Die Berechnung der Preßluftpumpen. Von Ingenieur L. Darapsky in Hamburg. (Fortsetzung von S. 551 d. Bd.) DARAPSKY: Die Berechnung der Preßluftpumpen. VIII. Formeln zur Berechnung. Wie man sieht, sind die Einzelheiten der Zustellung einer Preßluftpumpe zwar von deutlich erkennbarem, aber bei rationeller Behandlung doch nebensächlichem Einfluß auf die Ergiebigkeit. Die Pumpe, so weit man darunter das einfache glatte Rohr und was sich in ihm abspielt, versteht, darf darum immerhin als ein einheitlicher Organismus gelten, wenn man nicht vergißt, daß die dafür aufstellbaren Bedingungsgleichungen in ihrer Allgemeinheit nur mehr oder minder brauchbare Annäherungen an die Wirklichkeit darstellen. Die Ungenauigkeit liegt nicht in der Berechnungsweise, sondern in der Unübersichtlichkeit des physikalischen Vorganges. Die mathematische Behandlung muß sich mit Mittelwerten begnügen. Die Berechtigung an Stelle der unregelmäßigen Durchbrechung der Flüssigkeitssäule mit Luftblasen wechselnder Größe eine stetig verlaufende Schichtung von Luft und Wasser zu setzen, ist bereits im dritten Abschnitt erörtert worden. Es macht, um dies nochmals zu betonen, keinen Unterschied, ob man eine Vielheit von Luft- und Wasserzellen, wie sie tatsächlich vorliegt, deutlich getrennt oder aufs innigste durcheinander gemischt betrachtet. So hat HenrichBeitrag zur Theorie der intermittierenden kohlensäurehaltigen Quellen (Zeitschr. f. d. Berg. usw. 1879 S. 201). bereits 1879 das aus einem mit Kohlensäure übersättigten Soolesprudel aufsteigende Gas berechnet. In Wirklichkeit liegen nicht Blasen, sondern pfropfenartig das Rohr ausfüllende Zellen vor, sobald die Luftmenge, wie es die Regel ist, im Vergleich zum Wasser überwiegt. Für das unendlich feine Gemisch wird dann eine gemeinsame Geschwindigkeit angenommen, trotzdem daß Luft und Wasser sich an keiner Stelle zusammen bewegen. Diese Geschwindigkeit darf man als eine gleichförmig beschleunigte behandeln, obwohl sie nur ruck- oder periodenweise zunimmt. An Stelle der beschleunigten Bewegung muß es endlich erlaubt sein, eine solche von mittlerer Geschwindigkeit einzuführen, und auf diese alle von Rohrlänge, Rohrweite und Tauchtiefe herrührenden Hindernisse zu beziehen. Nennt man die Eintrittsgeschwindigkeit des Wassers, oder, da es eine solche bei dem abwechselnden Zutritt von Wasser und Luft eigentlich nicht geben kann: richtiger die Wasserlieferung bezogen auf die Rohrweite in m/Sek. v, so entweicht das ideale Gemisch am oberen Rohrende mit der Geschwindigkeit va = v (1 + μ). nachdem es am unteren Ende mit der Geschwindigkeit ve = v (1 + μ pa /pe) eingetreten; wobei die Indices a und e je den Aus- und Eintritt bezeichnen, μ das Verhältnis der gebrauchten Luftmenge A zum Wasser Q und pa /pe das Verhältnis des atmosphärischen Drucks zum Druck an der Eintrittsstelle der Luft, stets nach absolutem Druck in m Wassersäule gemessen. Die mittlere Geschwindigkeit wird dann, wenn v nach Früherem das Verhältnis der Volumina der einmal unter atmosphärischem Druck gemessenen, das andere Mal im Rohr unter die zugehörigen Wasserdrücke verteilten Luft bedeutet, zu v_m=v\,\left(1+\frac{\mu}{v}\right). Genauer unter Berücksichtigung des Vorrückens der Luft r das für jede Rohrweite einen bestimmten Bruchteil eines Meters in der Sekunde erreicht (nach Abb. 2 S. 99) wird va = v (1 + μ). ve = v (1 + μ pa /pe) v_m=v\,\left(1-r+\frac{\mu}{v}\right). vm hat natürlich nur einen bestimmten Sinn in Verbindung mit einer bestimmten Anfangs- oder Endgeschwindigkeit. Da aber entweder die Wassermenge und damit v, oder die Luftmenge und damit μ v gegeben ist, so trifft diese Bedingung immer zu. Mit Hilfe dieser Daten und der allgemeinen statischen Druckgleichung h=p-p_a+\mu\,p_a\,ln\,\frac{p}{p_a}. . . . . . [1] wäre man imstande, alles nötige zu berechnen, wenn die dynamische Druckhöhe nicht beträchtlich von der statischen abwiche. Das will sagen, daß sich in dem abgeschnittenen (gleichbedeutend mit überlaufenden) Rohr auf dem verkürzten Wege zwischen Tiefen- und Atmosphärendruck die Elemente in neuer, unbekannter Art ordnen. Ueber den wirklichen Verlauf der Bewegung gibt nur die Erfahrung einen sicheren Anhalt. Ihre Resultate lassen sich auf das ungezwungenste rein zeichnerisch verwerten. Zur Verfügung stehen die in den früheren UntersuchungenDie Wirkungsweise usw. verarbeiteten Beobachtungen von Josse und die im Auftrage von Deseniß & Jacobi gewonnenen, deren Zahlenwerte dort in sieben Tafeln niedergelegt sind. Eine Auswahl der hauptsächlichsten darunter gibt das Schaubild Abb. 35 wieder, worin v als Abszisse, vm als Ordinate auftreten. Die Tauchverhältnisse ordnen sich dann von selbst, ohne Rücksicht auf absolute Tauchtiefe und Förderhöhe und sind mit ½, 1, l½, 2 angedeutet. Man erkennt, daß für gleiche v die vm mit abnehmendem Tauchverhältnis wachsen, für gleiche vm dagegen v mit dem Tauchverhältnis wächst. Verbindet man die gleichen Tauchverhältnisse, so entstehen die ausgezogenen Kurven. Daß diese nach vm = 0,5 konvergieren, mag zufällig sein. Die Form der Kurven läßt eine logarithmische Beziehung zwischen v und vm vermuten. Die einfache Gleichsetzung v = In vm + 0,5 würde für vm = 1 In 1 = 0 v = 0,5 vm = 2 In 2 = 0,693 v = 1,193 vm = 3 In 3= 1,099 v = 1,599 vm = 4 In 4 = 1,386 v= 1,886 liefern, also nicht ausreichen. Textabbildung Bd. 328, S. 567 Abb. 35. Faßt man jedoch \frac{E}{F}=1 und = 1,5 als die praktisch wichtigsten und am besten kontrollierten Tauch Verhältnisse ins Auge, so müßte in der Aufstellung: c v = In vm + 0,5 für \frac{E}{F}=1,5     c = 1 \frac{E}{F}=1     c = 1,25 werden. Setzt man c in folgender Beziehung zum Tauchverhältnis c (E + F) = 2,5 F, so erhält man in Uebereinstimmung mit der Doppelbedingung: c=\frac{2,5}{1+\frac{E}{F}}. Die Zulässigkeit der Annäherungsformel c v = ln vm + 0,5. . . . . [2] bzw. vm =ecv – 0,5 geht naturgemäß nicht über die Grenzen hinaus, die für die Ableitung selbst maßgebend sind. Bei sehr kleinen und sehr großen v versagt sie völlig. Für mittlere Werte verstattet sie eine rasche Orientierung. Ist doch meist eine bestimmte Rohrweite gegeben oder doch eine Annahme darüber zu machen erlaubt, ebenso wie über Tauchtiefe und Förderhöhe und dadurch v und c festgelegt. Die Berechnung von vm führt alsdann unmittelbar auf μ. und lehrt so die gesuchte Luftmenge kennen, da ja v_m=v\,\left(1+\frac{\mu}{v}\right) unter Vernachlässigung von r, worin v aus der Tauchtiefe zu bestimmen ist, und so: \mu=\left(\frac{v_m}{v}-1\right)\,v . . . . . . . . [3] Die Frage, wieviel Luft man zu einer bestimmten Wasserlieferung bedarf, ist aber die weitaus häufigste. Auf diesem Wege ist die Umrechnung der amerikanischen Versuche (Tab. 6 S. 549) vorgenommen. Man darf nicht erwarten, daß die beobachteten Zahlen, soweit sie sich durch eine geschlossene Versuchsreihe erhärten lassen, mit der Formel nach Einsetzung der Konstanten c übereinstimmen. Die letztere kommt nur einem Mittelwert gleich. Beispielsweise wäre in Josses zweiter Tabelle, wenn man die darin angenommene unveränderliche Absenkung gemäß den für den gleichen Brunnen vorliegenden Angaben seiner ersten Tabelle verbessert, c statt mit 2,5 in aufsteigender Linie mit 2,23 bis 2,60 einzusetzen. Ebenso in der siebenten Zahlentafel unserer Zusammenstellung für St. Pauli Nr. 67 bis 73 in absteigendem Verlauf 3,68 bis 2,25. Für kleine v und gleichzeitig geringe Tauchtiefen ergeben sich ebenfalls beträchtliche Abweichungen, wie im Schaubild Abb. 35 für eine Rohrlänge von 1,34 m und Rohrweiten von 10 und 20 mm die punktiert angedeuteten Linien erkennen lassen. Ein allgemein gültiges Gesetz kommt nicht in diesen empirischen Beziehungen zwischen v und vm zum Ausdruck. Es liegt auch gar keine Aussicht vor, das äußerst verwickelte Spiel auch nur in eine kurze, für die Ausrechnung geschickte Regel zu fassen. Wohl aber kann man begrifflich die wichtigsten, einschlägigen Faktoren