Die Entwicklung der technischen Physik in den letzten 20 Jahren. Von Ingenieur Dr. W. Hort, Berlin-Siemensstadt. (Fortsetzung von S. 108 d. Bd.) HORT: Die Entwicklung der technischen Physik in den letzten 20 Jahren. V. Technische Hydrodynamik. 1. Die Verwendung und Beherrschung der Wasserkräfte in der Maschinen- und Bautechnik hat im Laufe einer Entwicklung vieler Jahrhunderte heute einen hohen Grad der Ausdehnung und Vollkommenheit erreicht. Das im Laufe dieser Entwicklung auf Grund von Versuchen und. Beobachtungen gesammelte Tatsachenmaterial nebst den daraus gezogenen Folgerungen bildet den Inhalt der technischen Hydraulik und Hydromechanik. Es besteht kein allgemeines Uebereinkommen über die Abgrenzung dieser beiden Wissenszweige, die mannigfache Berührung miteinander haben. Nach neuerer Gepflogenheit scheint aber die Hydraulik mehr das bautechnische, die Hydromechanik dagegen das maschinentechnische Anwendungsgebiet zu umfassen. Zwei Lehrbücher von Ph. ForchheimerPh. Forchheimer. Hydraulik. Leipzig 1914.  und H. LorenzH. Lorenz. Techn. Hydromechanik. München und Berlin 1910. haben neuerdings diese beiden Gebiete eingehend behandelt. Der technischen Betrachtungsweise unseres Gegenstandes steht die mathematisch-theoretische Hydrodynamik gegenüber, die, in ihren Anfängen natürlich ebenfalls auf der Beobachtung aufbauend, seit der Formulierung der EulerschenL. Euler. Principes généraux du mouvement des fluides. Berlin. Hist. de l'Acad. 11 (1755). hydrodynamischen Grundgleichungen mehr und mehr sich in einer den praktischen Aufgaben abgewandten Richtung entwickelt hat. Hiermit wird keineswegs ein abfälliges Urteil über die theoretische Hydrodynamik beabsichtigt. Es mag im Gegenteil besonders darauf hingewiesen werden, daß ihre aus den Eulerschen Gleichungen fließenden Ergebnisse, wie die HelmhollzschenH. Helmholtz. Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. Journ. f. Math. 55 (1858). Wirbelsätze oder die Bewegung starrer Körper in idealen Flüssigkeiten, ebenso wie die Ausdehnung der Eulerschen Gleichungen auf zähe FlüssigkeitenG. G. Stokes. On the theories of the internal friction of fluids in motion, and the equilibrium and motion of elastic solids. Camb. Phil. Soc. Trans. 8 (1845). in bekannte LehrbücherZ.B. Föppl und Lorenz. der technischen Mechanik Aufnahme gefunden haben. Auch dürfte eine Darstellung der theoretischen Hydrodynamik etwa nach Lamb,H. Lamb. Lehrbuch der Hydrodynamik. Leipzig 1907. in welcher Anwendungen auf kosmische Erscheinungen (Ebbe und Flut) zur Sprache kommen, auch für den wissenschaftlich strebenden Ingenieur viele Anregungspunkte bieten. Wir werden im folgenden untersuchen, inwiefern lange Zeit hindurch die theoretische Hydrodynamik in ihren Ergebnissen keine unmittelbare Möglichkeit der Anwendung auf bautechnische oder maschinentechnische Probleme bot und welche neueren Ansätze dazu vorliegen, sie in Einklang mit dem praktischen Tatsachenmaterial zu bringen und weiter zu entwickeln. 