Anschauliche Darstellung des Entropiebegriffs. Von R. Vater, Geh. Bergrat, Berlin-Grunewald. VATER: Anschauliche Darstellung des Entropiebegriffs. Entropie ist etwas sehr Schönes! Man rechnet damit, man berechnet sie sogar, benutzt auch Entropiediagramme, wird man aber gefragt, was denn eigentlich Entropie sei, so herrscht wohl meist ziemliche Verlegenheit. „Ja, das ist eben der Ausdruck \int\,\frac{d\,Q}{T}.“ Wer's nun nicht versteht! In einem neueren, sonst recht guten Buche über technische Wärmelehre, welches besonders für Schüler bestimmt ist, denen, wie es im Vorworte heißt, „Wärmemechanik stets besondere Schwierigkeiten bereitet“, las ich sogar den Satz: „Auf ihre (der Entropie) tiefere Bedeutung soll hier nicht eingegangen werden. Der Anfänger betrachtet sie am besten dem Gedankengange entsprechend als eine Hilfsgröße, die eine zweckmäßige Vereinfachung der Rechnung und Darstellung herbeiführen soll“. Eine verblüffend einfache Lösung der Schwierigkeit! Recht hübsch heißt es in dem kleinen, sehr lesenswerten Buche „Die Thermodynamik der Dampfmaschinen“ von Krauß (Berlin 1907, J. Springer): „Für den Begriff der Entropie sind mancherlei Definitionen versucht worden, von denen viele die Eigentümlichkeit haben, vollkommen unverständlich zu sein, die verständlichen Definitionen sind hingegen zum großen Teil unrichtig.“ – Der Satz ist von erfrischender Deutlichkeit, er zeigt, welche Schwierigkeiten der Begriff Entropie macht und rechtfertigt es. wie mir scheint, immer wieder zu versuchen, jenen so schwer faßbaren Begriff nach Möglichkeit klar zu stellen, selbst auf die Gefahr hin zum Teil bereits Gesagtes zu wiederholen. Aus diesem Bestreben heraus sind die nachfolgenden Zeilen entstanden. Sie bilden übrigens einen Teil eines demnächst in der Teubnersehen Sammlung „Aus Natur und Geisteswelt“ erscheinenden, von mir verfaßten Bändchens über technische Wärmelehre. Bezüglich weiterer Einzelheiten sei daher auf dieses Bändchen verwiesen. Umwandlung von Warmeenergie in Arbeit. Die Frage, wieviel Energie allgemein ein Körper abgeben kann, läßt sich nur dann beantworten, wenn zwei Zustände des Körpers gegeben sind: nämlich erstens der Ausgangszustand, d.h. der Zustand, den der Körper indem betrachteten Augenblick besitzt, und zweitens ein Endzustand, oder, wie man ihn vielleicht nennen könnte, ein Bezugspunkt. Aendert man diesen in gewissen Grenzen willkürlich zu wählenden Endzustand oder Bezugspunkt, so ändert sich damit auch sofort die von dem Körper abzugebende Energie. L Beispiel. Ein Fluß, der in der Sekunde 5 m3 Wasser führt, winde sich in gebirgigem Gelände nacheinander an den drei Orten A, B und C vorbei. Durch Herstellen eines den Lauf abkürzenden Kanals von A nach dem flußabwärts zunächst gelegenen Orte B wird ein Gefälle von 3 m gewonnen. Da 1 m3 Wasser 1000 kg wiegt, ergibt dies eine theoretische Wasserkraft von N=\frac{3\,\times\,5000}{75}=200\mbox{ PS}. Nach einiger Zeit stellt sich das Bedürfnis nach einer stärkeren Wasserkraft heraus, und es gelingt durch einen Kanal von A nach dem noch weiter flußabwärts gelegenen Orte C ein Gefälle von 6 m und damit eine Leistung von N = 400 PS zu erzielen. Trotzdem sich an dem Wasserlaufe im Punkte A nichts geändert hat, der Energieinhalt dort also derselbe geblieben ist, wurde durch den Fluß das eine Mal eine Leistung von 200, das andere Mal eine solche von 400 PS erzielt, einzig und allein dadurch, daß der „Endzustand“ zweckentsprechend geändert werden konnte. 