Ledertreibriemen und Riementriebe. Von Regierungsbaumeister P. Stephan in Dortmund. (Fortsetzung von S. 360 d. Bd.) STEPHAN: Ledertreibriemen und Riementriebe Diese Spannkraft ist an jeder Stelle der Scheibe dieselbe, also auch an den Auf- und Ablaufstellen, und überträgt sich somit auch in gleicher Stärke auf die beiden freien Trume; d.h. die Fliehkräfte liefern eine neben allen anderen und unabhängig davon bestehende, überall gleiche Zusatzbeanspruchung \sigma_f=\frac{\gamma}{g}\,v^2 im Riemen, so daß die gesamten, in den beiden freien Trumen herrschenden Spannkräfte betragen S't = St + Sf und S'1 = S1 + Sf, für deren beide ersten Summanden die Beziehungen 1 oder 6 und 2 gelten. Die Berücksichtigung der Zentrifugalkraft infolge der Riemengeschwindigkeit ändert also nichts an der Unstimmigkeit zwischen der vorgetragenen Theorie und der Beobachtung. Es mußte deshalb nach anderen Ursachen, die die Anhaftung des Riemens an der Scheibe erhöhen, gesucht werden, und Grashof machte schon darauf aufmerksam, daß die Verhältnisse wesentlich günstiger werden, wenn eine gewisse Luftpressung der äußeren Atmosphäre angenommen wird, die auf die Außenseite des auf der Scheibe fest aufliegenden Riemens wirkt. Grashof setzte diesen Außendruck auf dem ganzen umschlungenen Scheibenumfang gleich, zu rund 0,1 at, und berechnete damit die Spannkräfte St und S1. Tatsächlich sind die Verhältnisse wesentlich verwickelter, und der Einfluß des Luftdruckes wirkt nach zwei Richtungen: Der mit großer Geschwindigkeit den Luftraum zwischen den beiden Scheiben durcheilende Riemen reißt eine gewisse Menge Luft mit sich, die nach bekannten Vorgängen dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional gesetzt werden kann. Die auf der Innenseite des Riemens befindliche Luft muß mithin erst auf einer bestimmten Weglänge R ∙ ω'' zwischen der Scheibe und dem Riemen hinausgedrückt werden, und bei großer Geschwindigkeit wird wirklich ein Abheben des auf die getriebene Scheibe auflaufenden, weniger gespannten Trums bemerkt,Vergl. z.B. Kammerer, Forschungsarbeiten, Heft 56/57, S. 91. Thomae, Z. d. V. d. I. 1901, S 354. ja bei der Geschwindigkeit von 60 m/Sek. hat Gehrckens in einem Fall direkt eine Ausbeulung etwa nach Abb. 28 beobachtet, die nur durch das Hinauspressen der mitgerissenen Luft bei gleichzeitiger großer Dehnung des Leertrums infolge der hohen Fliehkraft erklärbar ist. Die Größe des Winkels ω'' dürfte aus der Gleichung R_2\,.\,{\omega_2}''=c_4\,.\,\frac{v^2\,b}{S_1}bzw.R_1\,.\,{\omega_1}''=c_4\,.