2. Die stationären Strömungen (gleichförmige und ungleichförmige) in Röhren und offenen Wasserläufen beanspruchen von altersher einen besonders breiten Raum auf dem Gebiete der Hydraulik. Sie werden behandelt auf Grund der BernoullischenD. Bernoulli. Hydrodynamica. Argentorati 1738 S. 11. Stromfadentheorie. In Abb. 11 sei s s ein Stromfaden und A B eine Stromröhre, die von den zu s s benachbarten Fäden gebildet wird. Für die Querschnitte F und die mittleren Geschwindigkeiten U in ihnen gilt die Kontinuitätsgleichung F U = Konstante (1) Diese Gleichung ist mit großer Annäherung für nicht zusammendrückbare Flüssigkeiten stets richtig, so lange die Flüssigkeit den durchströmten Querschnitt ausfüllt. Die Kontinuitätsgleichung ist schon sehr frühzeitig erkannt worden und gehört seit Euler zu den hydrodynamischen Grundgleichungen der idealen Flüssigkeiten, allerdings hier in der Form einer partiellen Differentialgleichung: \frac{\partial\,v_x}{\partial\,x}+\frac{\partial\,v_y}{\partial\,y}+\frac{\partial\,v_z}{\partial\,z}=0 (2) Die drei übrigen Gleichungen lauten: \frac{d\,v_x}{d\,t}=-\frac{g}{\gamma}\,\frac{\partial\,p}{\partial\,x}+q_x \frac{d\,v_y}{d\,t}=-\frac{g}{\gamma}\,\frac{\partial\,p}{\partial\,y}+q_y \frac{d\,v_z}{d\,t}=-\frac{g}{\gamma}\,\frac{\partial\,p}{\partial\,z}+q_z (3) wo nach Abb. 12 bedeuten: vx, vy, vz die Komponenten der Geschwindigkeit am Orte x, y, z, p den Druck im Raumelement dx, dy, dz, qx, qy, qz die Komponenten einer von einer äußeren Volumkraft herrührenden Beschleunigung des Massenelements \frac{\gamma}{g} dx, dy, dz. Es ist die Aufgabe der theoretischen Hydrodynamik, vx, vy, vz und p aus den Gleichungen (2) und (3) bei gegebenen Anfangs- und Randbedingungen und bekanntem qx, qy, qz als Funktionen von x, y, z, t zu ermitteln. Textabbildung Bd. 332, S. 168 Abb. 11. Textabbildung Bd. 332, S. 168 Abb. 12. Weiter hat Bernoulli für die Bewegung in einem Stromfaden, die unter Einfluß der Schwere erfolgt, die Beziehung aufgestellt: \frac{p}{\gamma}+z+\frac{v^2}{2\,g}=\mbox{Konstante}=\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{{v_1}^2}{2\,g} (4) wo nach Abb. 13 p den Druck im betrachteten Stromfadenpunkte, v die Stromgeschwindigkeit daselbst, z die Tiefenlage des Punktes unter einem beliebig angenommenen Horizont, y das spezifische Gewicht des Wassers bedeuten. Dieser Bernoullische Ansatz, welcher nichts anderes als die Unveränderlichkeit der Gesamtenergie des einzelnen Wasserteilchens bei stationärer Bewegung ausspricht, ist auch aus den Eulerschen Grundgleichungen als Integral ableitbar, worauf wir hier indes nicht eingehen. Mit der Erfahrung stimmt allerdings der Bernoulli sehe Ansatz nicht überein. Schon die Verwendung der Stromgeschwindigkeit des einzelnen Wasserteilchens; die nicht beobachtbar ist, zwingt zu einer Aenderung des Ansatzes durch Einführung der mittleren Stromgeschwindigkeit des endlichen Querschnitts F U=\frac{1}{F}\,\int\,v\,d\,F\ .\ .\ .\ .\ .\ . (5) Wegen der praktisch ungleichmäßigen Verteilung von v über den Querschnitt (wenn wir die Stromröhre jetzt als von festen Wänden umschlossen, also als wirkliches Rohr voraussetzen) kann U nur unter Hinzunahme eines Korrektionsfaktors a in die Bernoullische Gleichung eingeführt werden: H=\alpha\,\frac{U^2}{2\,g}+z+\frac{p}{\gamma}=\mbox{Konstante}\ .