Ein graphisches Schnellverfahren zur Berechnung von Kranträgern. Von Zimmermann in Berlin-Pankow. ZIMMERMANN: Ein graphisches Schnellverfahren zur Berechnung von Kranträgern. Inhaltsübersicht. Es wird gezeigt, daß das Verfahren nach Bülz seine volle Ueberlegenheit hinsichtlich Zeitersparnis bei Berechnung von Kranträgern erst durch Einbeziehen auch der Eigengewichtslasten in das Diagramm für die Verkehrslasten entfaltet, ohne daß dadurch die Uebersicht über den Anteil von Verkehrslast und Eigenlast an der Stabkraft verwischt wird. Es wird dies an Hand eines praktischen Falles nachgewiesen. Sodann wird das Verfahren auch auf Träger mit nichtparallelen Gurtungen anwendbar gemacht und auch hierfür die Kombination beider Diagramme gezeigt. –––––– Die Ermittlung der größten Stabkräfte in statisch bestimmten Gitterträgern, die außer ihrer Eigenlast eine Verkehrslast zu tragen haben, ist eine mit den Hilfsmitteln der elementaren Statik lösbare Aufgabe. Für den in der Praxis stehenden Statiker ist es nun aber nicht ausreichend, daß er die Aufgabe mit Hilfe irgend einer analytischen oder graphischen Methode zu lösen versteht. Für ihn kommt noch in Frage, welche Zeit die von ihm gewählte Methode erfordert, und er wird eine solche, die eine Lösung in kurzer Zeit ermöglicht, einer sachlich ebenso zuverlässigen aber zeitraubenden vorziehen müssen. In der großen Mehrzahl der in der Praxis vorkommenden Fälle stellt sich der Kranträger als ein durch eine gleichmäßig verteilte Eigenlast und zwei wandernde Raddrücke belasteter Parallelträger oder Gitterträger mit zweifach gekröpftem Untergurt mit steigenden und fallenden Diagonalen dar. Parabelträger mit gekreuzten Diagonalen können als veraltet angesehen werden, da diese. Konstruktion infolge der sämtlich auf Zug beanspruchten Diagonalen eine größere Durchbiegung des Systems ergibt als die oben genannten Systeme mit teils gezogenen, teils gedrückten Diagonalen (bei gleicher Materialbeanspruchung), weil ferner die Anordnung gekreuzter Diagonalen den Träger schwerer macht und weil endlich die Herstellung eines Parabelträgers mit größeren Schwierigkeiten verknüpft ist als die eines Trägers mit geradlinigen Gurtungen und, wenigstens teilweise, gleichlangen Diagonalen, die Herstellungskosten eines Parabelträgers also beträchtlich höher sind. Die nachfolgenden Ausführungen werden sich daher auf die Behandlung der erstgenannten Systeme beschränken. Ergänzend sei noch hinzugefügt, daß in der Mehrzahl der Fälle die Felder gleich lang gewählt werden und die Raddrücke gleich groß sind. Für die Berechnung der durch die Verkehrslast hervorgerufenen größten Stabkräfte eines Parallelträgers hat Dipl.-Ing. Bülz in Nr. 35 Jahrgang 1908 der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure ein Verfahren gegeben, das sich durch große Uebersichtlichkeit und ein äußerst geringes Aufgebot an Zeichenarbeit auszeichnet. Allerdings setzt es einen geübten Statiker insofern voraus, als diesem die Stellung der wandernden Last, bei der jeder Stab seine Maximalbeanspruchung erhält, bekannt sein muß. Wir dürfen hier wohl aber als bekannt voraussetzen, daß 1. Obergurt und Untergurt die größte Stabkraft erhält bei Stellung des