Zur Berechnung von Gefäßen unter innerem Druck. Von Dipl.-Ing. H. Winkel in Berlin. WINKEL: Zur Berechnung von Gefäßen unter innerem Druck. Steht ein Zylinder unter innerem Druck, so ergeben sich nach Bach die Anstrengungen des Materials zu \sigma_1=\frac{m-2}{m}\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,.\,p_{\mbox{i}} in achsialer Richtung, \sigma_2=\frac{m-2}{m}\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,p_{\mbox{i}}+\frac{m+1}{m}\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}\,.\,{r^2}_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,.\,\frac{1}{z^2}\,p_{\mbox{i}} in tangentialer Richtung und \sigma_3=\frac{m-2}{m}\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,p_{\mbox{i}}-\frac{m+1}{m}\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}\,.\,{r^2}_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,.\,\frac{1}{z^2}\,p_{\mbox{i}} in radialer Richtung, worin pi den inneren Druck in kg/cm2, m=\frac{10}{3} das Verhältnis von Dehnung zur Querzusammenziehung bedeuten und ra, ri und z aus Abb. 1 hervorgehen. Die größte Inanspruchnahme des Materials tritt in tangentialer Richtung auf, und zwar wird σ2 zu max σ2 für z = ri d.h. an der Innenfläche des Zylinders \mbox{max}\,\sigma_2=\frac{p_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,\left(\frac{m-2}{m}\,.\,{r^2}_{\mbox{i}}+\frac{m+1}{m}\,.\,{r^2}_{\mbox{a}}\right). Textabbildung Bd. 329, S. 167 Abb. 1. Aus der Festigkeitsbedingung max σ2 ≦ kz ergibt sich mit m = 10/3 die Bachsche Formel r_{\mbox{a}}\,\geq\,r_{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{k_{\mbox{z}}+0,4\,p_{\mbox{i}}}{k_{\mbox{z}}-1,3\,p_{\mbox{i}}}}. . . . . . (1) Da für 1,3 pi = kz der äußere Radius ra = ∞ wird, so folgt daraus die Bedingung p_{\mbox{i}}\,\leq\,\frac{k_{\mbox{z}}}{1,3}. Um die Formel für den praktischen Gebrauch geeigneter zu machen, setze man die in achsialer Richtung in dem ringförmigen Querschnitt auftretende konstante Spannung \sigma_{\mbox{x}}\,\frac{{r^2}_{\mbox{i}}}{{r^2}_{\mbox{a}}-{r^2}_{\mbox{i}}}\,.\,p_{\mbox{i}}=\frac{F_{\mbox{i}}\,p_{\mbox{i}}}{F}=\frac{P}{F}=\sigma_0, wobei F1 den lichten Querschnitt des Zylinders in cm2, F den (Material-) Querschnitt des Zylinders in cm2, P die in achsialer Richtung des Zylinders wirkende Kraft in kg bedeuten. Mit diesem Wert σ0 gehen die Bach sehen Gleichungen über in \sigma_1=\frac{m-2}{m}\,.\,\sigma_0=0,4\,\sigma_0. . . . . . . .(2) \sigma_2=\frac{m-2}{m}\,.\,\sigma_0+\frac{m+1}{m}\,.\,\sigma_0\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}=0,4\,\sigma_0+1,3\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}. . . . . . . .(3) \sigma_3=\frac{m-2}{m}\,.\,\sigma_0-\frac{m+1}{m}\,.\,\sigma_0\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}=0,4\,\sigma_0-1,3\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}. . . . . . . .