2. Beispiel. Wir denken uns 1 kg Wasserdampf von der Spannung P at in einem Dampfzylinder. Ausgangszustand die Spannung P. Der Endzustand kann nun verschieden gewählt werden: a) Wir lassen den Dampf sich im Zylinder bis auf 1 at ausdehnen und dann in. die freie Luft auspuffen, b) Wir lassen den Dampf sich im Zylinder bis auf 0,1 at abs. ausdehnen und dann in einen Kondensator eintreten, wo er durch Abführung der Verdampfungswärme in Wasser von etwa 45° C verwandelt wird. Die in dem 1 kg Dampf steckende Energie oder Arbeitsfähigkeit ist zwar an sich offenbar in den beiden Fällen gleich groß. Trotzdem ist aber die Arbeit, welche der Dampf nutzbar abgeben kann, im Falle b größer als im Falle a, und zwar nur deswegen, weil der Endzustand oder Bezugspunkt zweckentsprechend geändert wurde. Als bekannt sei hier folgender Satz vorausgesetzt: Soll ein Körper durch irgendwelche Reihenfolge von Zustandsänderungen in einen gewählten Endzustand übergeführt werden, und soll dabei der Höchstwert an mechanischer Arbeit gewonnen werden, so müssen die Zustandsänderungen umkehrbar sein. Ebenso sei hier als bekannt vorausgesetzt, was man unter umkehrbarer Zustandsänderung versteht, und daß eine solche umkehrbare Zustandsänderung immer nur etwas Gedachtes ist, niemals aber praktisch verwirklicht werden kann. Höchstwert des in Arbeit umzusetzenden Teilbetrages der Wärmeenergie. Textabbildung Bd. 330, S. 502 Abb. 1. Denken wir uns als Energie abgebenden Körper ein bestimmtes Gasgewicht, das in einem Zylinder eingeschlossen ist, in welchem sich ein Kolben bewegt. T1 sei die absolute Temperatur des Gases in dem gegebenen Anfangszustande a (Abb. 1). T sei die absolute Temperatur in dem gewählten Endzustand b. Dann lassen sich die beiden Zustände a und b bei passend gewählten Maßstäben für P und v in einem P, v-Diagramm eintragen, und es lassen sich dann offenbar durch Punkt a und b der Abbildung unter allen Umständen, wie auch die Punkte liegen mögen, je eine Adiabate und eine Isotherme (is) legen. Vervollständigt man die Abbildung noch durch zwei weitere Isothermen d e (von der Temperatur T') und g h (von der Temperatur T2), so kann man nun von a nach b z.B. auf folgenden vier verschiedenen Wegen gelangen: Erster Weg: Von a nach c isothermische Verdichtung mit Abführung der Wärmemenge Q1 bei der Temperatur T1; dann adiabatische Ausdehnung c – b mit Erniedrigung der Temperatur von T1 bis auf die Temperatur des „Endzustandes“ T. Zweiter Weg: Von a bis e adiabatische Ausdehnung mit Erniedrigung der Temperatur von T1 auf T'. Abführung der Wärmemenge Q' isothermisch bei der Temperatur T' von e bis d. Dann adiabatische Ausdehnung von d bis b mit Erniedrigung der Temperatur T' bis auf die Temperatur des „Endzustandes“ T. Dritter Weg: Adiabatische Ausdehnung von a bis f mit Erniedrigung der Temperatur des Ausgangszustandes T1 bis auf die Temperatur T des Endzustandes, dann Abführung der Wärmemenge Q isothermisch bei der Temperatur T. Vierter Weg: Adiabatische Ausdehnung von a bis h, Erniedrigung der Temperatur T1 des Ausgangszustandes bis auf die niedrigste, überhaupt zur Verfügung stehende Temperatur T2. Abführung der Wärmemenge Q2 isothermisch bei der niedrigsten Temperatur T2 von h bis g, dann adiabatische Verdichtung von g bis b mit Erhöhung der Temperatur T2 auf die Temperatur des Endzustandes. Die dargestellten Zustandsänderungen, die um den Höchstwert an gewonnener Arbeit zu erzielen, sämtlich umkehrbar sein müssen, lassen sich nun offenbar, wie sich aus der Abbildung ergibt, als Teile von einem oder mehreren Carnotschen Kreisprozessen auffassen. Dann muß aber bekanntlich sein: \frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q'}{T'}=\frac{Q}{T}=\frac{Q_2}{T_2} . . . . . . (I) oder