\ . (6) Wesentlicher ist aber die Erfahrung, daß die hydraulische Druckhöhe H bei wirklichen Flüssigkeiten in Richtung der Bewegung abnimmt, welcher Tatsache man durch Einführung der Widerstandshöhe \zeta\,\frac{U^2}{2\,g} Rechnung trägt. Man schreibt demzufolge: \alpha\,\frac{U^2}{2\,g}+z+\frac{p}{\gamma}+\zeta\,\frac{U^2}{2\,g}=\mbox{Konstante}\ . (7) Der Ermittelung der Konstanten a und besonders des Widerstandskoeffizienten ξ ist eine außerordentlich große Zahl von Versuchen gewidmet worden, ja man kann sagen, daß ihre Erörterung und Auswertung zu Formeln möglichst großer Allgemeingültigkeit den größten Teil der älteren Hydraulik ausmachte. Textabbildung Bd. 332, S. 168 Abb. 13. Textabbildung Bd. 332, S. 168 Abb. 14. Trotz der praktischen Wichtigkeit dieser Ansätze konnte man nicht sagen, daß damit irgend etwas zur wissenschaftlichen Aufhellung der eigentlichen Strömungsvorgänge beigetragen worden wäre. Einen Schritt vorwärts in dieser Richtung tat die Einführung des Zähigkeitsbegriffs in die Theorie der idealen Flüssigkeiten. Mit Zähigkeit bezeichnet man die Uebertragung von Schubspannungen zwischen Flüssigkeitsschichten, die sich relativ zueinander bewegen. Sei in der Abb. 14 ein Bündel von Stromlinien gezeichnet, so wird, längs einer Stromlinie a b vom Flüssigkeitsteil A auf B eine Schubspannung übertragen, deren Größe auf den cm2 Trennungsfläche x\,\frac{\partial\,v}{\partial\,n} kg beträgt, wo x den Zähigkeitskoeffizienten oder die Reibungsziffer (auch Zähigkeitsmodul, Viskosität usw.), \frac{\partial\,v}{\partial\,n} das Quergefälle der Geschwindigkeit bedeutet. Die Schubspannung ist so gerichtet, daß die rascher fließende Schicht die langsamere zu beschleunigen sucht.Diese Auffassung von der Zähigkeit hatte schon J. Newton. Phil. nat. princ. math. 3. A. London 1726. Die Anwendung dieses Ansatzes auf die Strömung in einem Rohr setzt zunächst das Vorhandensein rein ausgeprägter Stromlinien, somit eine sogenannte Laminarbewegung voraus. Textabbildung Bd. 332, S. 169 Abb. 15. Findet in der Abb. 15 in dem Rohrstück A B (kreisförmigen Querschnitts) eine Abb. 15. solche stationäre Laminarströmung statt, so liefert die Vergleichung der an einem Zylinder des Radius x und der Länge dl wirkenden Kräfte den Ansatz x^2\,\pi\,d\,p=2\,x\,\pi\,d\,l\,\frac{d\,v}{d\,x}\,x\ .\ .\ .\ . (8) Auf der linken Seite dieser Gleichung steht die an den Endflächen des Zylinders angreifende von der Druckdifferenz d p herrührende Verschiebungskraft, auf der rechten Seite die im Zylindermantel 2 x π d l wirkende von der Zähigkeit herrührende Widerstandskraft; da die Bewegung stationär sein soll, müssen die beiden Kräfte gleich sein. Es folgt aus diesem Ansatz durch Integration, da an der Rohrwand (für x = r) v = 0 sein muß: v=\frac{r^2-x^2}{4\,x}\,\frac{d\,p}{d\,l} (9) und hieraus durch eine weitere Integration die Durchflußmenge: Q=\int_{o}^{r}\,2\,\pi\,x\,v\,d\,x=\frac{r^4\,\pi}{8\,x}\,\frac{d\,p}{d\,l}\ .\ .\ . (10) Dies ist die Poiseuillesche Gleichung. Ersetzt man noch die Größe \frac{Q}{\pi\,r^2} durch die mittlere Strömungsgeschwindigkeit Uy so findet sich das aufzuwendende Druckgefälle \frac{d\,p}{d\,l}=\frac{8\,x}{r^2}\,U\ .\ .\ .\ .\ . (11) Integriert man nochmals über die Rohrlänge l und dividiert durch das spezifische Gewicht γ, so erhält man den Druckhöhenverlust h=\frac{p}{\gamma}=\frac{8\,x\,l}{\gamma\,r^2}\,U\ .\ .\ .\ . (12) Durch zahlreiche Versuchea) J. L. M. Poiseuille. Ueber das Strömen von Flüssigkeiten durch Kapillarröhren. Mem. div. Savants. Paris 19 (1846).b) G. Q. Stokes. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of Pendulums. Camb. Phil. Soc. Trans. 