(4) Stellt man σ als Funktion der Entfernung z von der Mitte des Zylinders dar, so erhält man die Kurven der Spannungsverteilung über den Querschnitt, und zwar sind σ1 = f (z) eine Parallele zur Z-Achse (gleichmäßige Spannungsverteilung), σ2 = f (z) und σ3 = f (z) hyperbolische Kurven dritten Grades. Textabbildung Bd. 329, S. 167 Abb. 2. Die hyperbolische Kurve dritten Grades hat die Gleichung y = C ∙ x– 2, ihre Ordinaten sind gleich den mit x– 1 multiplizierten Ordinaten der gleichseitigen Hyperbel y = C ∙ x. Ist in Abb. 2 P ein Punkt der gleichseitigen Hyperbel, von der ein Punkt P0 gegeben sein mag, so findet man den Punkt P' der hyperbolischen Kurve dritten Grades in folgender Weise: Ziehe den Strahl O P aus dem Koordinatenanfangspunkt bis zur Senkrechten durch P0, dann schneidet die Wagerechte durch diesen Punkt A die Senkrechte durch x in dem gesuchten Punkte P'. Um die Konstruktion verwenden zu können, beziehe man die Gleichungen (3) und (4) auf eine um 0,4 σ0 verschobene z'-Achse, dann wird \sigma_2-0,4\,\sigma_0=\sigma_2'=1,3\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}=1,3\,\sigma_0\,.\,{r^2}_{\mbox{a}}\,.\,z^{-2} -(\sigma_2+0,4\,\sigma_0)=-\sigma_3'=-1,3\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}=-1,3\,\sigma_0\,.\,{r^2}_{\mbox{a}}\,.\,z^{-2} Für z =ra werden σ' 1,3 σ0 bzw. – σ'3 = – 1,3 σ0; das ergibt die Punkte P2 bzw. P3 der Kurven (Abb. 3). Konstruiere durch P2 und P3 die gleichseitigen Hyperbeln, die in Abb. 3 gestrichelt gezeichnet sind; ziehe aus den Polen O' durch die – konstruierten – Hyperbelpunkte 1, 2, 3. . . ein Strahlenbüschel, das die Ordinaten durch P2 bzw. P3 in den Punkten 1', 2', 3'. . . schneidet; dann schneiden sich die Wagerechten durch 1', 2', 3'. . . und die Senkrechten durch 1, 2, 3... in Punkten der gesuchten Spannungskurven, deren Ordinaten von den – ausgezogenen – z-Achsen gemessen werden. Sie zeigen deutlich das Ansteigen der Spannung an der inneren Wandung mit wachsender Wandstärke. Gleichzeitig ergibt sich, daß die Spannung zwischen P2 und 1 wenig von einer Geraden abweicht; d.h. für eine im Verhältnis zum Radius geringe Wandstärke darf angenähert eine gleichmäßige Verteilung der Spannung über den Querschnitt angenommen werden. In diesem Falle wird hinreichend genau s=r_{\mbox{i}}\,.\,\frac{p_{\mbox{i}}}{k_{\mbox{z}}}. Bringt man Gleichung (1) auf die Form Tabelle 1. \frac{\mbox{p}_{\mbox{i}}}{\mbox{k}_{\mbox{z}}} ϕ η \frac{\mbox{p}_{\mbox{i}}}{\mbox{k}_{\mbox{z}}} ϕ η \frac{\mbox{p}_{\mbox{i}}}{\mbox{k}_{\mbox{z}}} ϕ η \frac{\mbox{p}_{\mbox{i}}}{\mbox{k}_{\mbox{z}}} ϕ η 0,01 1,009 98,7 0,21 1,221 72,7 0,41 1,579 46,7 0,61   2,451 20,7 0,02 1,017 97,4 0,22 1,234 71,4 0,42 1,604 45,4 0,62   2,536 19,4 0,03 1,026 96,1 0,23 1,248 70,1 