\,\frac{v^2\,b}{S_t} auf der getriebenen Scheibeauf der treibenden Scheibe (8) zu bestimmen sein, worin c4 ein vorläufig völlig unbekannter Zahlenwert ist. Sicher ist nur, daß bei den gebräuchlichen Geschwindigkeiten bis zu 25 m/Sek. und der üblichen Anspannung \frac{S}{b} kg/cm ω'' nur wenige Grad umfassen kann. Textabbildung Bd. 328, S. 388 Abb. 28. Auf der Riemenscheibe folgen sich also der Auspreßwinkel ω'', ein Ruhewinkel ω° und der Gleitwinkel ω'. Am Ende des Auspreßwinkels sind die infolge der Biegung auf der Innenseite entstandenen kleinen Wellen mit Luft gefüllt und daran ändert sich beim Durchlaufen des Ruhewinkels nichts. Im Gleitwinkel steigt jetzt auf der getriebenen Scheibe die Anpressung K mit wachsender Spannkraft S, und dadurch wird die Luft aus den Wellen zum Teil zur Seite hinausgedrückt; auf der treibenden Scheibe findet bei der Zusammenziehung des ganzen Riemens auch eine entsprechende Zusammendrückung dieser Luftwellen statt, die in demselben Sinne wirkt, während die Vergrößerung dieser Wellen auf der getriebenen Scheibe infolge der Ausdehnung des Riemens die Wirkung der Anpressung K zum guten Teil wieder aufhebt. Bezeichnet p den Luftüberdruck in kg/qcm, so kann man demnach ansetzen b\,.\,R \,d\,\omega'\,.\,p=c_5\,.\,K-c_6\,.\,\frac{\alpha\,S}{b\,S}\,.\,R\,d\,\omega' . . (9) für die getriebene Scheibe, während für die treibende c5 = 0 und c6 mit positivem Vorzeichen zu nehmen ist. Einen vermutlich sehr geringen Einfluß könnte noch die in den Poren der Innenseite des Riemens enthaltene Luft ausüben; ihr Druck sinkt bei Ausdehnung des Leders und steigt bei der Zusammenziehung, so daß jedes der beiden Glieder in Gleichung 9 um einen kleinen Betrag zu verringern wäre. Die normale praktische Untersuchung kann jedoch nur den Gesamtwert ermitteln lassen, so daß die unten berechneten Zahlenwerte schon diesen Einfluß wenigstens angenähert mit enthalten. Einen Demonstrationsapparat, der gut geeignet ist, das Vorhandensein des Luftdrucks nachzuweisen, hat Skutsch angegeben (Abb. 29). Die eine Riemenscheibe ist fest, während die andere in einer Gabel ruht, die ihrerseits wieder auf einer Schneide steht. Gespannt wird der Riemen mit Hilfe des Spanngewichtes Q derart, daß in beiden Trumen die Vorspannkraft Sv = ½ Q entsteht. Jetzt wird die zweite, an dem Scheibenumfang befestigte Wageschale mit der Nutzspannkraft Sn belastet, so daß im Riemen die beiden Spannkräfte St und S1 auftreten, für die die Gleichung 2 gilt: St – S1 = Sn. In bezug auf die Schneide ist dann mit den Bezeichnungen der Abb. 30 die Momentengleichung aufzustellen: St ∙ (a + R) + S1 ∙ (a – R) – Sn ∙ R – Q ∙ a = 0. Sie liefert zusammen mit Gleichung 2: St + S1  = Q = 2 Sv . . . . (10) Textabbildung Bd. 328, S. 388 Abb. 29. Betont sei, daß diese Gleichung, die auch direkt aus der Abb. 30 abgelesen werden könnte, hier hergeleitet worden ist, ohne daß über die Größe von St und S1 andere Voraussetzungen gemacht wurden als die selbstverständliche und oben bewiesene Gleichung 2. Demnach wäre also die Gabel, die in senkrechter Richtung die Mehrbelastung Sn aufnimmt, in der alten Lage im Gleichgewicht. Tatsächlich neigt sie sich aber mit wachsender Belastung Sn immer mehr nach der Riemenseite hin, bis sie wieder in eine neue Gleichgewichtslage kommt. Der obige Ansatz muß mithin eine Kraft