Hilfswerte zur Ermittlung des Durchhanges von Tragseilen und deren Ablenkung an den Stützpunkten. Von Dipl.-Ing. J. Hasenpflug †. Herausgegeben von Dipl.-Ing. Fr. Hornung, Moers. HASENPFLUG: Hilfswerte zur Ermittlung des Durchhanges von Tragseilen usw. Vorwort des Herausgebers. Die vorliegende Arbeit ist eine Studie eines Verwandten, der auf dem Felde der Ehre gefallen ist, kurz nachdem es ihm noch vergönnt war, seine Studie druckfertig zu machen. In der Arbeit sind offenbar Erfahrungen und Ueberlegungen niedergelegt, die der Verfasser als Fachmann auf dem Gebiete der Drahtseilbahnen während einer Tätigkeit als Konstrukteur und Montageleiter zu sammeln Gelegenheit hatte. Einer an mich gerichteten Bitte der Eltern des Verblichenen, die in seinem Nachlaß gefundene Arbeit wenn möglich – gewissermaßen als Vermächtnis – der Allgemeinheit zugänglich zu machen, habe ich gerne entsprochen, da ich nach Durchsicht der Handschrift die Ueberzeugung gewann, daß sie wohl der Veröffentlichung wert ist. Mein Anteil an dieser Veröffentlichung beschränkt sich aber lediglich auf dieses Vorwort und einige, durchaus geringfügige Textänderungen, die mir im Interesse des allgemeinen Verständnisses notwendig erschienen. Nun habe der Verfasser das Wort: Bedeuten: h Durchhang des Seiles im m, g Eigengewicht des Seiles in kg/m, P Größe einer Einzellast in kg, H Seilspannung in kg, M Statisches Moment an irgend einer Stelle des Seiles, A Auflagerdruck des Seiles an den Stützpunkten, a Neigung des Seiles an den Stützpunkten, a Abstand der Einzellasten, l Abstand der Stützen, n Anzahl der Einzellasten, gerade, m Anzahl der Einzellasten, ungerade, so gilt angenähert: h=\frac{M}{H}\ .\ .\ .\ .\ .\ . (1) infolgedessen für Eigengewicht: h_{\mbox{g\,max}}=\frac{g\,l^2}{8\,.\,H}\ .\ .\ .\ .\ . (2) für Nutzlast (Einzellasten in gleichmäßigen Abständen) a) für eine ungerade Anzahl „m“: h_{\mbox{p\,max}}=\frac{P}{H}\,\left[\frac{l\,.\,m}{4}-\frac{a}{8}\,(m^2-1)\right]\ .\ . (3) In diesem Falle befindet sich hmax in der Mitte der Stützweite. b) für eine gerade Anzahl „n“: h_{\mbox{p\,max}}=\frac{P\,.\,n}{H}\,\left[\frac{\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2}{l}-\frac{a}{8}\,(n+2)\right]\ .\ . (4) In diesem Falle befindet sich hmax im Abstande \frac{a}{4} von der Mitte der Stützweite entfernt. Zur Entscheidung, bis zu welcher Stützweite eine gegebene Anzahl von Einzellasten den größten Durchhang liefert bzw. von welcher ab die nächsthöhere Anzahl hierfür maßgebend ist, dienen folgende Beziehungen: a) Die Stützweite, für welche eine beliebige ungerade Lastenzahl (m) und die nächsthöhere gerade Lastenzahl (m + 1) gleiche Größtmomente bzw. Durchhänge ergeben, beträgt: l_{m/m+1}=\frac{a}{2}\,[m+1+\sqrt{m\,(m+1)}]\ .\ . (5) und b) die Stützweite, für welche eine gerade Lastenzahl (n) und die nächsthöhere ungerade (n + 1) gleiche Größtmomente ergeben, beträgt: l_{n/n+1}=\frac{a}{2}\,[n+\sqrt{n\,(n+1)}]\ .\ .