Vorderrades über dem Knotenpunkte, den man bei dem Ritterschen Verfahren zur Berechnung des betr. Stabes als Drehpunkt wählen müßte; daß ferner der Obergurt stets gedrückt, der Untergurt stets gezogen wird; 2. die Diagonalen am stärksten belastet werden bei Stellung des Vorderrades über dem dem Auflager des betrachteten Trägerteiles abgewendeten Grenzknotenpunktes des betr. Feldes; 3. die nach der Vorderlast hin aufsteigenden Diagonalen des betrachteten Trägerteiles stets Druck, die nach dieser hin fallenden stets Zug erhalten. Setzt man diese Tatsachen als bekannt voraus, so stellt das Verfahren nach Bülz die schnellste und klarste rein graphische Methode zur Ermittlung der Stabkräfte dar. Zur vollen Geltung kommt die Ueberlegenheit dieses Verfahrens aber erst durch Einbeziehen auch der Eigenlast in das Diagramm für die Verkehrslast. Bisher erfolgte die Ermittlung dieser Kräfte mit Hilfe eines Cremona-Planes und Addition der hieraus ermittelten Kräfte zu den aus der Verkehrslast resultierenden. Aber einerseits stellt dieses Verfahren keine rein graphische Methode dar, da eine, wenn auch elementare Rechnungsoperation, nämlich die Addition der aus den beiden Diagrammen ermittelten Stabkräfte, vorgenommen werden mußte; anderseits läßt sich die zur Vornahme der zeichnerischen und rechnerischen Sonderarbeit benötigte Zeit durch die im folgenden erläuterte Methode noch wesentlich herabsetzen. Textabbildung Bd. 329, S. 434 Abb. 1. Textabbildung Bd. 329, S. 434 Abb. 2. Die Breite der Hilfsrechtecke zur Ermittlung der Obergurt- bzw. Untergurtkräfte wurde im doppelten Systemmaßstabe aufgetragen, um das Diagramm zu verkürzen; mithin Maßstab für diese Kräfte 0,75 mm = 200 kg. Behandeln wir zunächst den Parallelträger. Bei diesem wissen wir, daß die Kräfte im Ober- und Untergurt bedingt sind durch die Größe des an der betreffenden Trägerstelle herrschenden Biegungsmomentes, und daß die Kräfte in den Diagonalen gleich der Komponente in Diagonalrichtung der in dem betreffenden Felde herrschenden Querkraft sind. Bezüglich des Vorzeichens der Diagonalkräfte wissen wir, daß (bei symmetrischer Eigengewichtsverteilung) die nach der Mitte aufsteigenden Diagonalen Druck, die nach dieser hinfallenden Zug erhalten. Vergegenwärtigen wir uns dies, so kommen wir zunächt zu folgender Ermittlung der aus dem Eigengewicht resultierenden Stabkräfte (vgl. Abb. 1). Wir zeichnen das Querkraftdiagramm für die Eigenlast, bestehend aus dem bekannten treppenförmig verlaufenden Linienzuge. Wollen wir z.B. die Kräfte feststellen, die durch Eigenlast in den dem fünften Felde von links angehörenden Stäben O5, D5 und U2 auftreten, so verfahren wir wie folgt: 1. Für den Obergurt gilt (Drehpunkt fu): O5 ∙ h = A ∙ 5 λ – P0 ∙ 5 λ – P (4 λ + 3 λ + 2 λ + λ)    = A 5λ – P0 ∙ 5 λ – P ∙ 10 λ P_0=\frac{P}{2} Q_5\,.\,h=A\,.\,5\,\lambda-P\,.\,\frac{25}{2}\,.\,\lambda=(A-2,5\,P)\,.