Zur Theorie der Riementriebe. Von Oberingenieur G. Duffing, Berlin. DUFFING: Zur Theorie der Riementriebe. In seiner Arbeit „Theorie des Riementriebes“, Berlin, Springer 1918, hat Dr.-Ing. Wilhelm Stiel zum ersten Male den Versuch gemacht, den Uebergang des Riemens über die Scheibe im stationären Zustand ohne einschränkende Annahmen bezüglich der physikalischen Grundlagen zu beschreiben und denselben mit Erfolg durchgeführt. Stiel hat die Gesetze der Dehnung des Leders und der Reibung unverändert in seinen Rechnungsgang aufgenommen, so wie sich diese Gesetze aus dem spärlichen Versuchsmaterial herausschälen ließen. Sollten diese Gesetze infolge künftiger Forschungsergebnisse eine andere Gestalt annehmen, so bleibt doch der eingeschlagene Rechnungsgang in derselben Form anwendbar. Da aber gerade der rechnerische Teil der Arbeit noch verbesserungsfähig ist, so möchte ich, in Anbetracht der Wichtigkeit der Sache, hierzu einige ergänzende Ausführungen machen. Die Grundlagen der Rechnung sind hier wie dort: I. Das Dehnungsgesetz \lambda=f\,\left(\frac{S}{q}\right)=f\,(k), dargestellt durch die Kurve λ der Abb. 53, S. 84 (Stiel). Hierin bedeutet S die totale Trumkraft, q den Riemenquerschnitt (im unbelasteten Zustande), k die Materialanstrengung und λ die Verlängerung gegenüber dem unbelasteten Zustande, II. Das Gesetz der kombinierten Druck- und Flächenreibung d R = μ p d F + v d F, worin d F das Element der Berührungsfläche zwischen Riemen und Scheibe, p der spezifische Normaldruck, μ und ν Funktionen der Gleitgeschwindigkeit w : μ = f1 (w), ν = f2 (w) sind. III. Das Gesetz der Kontinuität, welches beim stationären Zustand die einfache Form hat: u – ϒ = konst. Hierin bedeutet u die Geschwindigkeit an einem im Raum festliegenden Punkt der Riemenbahn (Riemen durch ein Band von verschwindender Dicke ersetzt), ϒ das Gewicht der Längeneinheit des im Dehnungszustand befindlichen Riemens. Das Gesetz besagt, daß in der Zeiteinheit an jedem Punkt der räumlich festliegenden Riemenbahn dieselbe Masse vorbeigehen muß. Sein Inhalt ist, mit Rücksicht auf die Unveränderlichkeit der Riemenbahn und Unveränderlichkeit der Spannung in einem festen Raumpunkt identisch mit dem Prinzip von der Erhaltung der Masse und so unumstößlich daß Versuche, die den stationären Zustand voraussetzen, und deren Resultate damit im Widerspruch sind, vom wissenschaftlichen Standpunkt unbedingt verworfen werden müssen. Textabbildung Bd. 333, S. 233 Abb. 1. Beim Uebergang des Riemens über die Scheibe ist die Geschwindigkeit u an jedem Punkt des als fest im Raume gedachten Scheibenkreises eine andere, und ein Riemenelement von der Länge d s ist beim Uebergang (streng genommen sogar beim ganzen Riemenlauf) einem Geschwindigkeitswechsel unterworfen, so daß u ∙ ϒ = c ∙ ϒ0 . . . . . (1) wo ϒ0 das Gewicht der Längeneinheit des ungedehnten Riemens und c eine Konstante, die man als ideelle Riemengeschwindigkeit auffassen kann. Das Riemenelement von der Länge d s habe im ungedehnten Zustand die Länge d σ, dann ist zufolge. I: d s = dσ [1 + f (k)] . . . . . (2) und weil d s ∙ ϒ = d σ ∙ ϒ0 so folgt \gamma=\frac{\gamma_0}{1+f} . . . . . (3) und ferner u = c (1 + f) . . . . . (4) wo f als Abkürzung für f (k) zu gelten hat. Die Beschleunigung, welche das Riemenelement erhält, ist \frac{d\,u}{d\,t}=\frac{d\,u}{d\,s}\,.\,\frac{d\,s}{d\,t}=u\,.\,\frac{d\,u}{d\,s}. Nun ist aber \frac{d\,u}{d\,s}=c\,\frac{d\,f}{d\,s}=c\,\frac{d\,f}{d\,S}\,.\,\frac{d\,S}{d\,s}=c\,\frac{d}{d\,S}\,\left[f\,\left(\frac{S}{q}\right)\right]\,\frac{d\,S}{d\,s} oder \frac{d\,u}{d\,t}=\frac{c^2}{q}\,(1+f)\,.