\,1 v. H. voneinander abweichen. Wir setzen daher mit großer Annäherung für sin α tang α und erhalten P = T (y0 – a tang α). Im Ausdruck f(α) eingesetzt, gibt f\,(\alpha)=\frac{T\,(y_0-a\mbox{ tang }\alpha)\,\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\alpha+\gamma)} oder, bis auf die Konstante T f_1\,(\alpha)=\frac{(y_0-a\mbox{ tang }\alpha)\,\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,(\alpha+\gamma)}. Wir beachten, daß tang α cos α = sin α ist, und entwickeln sin (α + γ) im Nenner. Wir finden f_1\,(\alpha)=\frac{(-a)\,.\,\mbox{sin}\,\alpha+y_0\,.\,\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{cos}\,\gamma\,.\,\mbox{sin}\,\alpha+\mbox{sin}\,\gamma\,.\,\mbox{cos}\,\alpha} Wir setzen einen Augenblick sin α = X, cos α = Y und schreiben dementsprechend f_1\,(\alpha)=f_1\,(X,\ Y)=\frac{(-a)\,X+y_0\,.\,Y}{\mbox{cos}\,\gamma\,X+\mbox{sin}\,\gamma\,.\,Y}. Die analytische Geometrie lehrt das, damit ein Ausdruck von der Form f\,(X,\ Y)=\frac{a\,X+b\,Y}{a'\,X+b'\,Y} (sogen. homographische Funktion) unabhängig von X und Y sei, die Koeffiziente ab a'b' einander proportional sein müssen, also \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}. Auf unseren Fall angewendet, gibt \frac{(-a)}{\mbox{cos}\,\gamma}=\frac{y_0}{\mbox{sin}\,\gamma}, hieraus \mbox{tang }\gamma=-\frac{y_0}{a}. Dies ist die wertvolle, sehr einfache Bedingung dafür, daß die Unempfindlichkeit und die Stellkraft des Hartung-Regulators konstant sind. (Fortsetzung folgt.)