es müssen sich verhalten Q1: Q' : Q : Q2= T1:T' : T : T2. Wegen der Wahl von umkehrbaren Zustandsänderungen erhalten wir bei dem Uebergange vom Anfangszustande a in den Endzustand b in jedem der vier Fälle den unter diesen betreffenden Verhältnissen höchsten erzielbaren Betrag an gewonnener Arbeit und damit natürlich gleichzeitig den verhältnismäßig geringsten Betrag an abzuführender Wärme. (Nach dem zweiten Hauptsatz muß bekanntlich bei fortlaufender Umwandlung von Wärme in Arbeit stets ein Teil der zugeführten Wärme wieder als Wärme abgeführt werden.) Da nun aber nach Voraussetzung T2 die niedrigste überhaupt zur Verfügung stehende Temperatur, z.B. die Temperatur der Außenluft, des Grundwassers oder dergleichen ist, so ist auch Q2 die geringste überhaupt denkbare Wärmemenge, die beim Uebergang von a in den Endzustand b als Wärme abgeführt werden muß. Eine noch weitere Abkühlung des Gases unter T2 hätte keinen Zweck, denn eine Wärmeabführung bei einer Temperatur, die noch geringer ist als die überhaupt zur Verfügung stehende Temperatur T2 wäre ja doch nicht möglich. Das Gas müßte dann also, wenn man etwa künstliche Kühlung angewendet hätte, erst wieder durch Wärmezuführung oder Aufwendung von Arbeit auf die Temperatur T2 gebracht werden, worauf dann die Wärmeabführung erfolgen könnte. Schreibt man die Gleichung (I) in der Form: Q_2=\left(\frac{Q_1}{T_1}\right)\,T_2=\left(\frac{Q'}{T'}\right)\,T_2=\left(\frac{Q}{T}\right)\,T_2 . . (II) so stellt sich die Wärmemenge Q2 in verschiedener Weise als ein Produkt aus zwei Faktoren dar, von denen der eine Faktor immer derselbe bleibt, nämlich T2, während der andere Faktor, der Klammerwert, je nach dem „Wege“, welcher oben eingeschlagen wurde, aus verschiedenen Bestandteilen zusammengesetzt ist, deren Quotient aber, wie man sieht, überall gleich groß ist. Man erkennt also hier schon, daß es bei Feststellung der Größe der Klammerwerte garnicht darauf ankommt, welcher Weg von a nach b eingeschlagen wurde, vorausgesetzt allerdings, daß, wie es oben geschehen ist, dieser Weg sich nur aus umkehrbaren Zustandsänderungen zusammensetzt. Das Ergebnis unserer Betrachtungen ist nunmehr folgendes: Wenn ein mit Wärmeenergie begabter Körper von einem gegebenen Anfangszustande in einen gegebenen Endzustand übergeht, so ist es, wie schon aus dem eben angeführten zweiten Hauptsatze folgt, im allgemeinen selbst bei Anwendung idealer umkehrbarer Zustandsänderungen nicht möglich, die gesamte Energie in Arbeit umzusetzen, ein Teil der Energie muß vielmehr unter allen Umständen wieder als Wärme Q2 abgeführt werden. Man findet diesen Teilbetrag durch Multiplikation der niedrigsten absoluten Temperatur, die für eine Wärmeabführung überhaupt zur Verfügung steht, mit einem gewissen Faktor von der Form \left(\frac{Q}{T}\right). Die Entropie erstens ein Umwandlungsfaktor. Der soeben erwähnte gewisse Faktor, d.h. die untereinander gleichen Klammerwerte der Formel (II) stellen offenbar sozusagen einen Umwandlungsfaktor dar, einen Zahlenwert, durch welchen man, wenn er bekannt ist, oder sich irgendwie berechnen last, sofort feststellen kann, wieviel von der in einem Körper in einem gewissen Augenblick steckenden Wärmeenergie im allergünstigsten Falle als Arbeit gewonnen werden kann. Es dürfte daher wohl einleuchten, daß gerade dieser Umwandlungsfaktor bei allen denjenigen Rechnungen in der technischen Wärmelehre eine große Rolle spielen wird, bei denen es sich um Gewinnung von Arbeit aus Wärme handelt. Er erhielt daher auch einen besonderen Namen. Man nennt ihn nach