außer Acht gelassen haben, eben den von außen auf den Gleitwinkel des umspannten Bogens wirkenden Luftdruck, der wegen seines großen Hebelarmes trotz einer nur geringen Belastung Sn schon einen ziemlich bedeutenden Ausschlag ergibt. Textabbildung Bd. 328, S. 388 Abb. 30. Mit diesem Versuch steht die von Kammerer fast regelmäßig gemachte Beobachtung im Einklang, daß bei gleichbleibendem Achsenabstand der Lagerdruck Q eine mit steigendem Sn wachsende Vergrößerung erfährt. Da nach Gleichung 9 die Wirkung des Luftdruckes auf die getriebene Scheibe eine andere ist als auf die treibende, so müssen auch die zum Spannungsausgleich zwischen den Kräften St und S1 erforderlichen Winkel ω' voneinander verschieden sein, was die Fieberschen Aufnahmen auch bestätigen (Abb. 26 S. 359). Die Differenz der beiden Winkel ω'1 und ω'2 kann direkt zur Bestimmung der beiden Zahlenwerte c5 und c6 benutzt werden. Eine weitere Bestätigung der obigen Darlegungen bringen die von Skutsch im luftverdünnten Raum angestellten Versuche bei. Unter dem Luftdruck von nur 0,11 at ist naturgemäß bei sonst gleichen Umständen der Auspreßwinkel ω'' im Verhältnis 0,11 : 1 verringert, und somit kann der Gleitwinkel ω' entsprechend größer werden, so daß die übertragene Nutzkraft Sn steigt, während im übrigen die der Gleichung 9 zugrunde liegenden Verhältnisse dieselben bleiben und nur eine geringe Größenveränderung erfahren können (vergl. unten). Andererseits hat Skutsch festgestellt, daß die Uebertragung bei rauhen, nicht abgedrehten Riemenscheiben wesentlich schlechter ist trotz der Erhöhung der Reibungsziffer μ, weil die Unebenheiten der Scheibe den oben beschriebenen Vorgang zum Teil hindern. Zur Berechnung des Verhältnisses St : S1 ist demnach anzusetzen: K = S ∙ dω' + p b R d ω' und dS = ± μK. Werden hierin die Werte von p und μ aus den Gleichungen 9 und 5 eingesetzt, so folgt zuerst p\,b\,R\,d\,\omega'=\frac{S\,d\,\omega'\,\left(c_5-c_6\,.\,\frac{\alpha\,R}{b\,s}\right)}{1-c_5} und mit Benutzung von Gleichung 7: \frac{d\,S}{\left(c_1-c_2\,\frac{s}{D}+c_3\,\frac{\alpha\,\gamma}{g}\,\frac{v^2}{s}-c_3\,\frac{\alpha\,S}{b\,s^2}\right)\,.\,\left(1+\frac{c_5-c_6\,\frac{\alpha\,R}{b\,s}}{1-c_5}\right)\,S}=d\,\omega' wofür abkürzungsweise geschrieben werde \frac{d\,S}{(\zeta_1-\zeta_2\,S)\,.\,\zeta_3\,S}=d\,\omega' Die Integration dieser Gleichung ergibt dann \frac{\left(\frac{\zeta_2}{\zeta_2}-S_t\right)\,S_t}{\left(\frac{\zeta_1}{\zeta_2}-S_1\right)\,S_l}=e^{\zeta_1\,\zeta_2\,\omega'} . . . . . (11) Ehe zur Ermittlung der Zahlenwerte c5 und c6 geschritten wird, möge erst die Frage beantwortet werden, welcher Zusammenhang zwischen der Vorspannkraft Sv, die dem Riemen von vornherein erteilt werden muß, und den beiden Trumkräften St und S1 besteht. Gewöhnlich werden dafür die beiden schon oben niedergeschriebenen Gleichungen 10 und 2 benutzt: St + S1 = 2 Sv und St – S1 = Sn. Sie ergeben \mbox{bzw. }\left{{S_t=S_v+\frac{1}{2}\,S_n}\atop{S_1=S_v-\frac{1}{1}\,S_n}}\right\}\ .