9 (1851). ist erwiesen, daß dieses Gesetz der Proportionalität des Druckhöhenverlustes mit der Stromgeschwindigkeit bei einem und demselben Rohr richtig ist bis zu einem Grenzwert der Geschwindigkeit U1. Wird U weiter gesteigert, so wird h einer höheren Potenz von U proportional,Ueber diese Tatsache geben zahlreiche Versuche Rechenschaft, deren Literatur in der Hydraulik von Forchheimer eingehend besprochen ist. Insbesondere: M. H. Darcy. Recherches expérimentales rélatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux. Mem. Div. Sav. 15 (1858). H. Bazin. Recherches hydrauliques sur l'écoulement de l'eau. Mém. Div. Sav. 19 (1865). bis von einem weiteren Grenzgeschwindigkeitswerte U2 ab h sehr angenähert dem Quadrat von U proportional ist. Diese Verhältnisse werden besonders deutlich, wenn man statt h die Größe \frac{h}{l\,U} betrachtet. Dann gilt: \frac{h}{l\,U}=k_1;\ 0\,<\,U\,<\,U_1 \frac{h}{l\,U}=k\,U^{\mu};\ U_1\,<\,U\,<\,U_2 \frac{h}{l\,U}=k_2\,U;\ U_2\,<\,U . . (13) wo k1, k, k2 von der Rohrbeschaffenheit abhängige Konstante, μ eine Zahl > 1 bedeutet. Textabbildung Bd. 332, S. 169 Abb. 16. Nach einem Versuch von Sapph-SchoderTrans. Am. Soc. Civ. Eng. 1903 (51). besteht für dies Verhalten von \frac{h}{l\,U} ein Bild nach Abb. 16. Es ist das Verdienst besonders von Osborne Reynolds,London. An experimental investigation of the Circumstances, which determine, whether the Motion of Water shall be Direct or Sinous. Phil. Trans. 174 (1883). für die physikalische Deutung dieser Erscheinung gesorgt zu haben. Nach Reynolds ist die Laminarbewegung für U < U1 die stabile Bewegungsform in dem betrachteten Rohr. Steigt U über U1, so wird die Laminarströmung labil. Durch die rasche Strömung beginnen zunächst die an der Wand haftenden Flüssigkeitsteilchen sich loszureißen und unregelmäßig schwingungsartige Seitenbewegungen auszuführen, die bei um so niedriger Stromgeschwindigkeit U1 einsetzen, je rauher die Wandung ist. Diese turbulenten Bewegungen greifen schließlich mit steigender Geschwindigkeit auf die ganze strömende Masse über, bis bei U2 der Zustand völliger Turbulenz erreicht ist. Zur theoretischen Erklärunga) Lord Rayleigh. On the Stability or Instability of certain fluid Motions. Proc. Lond. Math. Soc. 11 (1880). 19 (1887), 27 (1895). On the Question of the Stability of the flow of Fluids. Phil. Mag. (5) 34 (1892).b) W. Thomson. Rectilinear Motion of Viscous Fluid between two Parallel Planes. Phil. Mag. (5) 24 (1887).c) O. Reynolds. On the dynamical Theory of incompressible Viscous Fluids. Phil. Trans. A. 186. (1894).d) H. A. Lorentz. Heber den Widerstand einer Flüssigkeit in einer zylindrischen Röhre. Amst. Versl. 6 (1897).e) Hahn, Herglotz, Schwarzschild. Ueber das Strömen des Wassers in Röhren und Kanälen. Z. f. Math, und Phys. 1905 S. 411.f) Boussinesq. Théorie de l'écoulement tourbillonant I. Paris 1907. der Turbulenz aus den hydrodynamischen Grundgleichungen sind eine Reihe von Untersuchungen angestellt worden, ohne daß es gelungen wäre, die Frage völlig aufzuhellen. So sind wir bezüglich der Werte der Konstanten kl, k, k2, μ. sowie der Grenzgeschwindigkeiten U1 und U2 auf Versuche angewiesen. Für die obere Grenzgeschwindigkeit gilt ein empirischer Ansatz von Reynolds, der bei glatten kreisförmigen Rohren lautet U_2=\frac{x\,.\,k}{\mu\,d}\ .\ .\ .\ .\ .