0,43 1,630 44,1 0,63   2,630 18,1 0,04 1,035 94,8 0,24 1,262 68,8 0,44 1,658 42,8 0,64   2,734 16,8 0,05 1,044 93,5 0,25 1,277 67,5 0,45 1,686 41,5 0,65   2,851 15,5 0,06 1,054 92,2 0,26 1,291 66,2 0,46 1,716 40,2 0,66   2,984 14,2 0,07 1,063 90,9 0,27 1,307 64,9 0,47 1,748 38,9 0,67   3,135 12,9 0,08 1,074 89,6 0,28 1,322 63,6 0,48 1,781 37,6 0,68   3,311 11,6 0,09 1,083 88,3 0,29 1,338 62,3 0,49 1,815 36,3 0,69   3,520 10,3 0,10 1,093 87,0 0,30 1,355 61,0 0,50 1,852 35,0 0,70   3,771   9,0 0,11 1,104 85,7 0,31 1,372 59,7 0,51 1,890 33,7 0,71   4,083   7,7 0,12 1,114 84,4 0,32 1,390 58,4 0,52 1,931 32,4 0,72   4,486   6,4 0,13 1,125 83,1 0,33 1,408 57,1 0,53 1,974 31,1 0,73   5,033   5,1 0,14 1,136 81,8 0,34 1,427 55,8 0,54 2,020 29,8 0,74   5,840   3,8 0,15 1,148 80,5 0,35 1,446 54,5 0,55 2,069 28,5 0,75   7,211   2,5 0,16 1,159 79,2 0,36 1,466 53,2 0,56 2,121 27,2 0,76 10,43   1,2 0,17 1,171 77,9 0,37 1,487 51,9 0,57 2,177 25,9 0,18 1,183 76,6 0,38 1,509 50,6 0,58 2,238 24,6 0,19 1,195 75,3 0,39 1,531 49,3 0,59 2,303 23,3 0,20 1,208 74,0 0,40 1,555 48,0 0,60 2,374 22,0 r_{\mbox{a}}=r_{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{1+0,4\,\frac{p_{\mbox{i}}}{k_{\mbox{z}}}}{1-1,3\,\frac{p_{\mbox{i}}}{k_{\mbox{z}}}}}=\varphi\,.\,r_{\mbox{i}}. . . . . . . (5) so bedeutet ϕ eine Konstante, die lediglich von dem Verhältnis pi; kz abhängig ist. Textabbildung Bd. 329, S. 168 Abb. 3. Die Tab. 1 enthält die Werte ϕ für pi; kz = 0,01 bis 0,76; für dazwischenliegende Werte von pi; kz reicht geradlinige Interpolation aus. Führt man den Querschnitt so aus, wie ihn Gleichung (5) erfordert, dann wird die maximale Anstrengung des Materials max σ2 = kz. Aus der Form der Spannungskurve (Abb. 3) geht hervor, daß die Ausnutzung des Materials mit wachsender Wandstärke abnimmt. Bezeichnet man die am äußeren Rande z = ra auftretende Spannung mit min σ2, so gibt das Verhältnis \eta=\frac{\mbox{min}\,\sigma_2}{\mbox{max}\,\sigma_2} ein Maß für die Ausnutzung. Mit σ0 und ra = ϕ ∙ r nimmt η den Wert an \eta=\frac{0,4\,\sigma_0+1,3\,.\,\sigma_0}{0,4\,\sigma_0+1,3\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{{r^2}_{\mbox{i}}}}=\frac{0,4+1,3}{0,4+1,3\,.\,\varphi^2} oder \eta=\frac{1,7}{0,4+1,3\,\varphi^2}\,.\,100 in v. H. Die ganz erhebliche Abnahme dieses Wertes η mit wachsendem pi: kz geht aus der Tab. 1 hervor. Soll eine ausgeführte Konstruktion auf ihre Festigkeit geprüft werden, so ermittelt man die Spannung in irgend einem Punkte z der Wandung aus \sigma_2=0,4\,\sigma_0+1,3\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}=\sigma_0\,\left[0,4+1,3\,.\,\left(\frac{r_{\mbox{a}}}{z}\right)^2\right]=\mu_2\,.\,\sigma_0 \sigma_3=-0,4\,\sigma_0+1,3\,.\,\sigma_0\,.\,\frac{{r^2}_{\mbox{a}}}{z^2}=\sigma_0\,\left[-0,4+1,3\,.\,\left(\frac{r_{\mbox{a}}}{z}\right)^2\right]=\mu_3\,.