\,5\,\lambda. Ziehen wir die Diagonale a1 n1, so finden wir, daß diese in ihrem fünften Schnittpunkte mit dem Querkraftlinienzuge eine Ordinate (von a1 aus gerechnet) von 2½ P erreicht, so daß die Strecke f1 a den Ausdruck (A – 2,5 P) repräsentiert. Das Rechteck a f1 f' f stellt also den Ausdruck (A – 2,5 P) ∙ 5 λ dar, die nach bekanntem Verfahren gezogene Diagonale f o5 schneidet auf der Ordinatenachse das Stück a o5 = – O5 ab. 2. Analog findet man für U2 (Drehpunkt e0): U2 ∙ h = A – 4 λ – P0 ∙ 4 λ – P (3 λ + 2 λ + λ)    U2 h = (A – 2P) ∙ 4 λ. Textabbildung Bd. 329, S. 435 Abb. 3. Die Diagonale a1 n1 erreicht in ihrem vierten Schnittpunkte mit dem Querkraftlinienzuge die Ordinate 2 P, die Strecke e1 a repräsentiert den Ausdruck A – 2 P und das Rechteck a e1 a' e das Produkt (A – 2 P) ∙ 4 λ. Man findet: u2a = + U2. 3. Von jeder Parallelen zu D5 wird durch die Nullinie und die dem fünften Felde angehörende wagerechte Querkraftlinie ein Stück e e5 abgeschnitten, das gleich der im Stab D5 auftretenden Kraft ist. Die Diagonale fällt nach der Mitte zu, mithin: e e1 = + D5. Textabbildung Bd. 329, S. 435 Abb. 4. Die Breite Hilfsrechteckes zur Konstruktion von U2 wurde im doppelten Systemmaßstabe aufgetragen, m das Diagramm zu verkürzen; mithin Kräftemaßstab für U2 0,75 mm = 200 kg. An und für sich wäre mit einer solchen Ermittlung der Eigengewichtskräfte nichts gewonnen. Bedenkt man aber, daß man mittels des Bü1zschen Verfahrens in analoger Weise die aus den Verkehrslasten resultierenden Kräfte ermittelt, indem man nämlich zwecks Ermittlung der Diagonalkräfte die A-Linie als Querkraftlinie auffaßt und aus dem jeweiligen graphischen Ausdruck für das Moment geometrisch die Ober- und Untergurtkräfte ermittelt, so wird man leicht einsehen, daß man diese beiden Konstruktionen so kombinieren kann, daß lediglich die Aufzeichnung des Querkraftdiagramms mit Diagonale a1 n1 als zeichnerische Mehrarbeit gegenüber der bloßen Ermittlung der Verkehrskräfte erscheint. Und das nicht einmal ganz, denn die Vertikallinien dieses Diagramms sind als Projektionslote der Feldteilungspunkte auch für das Verkehrslastendiagramm notwendig, so daß, um das Diagramm gleichzeitig für die Ermittlung der Eigengewichtskräfte brauchbar zu machen, man lediglich bei n Feldern n wagerechte Parallele im Abstand P und die Diagonale a1 n1 zu zeichnen hat, während bei getrennter Ermittlung der Eigengewichtskräfte ein Cremonaplan gezeichnet und ebensoviel Additionsrechnungen ausgeführt werden müssen, als Stabkräfte ermittelt werden sollen. Abb. 2 zeigt die praktische Anwendung des kombinierten Diagramms für die Berechnung eines Parallelträgers für 10t Nutzlast und 18 m Spannweite. Raddruck der Katze 3250 kg; Eigengewicht des Trägers + Zusatzlasten 4800 kg, d. i. pro Knotenpunkt \frac{4800}{12}=400\mbox{ kg} bzw. je 200 kg für die Endknotenpunkte. Das vorstehende Diagramm zeichnet sich durch die aufs äußerste reduzierte Zeichenarbeit aus. Wir erkennen aber trotz der Zusammenziehung von Verkehrslast- und Eigengewicht sehr deutlich den Anteil jeder dieser Belastungsgruppen an der Zusammensetzung der Stabkräfte und können besonders schön den entlastenden Einfluß des Eigengewichts auf die Diagonalen der rechten Kranhälfte bei entsprechender Stellung der Verkehrslasten verfolgen. Bedenken wir, daß für die Ermittlung der Gurtkräfte nur die linke Hälfte des Diagramms und für die Dimensionierung der Diagonalen nur die Felder 1 bzw. 8 von Bedeutung sind, so wird man einsehen, daß die vorliegende Art