Clausius die Entropie eines Körpers und bezeichnet ihn in der Regel mit S. Nehmen wir z.B. an, durch Uebergang des Körpers vom Ausgangszustand a in den Endzustand b ständen insgesamt 10000 WE an Energie zur Verfügung. Einer der obigen Klammerwerte der Formel (II), also die Entropie S, sei für den Ausgangszustand a mit bezug auf den Endzustand b irgendwie berechnet und betrage drei Entropie-Einheiten; die niedrigste zur Verfügung stehende Temperatur sei 27° C = 273 + 21 = 300° abs. Dann weiß man sofort: Von jenen 10000 WE können mindestens 3 . 300 = 900 WE unter keinen Umständen für eine Arbeitsleistung gewonnen werden. Selbst im theoretisch denkbar günstigsten Falle bleiben also von jenen 10000 WE nur noch 9100 WE übrig, die sich theoretisch überhaupt in Arbeit umsetzen lassen. Ist der Zustand des Körpers in demselben Punkte a ein solcher, daß die Anzahl der verfügbaren Wärmeeinheiten zwar auch 10000 WE ist, die Entropie S aber mit bezug auf den Punkt b z.B. 4 beträgt, und ist 300° wieder die niedrigste zur Verfügung stehende absolute Temperatur, dann lassen sich von jenen 10000 WE beim Uebergang von a nach b selbst im günstigsten Falle 4 . 300 = 1200 WE unter keinen Umständen in Arbeit umsetzen, es bleiben also nur noch 10000 – 1200 = 8800 WE. Bleibt sonst alles dasselbe, wird aber die Entropie S = 2, so bleiben für die Umsetzung in Arbeit nur noch zur Verfügung 10000 – (2 . 300) = 9400 Wärmeeinheiten usw. Die Entropie zweitens ein Zustandskennzeichen. Die Entropie ist, wie aus dem eben gesagten hervorgeht, ein besonderes Kennzeichen des Körpers in einem gewissen Augenblick. Geradeso, wie der Zustand eines Gases in einem betrachteten Augenblick dadurch gekennzeichnet wird, daß man angibt, wiegroß in diesem Augenblick sein kg-Volumen, seine Temperatur, sein Flächeneinheitsdruck ist, geradeso, wie ein weiteres Kennzeichen für den Körper die in ihm steckende Wärmeenergie ist, bezogen auf einen bestimmten gewählten Endzustand, geradeso gehört auch zur genauen Kennzeichnung des Zustandes des Körpers in dem betrachteten Augenblick jener Faktor, Entropie genannt. Die Entropie ist also, kurz gesagt, ein den Zustand eines Körpers mit bestimmender Zahlenwert, wobei jedoch wohl zu beachten ist, daß dieser Zahlenwert immer nur gültig ist mit bezug auf einen in gewisser Weise willkürlich gewählten Endzustand, oder, wie wir ihn nannten, Bezugspunkt. Hinsichtlich der Wahl des Bezugspunktes denke man hier etwa an den „Normal Null“, auf den bei Nivellierungs-arbeiten alle Höhenangaben bezogen werden. Auch dieser „Normal Null“-Punkt ist schließlich doch ein willkürlich angenommener Punkt, der an sich ebensogut tiefer oder höher gewählt werden könnte. Wählt man als Nullpunkt der Entropie nicht jenen Bezugspunkt b, sondern einen noch weiter zurückliegenden Punkt b', so daß also die Entropie in dem anfänglich gewählten Bezugspunkt b auch schon einen gewissen positiven Wert hat, so würde man bei dem Ausgangszustand a nicht von Entropie schlechthin, sondern von Entropiezuwachs sprechen müssen. Darunter wäre also derjenige Betrag zu verstehen, um welchen die Entropie vom Bezugspunkt b bis zu dem betrachteten Ausgangszustand a angewachsen ist. Eine Maßeinheit wie m3, kg, WE oder dergleichen gibt es für die Entropie nicht, es ist vielmehr ein reiner Zahlenwert, der in bestimmter, hier zunächst nicht in Betracht kommender Weise aus den anderen, den Zustand des Körpers bestimmenden Größen berechnet wird. Die Entropie ist, wie wir eben sahen, nur ein bestimmendes Kennzeichen für einen ganz bestimmten Zustand eines Körpers mit bezug auf einen ganz