\ .\ .\ (12) Die Formeln können jedoch nur als erste Ueberschlagswerte bei annähernd gleich großen Scheiben oder sehr großem Achsenabstand in Frage kommen, da darin einmal die Wirkung des Luftüberdruckes und des in beiden Trumen verschiedenen Riemendurchhanges vernachlässigt ist und andererseits Gleichung 10 für sehr von einander abweichende Riemenscheibendurchmesser auch mit diesen Vernachlässigungen nicht gilt. Hat man beispielsweise einen Riementrieb mit kurzem Achsenabstand und großem Unterschied der Scheibendurchmesser, so daß der Riemen auf der kleinen Scheibe etwa einen Winkel von 90° und auf der anderen einen von 270° umspannt, so ist der Achsdruck bei Ruhe zu berechnen aus Q2 = S2V + S2V zu Q = Sv √2= 1,41 Sv. Wird jetzt mit Sn = Sv gearbeitet, so folgt, wenn Gleichung 10 richtig wäre, aus Q2 = (1,5 SV)2 + (0,5 Sv)2 der neue Achsdruck Q = Sv √2,5 = 1,58 Sv, ohne daß die den Achsdruck tatsächlich vergrößernden Einflüsse berücksichtigt sind. Die Berechnung des richtigen Zusammenhanges wurde zuerst von Hennig, allerdings nicht ganz korrekt, angegebenMitteilungen des Hamburger Bezirksvereins d. I. 1910, Nr. 15.. Es werde das Gewicht eines Riemenstückes von der Breite b, der Stärke s und der Länge 1 cm abkürzungsweise mit q bezeichnet. Dann ist bekanntlich, da die Form des unter der Spannkraft S etwas durchhängenden Riemens mit großer Genauigkeit durch eine Parabel wiedergegeben wird, die wahre Länge L' eines Trums von der in gerader Linie gemessenen Länge l zwischen der Ablauf- und der Auflaufstelle L'=l\,\left(1+\frac{1}{24}\,\frac{q^2\,l^2}{S^2}\right) bei Annahme eines starren Bandes. Die Spannkraft S verlängert nun aber die Strecke l – es entspricht der Genauigkeit der bisherigen Rechnung, wenn nur die Verlängerung von l eingesetzt wird – noch um den Betrag \frac{\alpha\,S}{b\,s}\,.\,l. Damit wird die Länge des elastischen Riemens L=l\,\left[1+\left(\frac{q\,l}{4,9\,S}\right)^2+\frac{\alpha\,S}{b\,s}\right] . .  . (13) Mit der elastischen Verlängerung ist natürlich eine Erhöhung des Durchhanges verbunden, die aber, wie eine einfache Proberechnung zeigt, praktisch unmerklich bleibt. Im Ruhezustande hat also der nur mit der Vorspannkraft Sv belastete Riemen die Gesamtlänge L_0=2\,l\left[1+\left(\frac{q\,l}{4,9\,S_v}\right)^2+\frac{\alpha\,S_v}{b\,s}\right]+R_1\,\omega_1+R_2\,\omega_2 Bei der Kraftübertragung vermehrt sich nun die Kraft in dem treibenden Trum um St + Sf – Sv, und in dem losen vermindert sie sich um Sv – Sf – S1, und die Verlängerung bzw. Verkürzung der beiden Trume ist eine diesen Spannkraftänderungen entsprechende. In gleicher Weise verlängern bzw. verkürzen sich die Riemenstücke, die zu den Winkeln ω1 –ω'1 bzw. ω2 – ω'2 auf den beiden Scheiben gehören, während die in den Gleitwinkeln ω'1 bzw. ω'2 liegenden Teile des Riemens sich beide in demselben Sinne ändern um \frac{\alpha}{b\,s}\,.