\ . (6) Um für gewöhnliche Fälle eine schnelle Uebersicht zu erleichtern, sind auf Grund der oben angeführten Beziehungen eine Reihe von Durchhangswerten ermittelt und in der folgenden Tafel 1 zusammengestellt worden; als Normalwerte wurden hierbei angenommen: g = 10 kg/m, H = 25 000 kg, P = 100 kg. Tafel 1. Stützen-entfernungen(m) Größter Durchhang in „m“ fürEigen-gew. v.10 kg/m fur Einzellasten v. 1000 kg in regelm  Abst. von 25 m 30 m 40 m 50 m 60 m 80 m 100 m   50 0,13 0,562   0,501   0,501 0,501 0,501 0,501 0,501   60 0,18 0,803   0,672   0,601 0,601 0,601 0,601 0,601   70 0,25 l,103   0,903   0,722 0,701 0,701 0,701 0 701   80 0,32 l,403   l,203   0,902 0,801 0,801 0,801 0,801   90 0,41 l,703   l,503   1,103 0,942 0,901 0,901 0,901 100 0,50 2,064   1,803   l,403 1,132 1,001 1,001 l,001 120 0,72 3,005   2,484   2,003 l,603 1,352 1,201 l,201 140 0,98 4,005   3,405   2,603 2,203 1,803 1,432 l,401 160 1,28 5,207   4,405   3,304 2,803 2,408 l,802 l,601 180 1,62 6,607   5,466   4,205 3,408 3,003 2,203 1,882 200 2,00 8,078   6,807   5,205 4,124 3,603 2,803 2,252 250 3,13 12,5610 10,509   7,906 6,104 5,334 4,303 3,503 300 4,50 18,0412 15,0810 11,407 9,126 7,805 5,814 5,003 Anmerkung: Die kleinen Zahlen geben die Anzahl der den betreffenden Durchhang erzeugenden Wagen an.Anmerkungszeichen zu dieser Fußnote fehlt im Text.Die Ableitung der Gleichungen (3) bis (6) ist im Anhang dieser Arbeit beigefügt. Um den Größtwert des Gesamtdurchhanges zu erhalten, sind a) bei ungerader Wagenzahl die angegebenen Tafelwerte unmittelbar zu addieren, b) bei gerader Wagenzahl von der Summe der beiden Durchhänge der Wert Δhg in Abzug zu bringen (da der größte Durchhang infolge der Nutzlast nicht in der Mitte, wie durch Eigengewicht, sondern in \frac{a}{4} hiervon entfernt eintritt), wobei \Delta\,h_g=h_g\,\left(\frac{a}{4}\,:\,\frac{l}{2}\right)^2=h_g\,.\,\frac{4\,a^2}{16\,l^2}=\frac{1}{4}\,\left(\frac{a}{l}\right)^2\,h_g. Dieser Betrag kann übrigens in den allermeisten Fällen vernachlässigt werden, denn ungünstigsten Falles, nämlich bei l = 1,7a und zwei Lasten würde sein: \Delta\,h_{\mbox{g\,max}}=\frac{1}{4}\,\left(\frac{a}{1,7\,a}\right)^2\,h_g=1\,:\,11,6\,h_g\,\overset{\infty}{=}\,8,6% von hg! Ein Schaubild der Tafelwerte liefert Abb. 1. Für andere Verhältnisse, als die, welche den ermittelten Durchhängen zugrunde gelegt sind, müssen die betreffenden Werte mit entsprechenden Verhältniszahlen multipliziert werden, und zwar: für eine Seilspannung Ht mit \frac{25}{H} oder \frac{1}{H\,:\,25} (α) für ein Wagengewicht Pkg mit \frac{P}{1000} (ß) für ein Seilgewicht gkg/m mit \frac{g}{10} (γ) Nachstehend sind diese Verhältniszahlen für häufig vorkommende Fälle angegeben: Textabbildung Bd. 332, S. 205 Abb. 1.Größte Seildurchhänge für Stützweiten von 50 bis 300 m und Wagenabstände von 25, 30, 40. 50, 60, 80 und 100 m. Festwerte: H = 25000 kg, g = 10 kg/m, P = 1000 kg In einem gegebenen Falle (s. auch Abb. 1) werden die verschiedenen Verhältniszahlen am zweckmäßigsten gleich zu einer einzigen zusammengefaßt. Zum Beispiel: gesucht ist der größte Seildurchhang für l = 180 m, a = 30m, g = 12 kg/m, P = 1500 kg und H = 32,5t; er beträgt: h=\alpha\,\beta\,.