bestimmten Endzustand. Sie hängt z.B. nicht etwa davon ab, auf welche Weise die Energie nun tatsächlich in Arbeit und Wärme verwandelt wird. Durch Berechnung der Entropie ist ja durchaus nicht etwa die Anzahl von Wärmeeinheiten festgelegt, welche bei irgend einem bestimmten Uebergang vom Ausgangszustand in den gewählten Endzustand tatsächlich als Wärme abgeführt werden, sondern die Entropie ist nur ein Zahlenwert, aus dem sich gewissermaßen zu Vergleichszwecken feststellen läßt, wieviel Wärmeeinheiten im denkbar günstigsten, praktisch überhaupt niemals erreichbaren Fall nicht mehr zur Arbeitsleistung ausgenutzt werden können. Erinnert sei hier vielleicht an den Carnotschen Kreisprozeß, der aus praktischen Gründen in Wirklichkeit auch unausführbar ist, und doch als Vergleichsmaßstab in der Theorie der Wärmekraftmaschinen eine hervorragende Rolle spielt. Entropie drittens eine Wertangabe für die Energie. In dem oben gewählten Beispiel hatten wir angenommen, daß beim Uebergange eines Körpers vom Zustande a in den gewählten Endzustand b insgesamt 10000 WE an Energie verfügbar wurden. Es wurde aber an drei Sonderfällen gezeigt, daß damit der Zustand des Körpers bezüglich seiner Fähigkeit Arbeit zu leisten nicht eindeutig bestimmt war. Eindeutig bestimmt ist er vielmehr erst durch Mitangabe der Entropie (oder des Entropiezuwachses) des Körpers im Punkte a, die in den drei Sonderfällen zu 2, 3 und 4 angegeben war, woraus dann berechnet wurde, daß von jenen 10000 WE nur 9400, 9100 oder gar nur 8800 WE selbst im denkbar günstigsten Falle in nutzbare Arbeit umgewandelt werden könnten. Man sieht also, die Energiemenge von 10000 Wärmeeinheiten hat nicht in allen Fällen den gleichen Wert. Es gibt sozusagen hochwertige und minderwertige Energie. Ihr praktischer Wert wird erst bestimmt durch Angabe der Entropie oder des Entropiezuwachses S. Ist bei einer bestimmten Energiemenge die Entropie klein, so hat man hochwertige Energie, ist sie groß, dann hat man minderwertige Energie. Will man also einem Körper Energie in Form von Wärme zuführen, um vermittelst dieser Wärme den Körper Arbeit leisten zu lassen, so wird man nach Möglichkeit darauf zu achten haben, daß nicht etwa während der Wärmezuführung durch Abnahme der Temperatur eine Entwertung dieser Energie eintritt, oder, wie wir jetzt sagen werden, es muß darauf geachtet werden, daß die Entropie sich nicht unnütz vergrößert. Ein sehr lehrreiches Beispiel einer solchen schädlichen Entropievergrößerung bietet jede Dampfkesselanlage. Die in den Kohlen steckende chemisch gebundene Energie entwickelt sich zunächst durch Verbrennung der Kohle auf dem Roste zu sehr hochwertiger Energie, deren Entropie wegen der sehr hohen Temperatur (weit über 1000° C) verhältnismäßig klein ist. Selbst wenn es nun möglich wäre, sämtliche Wärmeeinheiten, die in den Feuergasen enthalten sind, durch die Kesselwandungen hindurch in das im Innern des Kessels befindliche Wasser überzuführen, so würde bei dieser Ueberführung dennoch eine beträchtliche Vergrößerung der Entropie S und damit eine beträchtliche Entwertung der zugeführten Energie eintreten, weil in dem Klammerausdruck der Formel (II) bei gleichbleibendem Q der Wert von T stark abgenommen hat, denn die Temperatur des Kesselwassers beträgt, selbst bei hochgespanntem Dampf nur etwa 200° C. Entwertung der Energie ist aber gleichbedeutend mit Arbeitsverlust, da ja nach unseren früheren Betrachtungen durch eine solche Entwertung der Energie ein viel größerer Teil davon nicht mehr in Arbeit umgesetzt werden kann. Bezüglich zahlenmäßiger Feststellung dieser