\,\left(S_t+\frac{S_t+S_1}{2}\,.\,\xi-S_v\right). da der an zweiter Stelle in der Klammer stehende Ausdruck den Mittelwert der hier herrschenden Spannkraft angibt. Die neue Länge wird also, wenn zur Abkürzung gesetzt wird: \beta_1=1+\frac{\alpha}{b\,s}\,(S_t+S_f-_v), \beta_2=1+\frac{\alpha}{b\,s}\,(S_t+S_f-S_v), \beta_3=1+\frac{\alpha}{b\,s}\,(\frac{S_t+S_f}{2}\,\xi+S_f+-S_v), erhalten als L_1=l\,\left[1+\left(\frac{q\,l}{4,9\,S_v}\right)^2+\frac{\alpha\,S_v}{b\,s}\right]\,.\,(\beta_1+\beta_2)+R_1\,(\omega_1-{\omega_1}')\,\beta_1+R_1\,{\omega_1}'\,\beta_3+R_2\,(\omega_2-{\omega_2}')\,\beta_2+R_2\,{\omega_2}'\,\beta_3. Andererseits muß natürlich auch die Gleichung bestehen L_1=l\,\left[2+\left(\frac{q\,l}{4,9\,(S_t+S_f)}\right)^2+\frac{\alpha}{b\,s}\,(S_t+S_f)+\left(\frac{q\,l}{4,9\,(S_1+S_f)}\right)^2+\frac{\alpha}{b\,s}\,(S_1+S_f)\right]+R_1\,\omega_1+R_2\,\omega_2, da die Länge des umspannten Bogens sich nicht ändern kann, sondern die ganze Riemenverlängerung in die beiden freien Trume geht. Durch Gleichsetzen beider Ausdrücke erhält man schließlich, wenn die im Verhältnis zu den anderen unbedeutenden Glieder weggelassen werden, \left(\frac{b\,s\,l}{2}\right)^3\,.\,\frac{\gamma^2}{3\,\alpha}\,.\,\left[\left(\frac{1}{S_t+S_f}\right)^2+\left(\frac{1}{S_1+S_f}\right)^2-\frac{1}{{S_v}^2}\right]= (14) R_1\,.\,\left[\omega_1\,(S_t+S_f-S_v)-{\omega_1}'\,\left(S_t-\frac{S_t+S_f}{2}\,\xi\right)\right]+R_2\,.\,\left[\omega_2\,(S_1+S_f-S_v)-{\omega_2}'\,\left(S_1-\frac{S_t+S_1}{2}\,\xi\right)\right]. Um ein Zahlenbeispiel zu geben, werde vorläufig der Faktor ξ ~ 0,75 geschätzt (vergl. unten). Der betrachtete Doppelriemen habe die Breite 9 cm, die Stärke 68 mm, das Einheitsgewicht 0,85 g/ccm, die Dehnungsziffer 1/1700 qcm/kg; ferner betrage bei wagerechtem Trieb der Achsenabstand l = 6,3 m, der Halbmesser der beiden gleichen Scheiben 1,25 m und die Geschwindigkeit 20 m/Sek. Dann ergibt sich nach Gleichung 7, wenn alle Längen in cm und die Kräfte in kg niedergeschrieben werden, Sf = 25 kg; außerdem sei gegeben die Vorspannkraft Sv = 153 kg und die Nutzspannkraft Sn = 198 kg, ω1 = ω2 = π, und es werde noch angenommen ω'1 = 0,7 π und ω'2 = 0,95 π. Dann wird nach Gleichung 2 St = Sn + S1 und Gleichung 14 gestattet damit die Berechnung von S1. Das Ergebnis ist S1 = 47,4 kg und damit St = 245,4 kg, während die Gleichungen 12 liefern: S1 = 54 kg und St = 252 kg. Die wirklichen Spannkräfte sind demnach kleiner als die aus den Ueberschlagsformeln ermittelten, was auch schon das vorige Zahlenbeispiel über den Achsdruck andeutete; und zwar beträgt der Fehler bei der zur Berechnung des Riemens maßgebenden Kraft St im vorliegenden Fall 2,6 v. H., so daß die einfache Ueberschlagsformel für praktische Rechnung in ähnlichen Fällen – sehr großen Achsenabstand und nicht sehr voneinander abweichende Scheibendurchmesser vorausgesetzt – unbedenklich angewendet werden kann. (Schluß folgt.)