\ . (14) Hier bedeutet: x den Zähigkeitskoeffizienten in kg ∙ m– 2 sec, μ die spezifische Masse in kg ∙ m– 4 sec2, d den Rohrdurchmesser in m, k eine Konstante, die eine reine Zahl ist und für Wasser den Wert 1900 bis 2000 hat. Eine genauere Darstellung der mit der Wasserbewegung und ihren Widerständen zusammenhängenden Fragen bietet v. MisesR. v. Mises. Elemente der techn. Hydromechanik. Leipzig 1914. B. G. Teubner. in seinen Elementen der technischen Hydrodynamik, während R. BielR. Biel. Mitt. über Forschungsarbeiten des Vereins deutscher Ingenieure Nr. 44 (1907). die neueren Versuche zusammengestellt und zu Widerstandsformern im Sinne der Poiseuille-Reynoldsschen Theorie ausgewertet hat. Durch L. PrandtlL. Prandtl. Ueber Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verh. d. 3. Int. Math. Kongr. zu Heidelberg. 1904 S. 484. ist die Theorie der nicht-reibungsfreien Flüssigkeiten mit einem neuen Gedanken bereichert worden, durch den besonders die Erscheinungen der Wirbelbildung beim Strömen an Hindernissen entlang ihre Erklärung fanden. Prandtl unterscheidet zwischen dem „freien Teile“ der strömenden Flüssigkeit, in welchem die Reibung als klein vorausgesetzt wird, von der am Hindernis sich bildenden „Grenzschicht“, deren Verhalten infolge des in ihr stattfindenden starken Geschwindigkeitsabfalles wesentlich durch die Reibung beeinflußt wird. Die Grenzschicht wird besonders dann von Bedeutung, wenn etwa mit einer Zunahme des Rohrquerschnitts in Richtung der Strömung eine Drucksteigerung und damit eine Verzögerung der Bewegung verbunden ist. Da die Drucksteigerung und die Verzögerung sich gleichmäßig über den Querschnitt einschließlich der Grenzschicht verteilen, so wird in letzterer die Strömungsgeschwindigkeit schneller kleiner werden als im freien Teile der Flüssigkeit. Es wird demnach in einem gewissen Punkte Geschwindigkeitsumkehr stattfinden und damit die freie Strömung sich von der Grenzschicht ablösen. In der Abb. 17 ist diese Vorstellung skizziert und auch der mit der Ablösung verbundene Wirbel angedeutet. Textabbildung Bd. 332, S. 170 Abb. 17. Eine theoretische Analyse des Prandtlschen Gedankens ist von BlasiusBlasius. a) Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Dissertation. Göttingen 1907. b) Laminare Strömung in Kanälen wechselnder Breite. Z. f. Math. u. Phys. 1910 S. 225. vorgenommen worden, wobei insbesondere der Punkt des Ablösungsbeginnes A berechnet und an Beispielen Uebereinstimmung der Rechnung mit den Prandtlschen Versuchen gezeigt werden konnte. Neuere Versuche von HochschildHochschild. Ueber Strömungsvorgänge in erweiterten und verengten Kanälen. Mitt. über Forschungsarbeiten d. V. d. I. Nr. 114 (1912). bringen weiteren Bestätigungsstoff. Eine Arbeit von RubachRubach. Ueber die Entstehung und Fortbewegung des Wirbelpaares hinter zylindrischen Körpern. Mitt. über Forschungsarbeiten Nr. 185 (1916). aus der neuesten Zeit gehört bereits mehr in das Gebiet der Bewegung von Körpern in Flüssigkeiten, über welches weiter unten zu berichten sein wird. An technischen Anwendungen der stationären Parallelströmung erwähnen wir die Theorie der StrahlapparateZeuner. Vorlesungen über die Theorie der Turbinen. Leipzig 1899. und des Druckluftflüssigkeitshebers.H. Lorenz. Die Arbeitsweise und Berechnung der Druckluftflüssigkeitsheben Z. d. V. d. I. 1909. Hinsichtlich der ersteren verweisen wir auf die Darstellung bei Zeuner, während über letzteren H. Lorenz eine Untersuchung veröffentlicht hat. (Fortsetzung folgt.)