\,\gamma\,\left(\frac{1,62}{\beta}+5,46\right)=\frac{1,5\,.\,1,2}{1,3}\,\left(\frac{1,62}{1,5}+5,46\right)_m, oder anders ausgedrückt: h = a ∙ γ(1,62 + β + 5,46), oder h = a ∙ γ ∙1,62 + a ∙ β ∙ γ ∙ 5,46. Auf jeden Fall ist aber zu beachten, daß der Wert für den Durchhang infolge Eigengewicht selbstverständlich nur mit „a ∙ γ“  multiplizieren ist, da er ja mit der Wagenlast nichts zu tun hat. Zur Ermittlung von Durchhängen für Stützenentfernungen und Wagenabstände, die sich in der Tafel 1 nicht vorfinden, dürfte die geradlinige Interpolation in den meisten Fällen genügen. Sonst sind die Formeln (2) bis (6) hierfür zu benutzen. Die größte Seilneigung an einem Stützpunkt ergibt sich aus: \mbox{tg}\,\alpha_{\mbox{max}}=\frac{A_{\mbox{max}}}{H}. In der folgenden Tafel 2 ist der Wert des größten Auflagerdruckes über einer Stütze (i4n,ax) für eine Reihe von Belastungsfällen ermittelt worden, wobei wiederum als Grundannahme diente: P= 1000 kg. Tafel 2. Stützen-entfernungen(m) Größter Durchhang in  „t“für Einzellasten v. 1000 kg in regelm  Abst. von 25 m 30 m 40 m 50 m 60 m 80 m 100 m   50 1,502 1,402 l,202 l,002 l,001 1,001 1,001   60 1,753 1,501 1,332 1,172 l,002 1,001 1,001   70 1,933 1,723 1,432 1,292 1,142 l,001 1,001   80 2,134 l,884 l,503 1,382 1,252 1,001 l,001   90 2,344 2,003 1,673 1,442 1,332 1,112 l,001 100 2,505 2,204 l,803 l,503 1,402 1,202 1,001 120 2,925 2,505 2,003 1,753 1,503 1,332 1,172 140 3,326 2,865 2,284 1,933 1,713 1,432 1,282 160 3,727 3,186 2,505 2,124 1,883 l,503 1,382 180 4,118 3,507 2 785 2,344 2,004 1,673 l,442 200 4,5010 3,857 3,006 2,505 2,204 1,803 l,503 250 5,5011 4,6810 3,647 3,006 2,605 2,084 l,803 300 6,5013 5,5011 4,278 3,507 3,006 2,404 2,004 Anmerkung: Als Schaubild dazu siehe Abb. 2. Ueber den Auflagerdruck durch das Seilgewicht allein und über denjenigen Gesamtauflagerdruck, der sich bei ungleicher Höhenlage der Stützen herausbildet, geben Abb. 3 und 4 Aufschluß. Die kleinen Zahlen geben wiederum die Anzahl der den betreffenden Stützendruck hervorrufenden Einzellasten an. Für andere Einzellasten sind die Tafelwerte mit „ß“ zu multiplizieren (vgl. S. 204). Anhang. Ableitung der Formeln (3), (4), (5) und (6). Als bekannt wird vorausgesetzt, daß bei der Belastung eines einfachen Balkens durch Einzellasten mit gleichmäßigen Abständen das größte Moment 1. unter einem Lastpunkt liegt, 2. dann eintritt, wenn a) bei ungerader Lastenzahl die Resultierende über der Mitte des Balkens liegt, b) bei gerader Lastenzahl die Resultierende um \frac{a}{4} von der Balkenmitte entfernt ist. 1. Größtes Moment für eine ungerade Lastenzahl „m“ Mmax liegt in der Mitte \begin{array}{rcl}M_{\mbox{max}}&=&\frac{m\,P}{2}\,.\,\frac{l}{2}-P\,.\,a\,\left(1+2+3+\ .\ .\ .\ \frac{m-1}{2}\right)\\&=&P\,\left[\frac{m\,l}{4}-a\,\frac{\frac{m-1}{2}\,\left(1+\frac{m-1}{2}\right)}{2}\right]\\M_{\mbox{max}}&=&P\,\left[\frac{m\,l}{4}-\frac{a}{8}\,(m^2-1)\right]\ .\ .\ .