Entwertung im Dampfmaschinenbetriebe sei z.B. auf das bereits oben erwähnte Buch von F. Krauß hingewiesen. Der Lynensche Vergleich. Sehr anschaulich wird das Verhältnis von Energie zu Entropie durch einen Vergleich, der meines Wissens zuerst von Professor Lynen in München angestellt wurde.Siehe Lynen, Die Wärmeausnutzung bei der Dampfmaschine, Berlin 1901, J. Springer. Energie kann danach verglichen werden mit einer Summe Geldes. Genau wie die Ausnutzung einer Energiemenge zur Arbeitsleistung nur bis zu einer bestimmten niedrigsten Temperatur T2 herunter stattfinden kann, z.B. also bis auf die Temperatur der Außenluft, des Grundwassers und dergleichen, so könnte etwa ein Sonderling folgenden eigenartigen Einfall haben: Er übergibt jemandem einen Scheck über sagen wir 500 M mit der Weisung, sich diese Summe auf einer Bank in beliebiger, aber einheitlicher Münze auszahlen zu lassen. Der Betreffende erhält die Erlaubnis, sich von diesem Gelde irgend etwas Beliebiges zu kaufen, muß sich aber verpflichten, von der gewählten Münze eine Rolle von ganz bestimmter Höhe, z.B. 5 cm an den Sonderling zurückzugeben. Es ist sofort klar, daß in diesem Falle auch 500 M und 500 M nicht gleichwertig sind. Würde der Betreffende so dumm sein, sich auf der Bank das Geld in großer Münze, etwa in 20 M-Stücken auszahlen zu lassen, so müßte er an den Sonderling offenbar viel mehr Geld zurückzahlen, als wenn er sich den Betrag in 50 Pf.-Stücken oder in noch kleinerer Münze hätte auszahlen lassen. Je kleiner er die Münze wählte, um so geringer ist die Summe, die er an den Sonderling zurückzuzahlen brauchte, um so mehr könnte er von den 500 M für sich verwenden. Wir hatten oben gesehen: die nicht in Arbeit umwandelbare, sondern in Form von Wärme abzuführende Energie hatte die Form Q2 = Q/T . T2 = S . T2. Es entspräche also in unserem Vergleich der Wert S = Q/T der Münze, dagegen T2 der Höhe der zurückzuliefernden Geldrolle. Je kleiner die Entropie S (die Münze) ist, um so größer ist bei gegebener Endtemperatur T2 (Höhe der abzuliefernden Geldrolle) die Energiemenge (Geldsumme), die zur Umwandlung in Arbeit (zu Anschaffungen beliebiger Art) zur Verfügung steht. Ob diese Energie (Geldsumme) aber auch wirklich zur Arbeitsleistung (zu nutzbaren Anschaffungen) verwendet wird, oder ob sie sonst irgendwie nutzlos verbraucht (durchgebracht oder fortgeworfen) wird, ist (dem Sonderling) völlig gleichgültig. Die Entropie (Münze) ist also kein Maßstab dafür, wieviel Energie (Geld) zur Gewinnung mechanischer Arbeit (zu Anschaffungen) verwendet wird, vielmehr ist sie nur bestimmend – und zwar durch Multiplikation mit T2; der niedrigsten Temperatur (der Höhe der abzuliefernden Geldrolle) – dafür, wieviel Wärme (Geld) unter keinen Umständen zur Gewinnung mechanischer Arbeit (zu Anschaffungen) verwendet werden kann. Berechnung der Entropie. Ausführliche Angaben darüber, wie die Entropie in jedem Falle berechnet werden kann, würden hier zu weit führen, nur einige Grundlagen für solche Berechnungen seien im Folgenden kurz behandelt. Es war oben dargelegt worden, daß die Entropie ein Faktor ist von der allgemeinen Form Q/T, d.h. in Worten: „Wärme, die von einem gewählten Zustand aus zugeführt wird, geteilt durch die absolute Temperatur, bei welcher diese Wärme jeweilig zugeführt wird“. Bleibt nun die Temperatur während der Wärmezuführung unverändert, so ist Q/T in der Tat der Ausdruck für die hier sehr einfach zu berechnende Entropie, Ein solcher Fall liegt z.B. vor, wenn Wasser, welches auf eine bestimmte Temperatur erhitzt ist, durch weitere Wärmezuführung bei