\,f'\,.\,\frac{d\,S}{d\,s} . . . . . (5) worin f' als Abkürzung für \frac{d\,f\,(k)}{d\,k} dient. Wir betrachten nun zunächst die getriebene Scheibe mit der Umfangsgeschwindigkeit a, wo also stets u – a ≧ 0 ist. An dem Riemenelement von der Länge d s greifen außer den Trumkräften die Reibungskräfte nach II in tangentialer Richtung an und verursachen mit jenen zusammen die Tangentialbeschleunigung \frac{d\,u}{d\,t}. Textabbildung Bd. 333, S. 234 Abb. 2. Mit Berücksichtigung der Zentrifugalkraft wird der Normaldruck p\,d\,F=S\,d\,\varphi-\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{u^2}{r}, entsprechend der Reibungkraft nach II d\,R=\mu\,\left[S\,d\,\varphi-\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{u^2}{r}\right]+v\,b\,d\,s . . . . . (6) wo b die Riemenbreite bedeutet. Man erhält dann die Tangentialbeschleunigung des Riemenelements von der Masse \gamma\,\frac{d\,s}{g} aus der Beziehung \gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{d\,u}{d\,t}=d\,S-d\,R . . . . . (7) oder unter Benutzung von (5) d\,S=\mu\,\left[S\,d\,\varphi-\gamma\,\frac{d\,s\,u^2}{g\,.\,r}\right]+v\,b\,d\,s+\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{c^2}{q}\,(1+f)\,f'\,\frac{d\,S}{d\,s}. Mit Rücksicht auf Gleichung (3) und (4) folgt hieraus d\,S=\frac{\mu\,d\,s}{r}\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b\,d\,s+\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,.\,q}\,.\,f'\,d\,S oder \frac{d\,S}{d\,s}\,\left[1-\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,.\,q}\,f'\right]=\frac{\mu}{r}\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b . . . . .(8) In dieser Differentialgleichung sind f und f' gemäß I Funktionen von S, und damit auch u gemäß Gl. (4), ebenso w = u – a Funktionen von S. Nach II stellen sich dann auch μ = f1 (w) und v = f2 (w) als Funktionen von S dar. Die Integration der Differentialgleichung (8) wird auf eine Quadratur zurückgeführt, da die Variabeln ohne Weiteres getrennt werden können. Man erhält \frac{\left[1-\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,q}\,.\,f'\right]\,d\,S}{\mu\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b\,r}=\frac{d\,s}{r}=d\,\varphi . . . . . (9) woraus der Umspannungsbogen \varphi_1-\varphi_2=\int_{\mbox{S}_2}^{\mbox{S}_1}\,\frac{1-\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,q}\,f'}{\mu\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b\,r}\,d\,S . . . . . (10) als Funktion der beiden Trumkräfte S1, S2 gefunden wird. Sind die Funktionen f, f1, f2 gegeben, d.h. existieren Rechenvorschriften, nach denen man die zu einem beliebigen S gehörigen f, f1, f2 ermitteln kann, so begegnet die Auswertung der rechten Seite von (10) mit beliebigem Genauigkeitsgrad nicht den geringsten Schwierigkeiten, so lange der Integrand endlich bleibt, was wir hier zunächst voraussetzen wollen. Die Möglichkeit, die rechte Seite von (10) in entwickelter Form als Funktion von S1 und S2 darzustellen, wird natürlich durch die Beschaffenheit der Funktion f bedingt sein, und da diese Funktionen empirisch aufgebaut werden, so hat man es unter Umständen in der Hand, durch zweckmäßige Auswahl dieser Funktionsformen, eine explizite Darstellung von (10), die für den ausführenden Maschinenbau sehr erwünscht ist, anzubahnen. Sind die f, f1, f2 rationale Funktionen von S, so läßt sich das unbestimmte Integral wohl ermitteln, vorausgesetzt, daß die Nullstellen des Nenners leicht angegeben werden können, anderenfalls wird man auch in diesem Falle bequem mit der näherungsweisen Quadratur