scheiden und sich so wenigstens im Gedanken Rechenschaft über den möglichen Verlauf geben. Diese Faktoren setzen sich im wesentlichen aus Bewegungshindernissen zusammen. Stöße und Niveauschwankungen mögen außer Betracht bleiben und ein gleichmäßig ununterbrochener Wasserausfluß vorausgesetzt werden, weil ohne diese Schematisierung keine einheitliche Vorstellung möglich wäre. Zu Stande kommt die Strömung durch den Druckunterschied des äußeren Wasserstandes (Tauchtiefe) gegenüber dem inneren (Rohrlänge). Trotzdem daß der letztere, der ja Tauchtiefe und Steighöhe zugleich umfaßt, den ersteren an Höhe übertrifft, ist der Druck der in ihm enthaltenen Flüssigkeitssäule doch geringer. Der von der Luft eingenommene Raum kommt für den Gewichtsunterschied auf. Bei ausreichender Luftzufuhr sinkt der Wasserdruck im Innern somit unter den äußeren. Die Ausgiebigkeit der alsdann einsetzenden Ausgleichbewegung hängt allein von dieser Differenz ab. Zur Geschwindigkeitshöhe \frac{v^2}{2\,g} treten hierfür in bekannter Abhängigkeit die nachstehenden Druckverluste hinzu. 1. Der vom Eintrittswiderstand herrührende, in erster Reihe von der Form der Rohrmündung abhängige, der gemäß Abschnitt VII zu behandeln wäre. 2. Der für die Beschleunigung des mit v zuströmenden Wassers infolge der Luftzumischung erforderliche Kraftaufwand. Diese Beschleunigung läßt sich der von einer plötzlichen Querschnittsverengerung herrührenden bei Rohrleitungen mit homogenem Inhalt vergleichen, mit dem Unterschied, daß die supponierte Wandung z. T. aus der beweglichen Luft gebildet wird.Es ist dann nach dem Bordaschen Ansatz zu verfahren, wobei v und va so zu sagen, dem veränderten Querschnitt entsprechen. Vergl. Weisbach, Theoret. Mechanik S. 1007. 3. Die Reibung im Rohr für die nach oben beschleunigte Bewegung des Gemisches, die im Mittel mit vm angesetzt, voraussichtlich mit dem Quadrat dieser Geschwindigkeit und mit der Rohrlänge wächst, mit der Rohrweite abnimmt. 4. Der Austrittswiderstand, der indessen kaum in Frage kommt, weil infolge der Expansion der Luft stets ein heftiges Ausschleudern des Wassers erfolgt. Bezeichnet man mit ζo, ζ1, ζ2 und ζ3 die diesen vier Einflüssen entsprechenden Koeffizienten, so gilt, wenn pv den Wasserdruck darstellt, aus dem alle diese Ansprüche gedeckt werden müssen: 2\,g\,p_v=v^2+\zeta_0\,v^2+\zeta_1\,{v_e}^2+\zeta_2\,\frac{l}{d}\,{v_m}^2+\zeta_3\,{v_a}^2 [4] Wollte man mangels besseren Anhalts die Werte der vier auftretenden Koeffizienten den bei Wasserleitungen gemachten Erfahrungen entnehmen, so hieße das immerhin recht willkürlich handeln. Eine kurze Ueberlegung führt indessen zu dem Ergebnis, daß alle bis auf einen als praktisch ohne Belang ausgeschaltet werden dürfen. Denn es ist klar, daß, wenn schon der die Geschwindigkeitshöhe darstellende Druck selten über wenige cm hinausgeht, somit im Vergleich zur Rohrreibung so gut wie nichts bedeutet, der Koeffizient ζo, der für Oeffnungs-winkel von 0 bis 45° zwischen 0,077 und 0,765 schwankt, jenen Wert im äußersten Fall auf das 1¾ fache erhöht. ζ3 verschwindet völlig, und ζ1 beträgt, da gleichfalls auf einen kurzen Querschnitt beschränkt, in Verbindung mit v2e jedenfalls nicht mehr, als daß mit dem Ersatz: v2 + ζ2 v2 + ζ1 ve2 +ζ3 va2 ~ 2 v2 nicht reichlich diesen Anteil gedeckt würde. Dann bleibt nur ζ2 zu bestimmen aus 2\,g\,p_v=2\,v^2+\zeta_2\,\frac{l}{d}\,\left(1-r+\frac{\mu}{v}\right)^2\,v^2 \zeta_2=\frac{2\,g\,p_v-2\,v^2}{v^2\,(1-r+\frac{\mu}{2})^2}\,.\,\frac{d}{l}. . . . . . .[5] pv bedeutet den Wasserdruck, der frei würde und auf das Steigerohr aufgesetzt werden könnte, wenn darin die Bewegung mit einem Male zur Ruhe käme. Nach Abzug des Atmosphärendrucks pv = p – pa hat man, wie früher, h = p – pa + μ pa In p/pa. Mit h ist dann die Verlängerung des Rohrs bis zu dem Punkt gemeint, bis zu welchem Luft und Wasser, auf unendlich dünne Schichten verteilt, in Ruhe eben reichen, ohne überzufließen. (Fortsetzung folgt.)