\,\sigma_0, Tab. 2 enthält die Werte μ2 und μ3 für ra: z = 1,01 bis 2,60 und dürfte für praktische Fälle ausreichen. Beispiel 1. Eine hydraulische Presse soll bei 300 mm Stempeldurchmesser und 330 mm Zylinderweite eine Kraft von 200 t erzeugen; wie stark muß die Wandung bei kz = 600 kg/cm2 ausgeführt werden? 200000 200000,. 0 p_{\mbox{i}}=\frac{200000}{\frac{\pi\,.\,30^2}{4}}=\frac{200000}{707}=283\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2, \frac{p_{\mbox{i}}}{k_{\mbox{z}}}=\frac{283}{600}=0,472. Tabelle 2. \frac{\mbox{r}_{\mbox{a}}}{z} μ2 μ3 \frac{\mbox{r}_{\mbox{a}}}{z} μ2 μ3 \frac{\mbox{r}_{\mbox{a}}}{z} μ2 μ3 \frac{\mbox{r}_{\mbox{a}}}{z} μ2 μ3 1,01 1,726 0,925 1,41 2,985 2,185 1,81 4,659 3,059 2,21 6,749 5,949 1,02 1,753 0,953 1,42 3,021 2,221 1,82 4,706 3,906 2,22 6,807 6,007 1,03 1,779 0,979 1,43 3,058 2,258 1,83 4,754 3,954 2,23 6,865 6,065 1,04 1,806 1,006 1,44 3,096 2,296 1,84 4,801 4,001 2,24 6,923 6,123 1,05 1,833 1,033 1,45 3,133 2,333 1,85 4,849 4,049 2,25 6,981 6,181 1,06 1,861 1,061 1,46 3,171 2,371 1,86 4,897 4,097 2,26 7,040 6,240 1,07 1,888 1,088 1,47 3,209 2,409 1,87 4,946 4,146 2,27 7,099 6,299 1,08 1,916 1,116 1,48 3,248 2,448 1,88 4,995 4,195 2,28 7,158 6,358 1,09 1,945 1,145 1,49 3,286 2,486 1,89 5,044 4,244 2,29 7,217 6,417 1,10 1,973 1,173 1,50 3,325 2,525 1,90 5,093 4,293 2,30 7,277 6,477 1,11 2,002 1,202 1,51 3,364 2,564 1,91 5,143 4,343 2,31 7,337 6,537 1,12 2,031 1,231 1,52 3,404 2,604 1,92 5,192 4,392 2,32 7,397 6,597 1,13 2,060 1,260 1,53 3,443 2,643 1,93 5,242 4,442 2,33 7,458 6,658 1,14 2,089 1,289 1,54 3,483 2,683 1,94 5,293 4,493 2,34 7,518 6,718 1,15 2,119 1,319 1,55 3,523 2,723 1,95 5,343 4,543 2,35 7,579 6,779 1,16 2,149 1,349 1,56 3,564 2,764 1,96 5,394 4,594 2,36 7,690 6,840 1,17 2,180 1,380 1,57 3,604 2,804 1,97 5,445 4,645 2,37 7,702 6,902 1,18 2,210 1,410 1,58 3,645 2,845 1,98 5,497 4,697 2,38 7,764 6,964 1,19 2,240 1,440 1,59 3,687 2,887 1,99 5,548 4,748 2,39 7,826 7,026 1,20 2,272 1,472 1,60 3,728 2,928 2,00 5,600 4,800 2,40 7,888 7,088 1,21 2,303 1,503 1,61 3,770 2,970 2,01 5,652 4,852 2,41 7,951 7,151 1,22 2,335 1,535 1,62 3,812 3,012 2,02 5,705 4,905 2,42 8,013 7,213 1,23 2,367 1,567 1,63 3,854 3,054 2,03 5,757 4,957 2,43 8,076 7,276 1,24 2,399 1,599 1,64 3,896 3,096 2,04 5,810 5,010 2,44 8,140 7,340 1,25 2,431 1,631 1,65 3,939 3,139 2,05 5,863 5,063 2,45 8,203 7,403 1,26 2,464 1,664 1,66 3,982 3,182 2,06 5,917 5,117 2,46 8,267 7,467 1,27 2,497 1,697 1,67 4,026 3,226 2,07 5,970 5,170 2,47 8,331 7,531 1,28 2,530 1,730 1,68 4,069 3,269 2,08 6,024 5,224 2,48 8,396 7,596 1,29 2,563 1,763 1,69 4,113 3,313 2,09 6,079 5,279 2,49 8,460 7,660 1,30 2,597 1,797 1,70 4,157 3,357 2,10 6,133 5,333 2,50 8,525 7,725 1,31 2,631 1,831 1,71 4,201 3,401 2,11 6,188 5,388 2,51 