\end{array} Gleichung (3) Textabbildung Bd. 332, S. 206 Abb. 2.Größte Auflagerdrücke für Stützweiten von 50 bis 300 m und Wagenabstände von 25, 30, 40, 50, 60, 80 und 100 m, P = 1000 kg angenommen. [Der horizontale Auflagerdruck infolge Wind von 200 kg/m2 unter der Annahme von 1,0 m2 Windfläche pro Wagen beträgt der Tafelwerte. Textabbildung Bd. 332, S. 206 Abb. 3.Auflagerdruck infolge des Seileigengewichts bei gleicher Höhe der benachbarten Stützen 2. Größtes Moment für eine gerade Lastenzahl „n“, Mmax liegt um \frac{a}{4} von der Balkenmitte entfernt. \begin{array}{rcl}A&=&\frac{P\,.\,n}{l}\,\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)\\M_{\mbox{max}}&=&\frac{P\,n}{l}\,\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2-P\,.\,a\,\left(1+2+\ .\ .\ .\ \frac{n}{2}\right)\\&=&P\,n\,\left[\frac{\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2}{l}-\frac{a}{8}\,(2+n)\right].\end{array} 3. Stützweite, für welche eine beliebige ungerade Lastenzahl (m) und die nächsthöhere (m + 1) gleiche Größtmomente ergeben. m Lasten rufen hervor: M_1=P\,\left[\frac{m\,l}{4}-\frac{a}{8}\,(m^2-1)\right] m + 1 Lasten rufen hervor: M_2=P\,(m+1)\,\left[\frac{\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2}{l}-\frac{a}{8}\,(m+3)\right]. Da M1 = M2, so folgt: \frac{m\,l}{4}-\frac{a}{8}\,(m^2-1)=(m+1)\,\left[\frac{\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2}{l}-\frac{a}{8}\,(m+3)\right] 2\,l\,.\,m-a\,m^2+a=(m+1)\,.\,2\,l+(m+1)\,\frac{a^2}{2\,l}+(m+1)\,2\,a-a\,m^2-3\,a\,m-a\,m-3\,a-2\,l-(m+1)\,\frac{a^2}{2\,l}=-2\,a\,(m+1) l^2-a\,l\,(m+1)=-\frac{a^2}{4}\,(m+1) l=\frac{a}{2}\,(m+1)\,\pm\,\sqrt{\frac{a^2}{4}\,(m+1)^2-\frac{a^2}{4}\,(m+1)} \begin{array}{rcl}l&=&\frac{a}{2}\,(m+1)\,\overset{+}{(-)}\,\frac{a}{2}\,\sqrt{(m+1)\,(m+1-1)}\\&=&\frac{a}{2}\,(m+1)\,\overset{+}{(-)}\,\frac{a}{2}\,\sqrt{m\,(m+1)}\\l&=&\frac{a}{2}\,[m+1\,\overset{+}{(-)}\,\sqrt{m\,(m+1)}]\ .\ .\ .\ .\end{array} Gleichung (5) Textabbildung Bd. 332, S. 206 Abb. 4.Auflagerdruck infolge Neigung der geraden Verbindungslinie zwischen den Stützenholmen 4. Stützweite, für welche eine beliebige gerade Lastenanzahl (n) und die nächsthöhere (n + 1) gleiche Größtmomente ergeben. n Lasten rufen hervor: M_1=P\,.\,n\,\left[\frac{\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2}{l}-\frac{a}{8}\,(n+2)\right], m = n + 1 Lasten rufen hervor: \begin{array}{rcl}M_2&=&P\,\left[\frac{l\,.\,m}{4}-\frac{a}{8}\,(m^2-1)^\right],\\&=&P\,\left[\frac{l\,(n+1)}{4}-\frac{n\,.\,a}{8}\,(n+2)\right].\end{array} Da M1 = M2, so folgt: \frac{n}{l}\,\left(\frac{l}{2}+\frac{a}{4}\right)^2-\frac{n\,.\,a}{8}\,(n+2)=\frac{l}{4}\,(n+1)-\frac{n\,.\,a}{8}\,(n+2), \frac{n}{l}\,\left(\frac{l^2}{4}+\frac{a^2}{16}+\frac{l\,.\,a}{4}\right)-\frac{l}{4}\,(n+1)=0, l^2-n\,.\,a\,l=\frac{n\,.\,a^2}{4}, l=\frac{a}{2}\,[n\,\overset{+}{(-)}\,\sqrt{n\,(n+1)}] Gleichung (6) –––––– Anmerkung: Das – Vorzeichen vor dem V-Ausdruck in den Gleichungen (5) und (6) ist eingeklammert, weil es keinen Sinn ergibt; l kann auf keinen Fall <\,\frac{a}{2} sein, daher gilt das + Vorzeichen.