der Kräfteermittlung den denkbar kürzesten Weg zum Ziele darstellt, und wer je das Lästige wenig anregender, weil teilweise nebensächlicher Zeichenarbeit empfunden hat, wird jeden Fortschritt im Sinne einer Arbeitsverkürzung begrüßen. Textabbildung Bd. 329, S. 436 Abb. 5. Die Breite der Hilfsrechtecke zur Konstruktion der Ober- und Untergurtkräfte wurde im doppelten Systemmaßstabe aufgetragen, um das Diagramm zu verkürzen; mithin Maßstab für diese Kräfte 0,75 mm = 200 kg. Wollen wir einen Gitterträger mit nur teilweise parallelen Gurtungen auf gleiche Art behandeln, so müssen wir einige Korrekturen eintreten lassen. Für den Teil mit geneigtem Untergurt gilt nämlich nicht mehr der Satz, daß die Diagonalkraft gleich der in Diagonalrichtung fallenden Komponente der (in dieser Richtung und parallel zum Obergurt zerlegten) Querkraft ist. Betrachten wir nämlich in Abb. 3 den Trägerteil links vom Schnitt x – y, so finden wir durch Aufstellen einer der fundamentalen Gleichgewichtsbedingungen: Querkraft Q_3=A-(P_0+2\,P)=S_{\mbox{D}_3}\,\sin\,\beta+S_{\mbox{U}_2}\,.\,\sin\,\alpha und erkennen aus dem zweiten Gliede der rechten Seite der Gleichung, daß auch der Untergurt an der Uebertragung der Querkraft beteiligt ist. Anders geschrieben lautet diese Gleichung: S_{\mbox{D}_3}\,.\,\sin\,\beta=Q_3-S_{\mbox{U}_2}\,.\,\sin\,\alpha. Wir müssen also von der Querkraft d im Felde 3 den Betrag S_{\mbox{U}_2} sin α abziehen, um den Wert für die Vertikalkomponente der Diagonalkraft D3 und damit diese selbst zu erhalten. Diese Aufgabe läßt sich aber wiederum graphisch auf sehr einfache Weise lösen, indem wir – unter Berücksichtigung des im folgenden über die Ermittlung der Stabkräfte im geneigten Untergurt Gesagten – U2 bei Stellung des Vorderrades über Knotenpunkt d0 feststellen, diesen Wert auf der Systemlinie U2 abtragen, dessen Vertikalkomponente von der für D3 maßgebenden Ordinate der A-Linie abziehen (Strecke d1 d2 im Diagramm Abb. 4) und dann vom Punkte d1 aus die Parallele zu D3 bis zum Schnittpunkt d3 ziehen (vgl. hierzu Abb. 4). Bezüglich der Ermittlung der Gurtkräfte ist zu beobachten, daß die Breite des Hilfsrechteckes zur Konstruktion der Gurtkräfte für den abgeschrägten Kranteil gleich dem vom Drehpunkt auf die Kraftrichtung gefällten Lote (h' bzw. h'' in Abb. 5) sein muß. Für den parallelen Teil des Trägers bleiben die bei Berechnung des Parallelträgers gepflogenen Betrachtungen unverändert bestehen. Abb. 5 veranschaulicht die Berechnung des in Abb. 2 behandelten praktischen Falles für ein System mit zweifach gekröpftem Untergurt. Es wird sich empfehlen, die zur Ermittlung der Ober- bzw. Untergurtkräfte benötigten Konstruktionsdiagonalen nicht durchzuziehen, sondern nur deren Schnittpunkte mit der Ordinatenachse festzulegen, da nur diese von Bedeutung sind. Selbstverständlich ist, daß die Diagramme für Eigenlast und Verkehrslast in demselben Kräftemaßstab aufzutragen sind. Auch für Belastungsfälle mit mehr als zwei und verschieden großen Raddrücken lassen sich durch sinngemäße Anwendung der oben benutzten Methoden einfache und schnell zum Ziele führende Berechnungsarten finden, doch sollen diese den Gegenstand einer anderen Abhandlung bilden.