8,590 7,790 1,32 2,665 1,865 1,72 4,246 3,446 2,12 6,243 5,443 2,52 8,656 7,856 1,33 2,700 1,900 1,73 4,291 3,491 2,13 6,298 5,498 2,53 8,721 7,921 1,34 2,734 1,934 1,74 4,336 3,536 2,14 6,353 5,553 2,54 8,787 7,987 1,35 2,769 1,969 1,75 4,381 3,581 2,15 6,409 5,609 2,55 8,853 8,053 1,36 2,804 2,004 1,76 4,427 3,627 2,16 6,465 5,665 2,56 8,920 8,120 1,37 2,840 2,040 1,77 4,473 3,673 2,17 6,522 5,722 2,57 8,986 8,186 1,38 2,876 2,076 1,78 4,519 3,719 2,18 6,578 5,778 2,58 9,053 8,253 1,39 2,912 2,112 1,79 4,565 3,765 2,19 6,635 5,835 2,59 9,121 8,321 1,40 2,948 2,148 1,80 4,612 3,812 2,20 6,692 5,892 2,60 9,188 8,388 Tabelle 1 ergibt ϕ = 1,716 + 0,2 ∙ 0,033 = 1,726, ra = 1,726 ∙ 165 = 285 mm; s = 285 – 165 = 120 mm. Beispiel 2. Ein Hohlzylinder aus Gußstahl habe die Durchmesser 2 ri = 100 mm; 2 ra = 200 mm; die Wandstärke ist ra – ri = 50 mm. Die Spannungsverteilung über den Querschnitt ist zu ermitteln bei pi = 1050 kg/cm2. Tab. 2 liefert für \frac{r_{\mbox{a}}}{z}=\frac{r_{\mbox{a}}}{r_{\mbox{i}}}=\frac{100}{50}=2,0 die Werte μ2  = 5,6 und μ3 = 4,8. Es ist Fa = 314,2 cm2 ; Fi = 78,5 cm2; F = Fa – Fi = 235,7 cm2; \mbox{max}\,\sigma_2=5,6\,.\,\frac{78,5\,.\,1050}{235,7}=1960\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2 (Zug); \mbox{max}\,\sigma_3=4,8\,.\,\frac{78,5\,.\,1050}{235,7}=1680\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2 (Druck). In der Mitte ist infolge z = 75 mm; \frac{r_{\mbox{a}}}{z}=\frac{100}{75}=1,333; \begin{array}{rcl}\mbox{lt. Tab. 2:}&\mu_2&=2,70+0,3\,.\,0,034=2,710;\ \mu_s=1,910;\\ &\sigma_2&=2,710\,.\,\frac{78,5\,.\,1050}{235,7}=950\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2\mbox{ (Zug)};\\ &\sigma_3&=1,910\,.\,\frac{78,5\,.\,1050}{235,7}=670\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2\mbox{ (Druck)}.\end{array} An der Außenfläche ist infolge z = ra; \frac{r_{\mbox{a}}}{z}=1; \begin{array}{rcl}\mbox{lt. Tab. 2:}&\mu_2&=1,7;\ \mu_3=0,9;\\&\sigma_2&=1,7\,.\,\frac{78,5\,.\,1050}{235,7}=596\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2\mbox{ (Zug);}\\ &\sigma_3&=0,9\,.\,\frac{78,5\,.\,1050}{235,7}=316\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2\mbox{ (Druck)}.\end{array} Tab. 1 liefert für pi: max σ2 = 1050: 1960 = 0,535 den Ausnutzungsfaktor des Materials η = 31,1 – 0,5 ∙ = 30,4 v. H. Beispiel 3. Eine vorhandene Druckpresse für 30 t soll einer vorübergehenden Belastung von 45 t unterworfen werden; die maximale Beanspruchung ist zu ermitteln. Die Durchmesser sind 2 rt = 130 mm; 2 ra = 210 mm; s = 40 mm. Für \frac{r_{\mbox{a}}}{r_{\mbox{i}}}=\frac{105}{65}=1,62 liefert Tab. 2; μ2 = 3,812. Fa = 346,4cm2; Fi = 132,7 cm2; F= Fa – Fi=213,7 cm2 \mbox{max}\,\sigma_2=3,812\,.\,\frac{45000}{213,7}=\,\sim\,800\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2 (Zug).