gleichbleibendem Druck in Dampf verwandelt wird: In einem mit einem Kolben verschlossenen Zylinder befinde sich 1 kg Wasser von rund 120° C = 393° abs., entsprechend einer Temperatur von gesättigtem Wasserdampf von 2 at abs. Um dieses Wasser bei gleichbleibendem Druck in Dampf zu verwandeln, sind, wie aus Dampftabellen zu entnehmen ist, rund Q = 527 WE erforderlich. Wählt man als Bezugspunkt Wasser von 120° C, so ist in dem Augenblick, wo sämtliches Wasser in Dampf verwandelt ist, die Entropie (oder der Entropiezuwachs) S = Q/T = 527/393 = 1,34, In dem Augenblick, wo z.B. erst 0,9 kg Wasser verdampft sind, wäre S' = 0,9 . 527/393 = 1,209. Wenn erst 0,8 kg Wasser verdampft sind, ist S'' = 0,8 . 1,34 = 1,072 usw. Soll die Entropie angegeben werden mit Wasser von 0° C als Bezugspunkt, so wäre diesem jeweiligen 5 hinzuzufügen die Entropie von Wasser von 120° C mit Wasser von 0° C als Bezugspunkt. Dieser Wert, der z.B. aus Dampftabellen entnommen werden kann, beträgt S0 = 0,365, und somit wäre die Entropie gesättigten Wasserdampfes bezogen auf Wasser von 0° C: SD = S0 +S = 0,365 + 1,34 = 1,70. Ist erst 0,9 kg Wasser in Dampf verwandelt, oder, wie man sich ausdrückt, ist die spezifische Dampfmenge x = 0,9, so wäre SD = S0 + S' = 0,365+ 1,209 = 1,574. Für x = 0,8 wäre SD'' = 0,365 + 1,072 = 1,437 usw. Weniger einfach wird die Berechnung, wenn, wie es meist der Fall ist, während der Wärmezuführung die Temperatur zunimmt. In diesem Falle denkt man sich die Wärmezuführung in der Weise zerlegt, daß man stets nur einen unendlich kleinen Teil der Wärme zuführt, wobeiwährend dieser unendlich kleinen Wärmezuführung die Temperatur als unveränderlich angenommen werden kann. Ein unendlich kleiner Entropiezuwachs ist dann d\,S=\frac{d\,Q}{T} und der ganze Entropiezuwachs S=\int\,\frac{d\,Q}{T}. Um auch hierfür ein einfaches Beispiel anzuführen, wählen wir 1 kg gesättigten Wasserdampfes von 8 at abs., entsprechend einer (Dampftabellen entnommenen) Dampftemperatur von rund t1 = 170° C, oder T1 = 443° abs. Es soll die Entropie dieses Dampfes berechnet werden, wenn er auf t2 = 200° C entsprechend T2 = 473° abs. überhitzt wird. Um 1 kg irgend eines Stoffes um d T zu erwärmen sind bekanntlich c . d T WE erforderlich, wobei c die spezifische Wärme des betreffenden Körpers ist. Kann c als unveränderlich angesehen werden, z.B. bei überhitztem Dampf innerhalb nicht zu weiter Grenzen, dann ist der Entropiezuwachs vom Sättigungszustande aus S_{\mbox{u}}=c\,\int_{\mbox{T}_1}^{\mbox{T}_2}\,\frac{d\,T}{T}=c\,.\,ln\,\frac{T_2}{T_1}. Wird also 1 kg gesättigter Dampf von 8 at abs. (oder 443° abs.) um 30° überhitzt, so ist, da in diesem Zwischenraum bei gleichbleibendem Dampfdruck ein unveränderlicher Mittelwert von c = 0,56 angenommen werden kann, Su = 0,56 . ln 473/443 = 0,037. Aus Dampftabellen kann entnommen werden, daß die Entropie gesättigten Wasserdampfes von 8 at abs., bezogen auf Wasser von 0° C, SD = 1,6 ist. Daher ist die Entropie des auf 200° C (= 473° abs.) überhitzten Dampfes von 8 at abs. mit Wasser von 0°C als Bezugspunkt S = 1,6 + 0,037 = 1,637. Das heißt also, um es hier noch einmal zu wiederholen: Eine Wärmekraftmaschine, die mit Dampf, und zwar zwischen den Temperaturen 0° und 200° arbeitet, kann die in dem Dampf steckende Wärme auch unter Anwendung des günstigsten Kreisprozesses niemals vollständig in Arbeit verwandeln. Selbst im theoretisch günstigsten, praktisch niemals erreichbaren Falle, müßten von der in 1 kg Dampf steckenden Wärme stets 1,637 . 237 = 388 Wärmeeinheiten in Gestalt von Wärme aus der Maschine wieder abgeführt werden.