auskommen. Angesichts der Tatsache, daß das bis heute bekannte Versuchsmaterial nicht ausreicht, um die Funktionen f, f1, f2 mit genügender Sicherheit zu bestimmen, dürfte es, um eine ungefähre Uebersicht über die Vorgänge zu erhalten, vorläufig zulässig sein, lineare Funktionen als rohe Näherungen für f, f1, f2 einzusetzen. In diesem Sinne sei angenommen f\,(k)=\varepsilon_0+\frac{1}{E}\,k=\varepsilon_0+\frac{S}{E\,q} . . . . . (11) f1 (w) = μ = konst. . . . . . (12) f2(w) = v = v0 + β (u – a) . . . . . (13) (Getriebene Scheibe u ≧ a.) Nach dem Aussehen der Abb. 53 bei „Stiel, Theorie des Riementriebes“ (vgl. Abb. 2) kommen die Abweichungen von (12) und (13) nur bei ganz kleinen Werten von w = u – a in Betracht, während in (11) ε0 und E so zu wählen sind, daß in dem für k benutzten Intervall die Abweichungen möglichst gering werden. Schließlich ist das Ergebnis der Annahmen (11) bis (13) durch Vergleich mit dem Ergebnis von (10), unter Benutzung der genauen Gesetze leicht zu prüfen. Aus (11) folgt f'=\frac{1}{E} . . . . . (14) Ferner u=c\,\left[1+\varepsilon_0+\frac{S}{E\,q}\right] . . . . . (15) und damit v=v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c+\beta\,c\,\frac{S}{E\,q} . . . . . (16) Setzt man diese Resultate in Gl. (9) ein, so ergibt sich durch eine einfache Rechnung S\,\left[1-\frac{m\,c^2}{E\,q}+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right]-m\,c^2\,(1+\varepsilon_0)+\frac{b\,r}{\mu}\,[v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst. }e^{\mu_1\,\varphi} . . . . . (17) wo \mu_1=\mu\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,(E\,q-m\,c^2)}\right]=\mu+\frac{b\,r\,\beta\,c'}{E\,q-m\,c^2} und m=\frac{\gamma_0}{g} die Masse der Längeneinheit des ungedehnten Riemens ist. In dem speziellen Fall ε0 = 0, v0 = 0, β = 0 ist die Gl. (17) identisch mit der Gl. (27) meiner Arbeit „Vorspannung und Achsdruck“, Zeitschr. d. V. d. I. 1913 S. 967, welche die Spannungsverteilung längs des Scheibenumfangs auf der Grundlage des alten Reibungsgesetzes darstellt. Bezüglich der Formel (17) ist zu bemerken, daß sie nur innerhalb gewisser Grenzen für die Werte k und w eine gute Annäherung an die nach dem Verfahren Von Stiel berechneten Werte geben kann, auf alle Fälle sind ganz kleine Werte von k und w auszuschließen. Im Uebrigen ist noch nicht abzusehen, wie weit beide Resultate der Wirklichkeit entsprechen, da die elastische Nachwirkung nicht berücksichtigt ist, über deren Rolle beim Riementrieb wir bis heute absolut nichts wissen. Die Formel müßte also nach allen Richtungen auf dem Versuchsstand geprüft werden, ehe sie zur Berechnung der Riementriebe empfohlen werden kann. Die Formel enthält aber in ihrer jetzigen Gestalt schon die bekannte Tatsache, daß Triebe mit hoher Geschwindigkeit und großen Scheiben günstiger arbeiten als man früher angenommen hat. Wir wollen nun an Hand der Formel (10) eine Stichprobe auf die Richtigkeit der Stielschen Berechnung machen und greifen hierzu aus Tabelle I S. 86 Ziffer 1 bis 7 heraus. Die Massenwirkungen sind daselbst vernachlässigt, so daß ϒ0 = 0 zu setzen ist, und demgemäß \varphi_1=\int_{\mbox{S}_2}^{\mbox{S}_1}\,\frac{d\,S}{\mu\,S+v\,b\,r}=\int_{\mbox{k}_2}^{\mbox{k}_1}\,\frac{d\,k}{\mu\,k+v\,\frac{r}{\delta}}, wo δ die Riemendicke bedeutet, und φ2 = 0 angenommen wird, was uns freisteht. Wir wählen das Intervall k2 = 4, k1 = 238,7 und berechnen den zugehörigen Umspannungswinkel φ1. Den Integranden \frac{1}{\mu\,k+50\,v} bezeichnen wir kürzer mit y. (r = 25 cm, δ = 0,5 cm, b = 10 cm). Wir teilen das Intervall k2 ≤ k ≤ k1 in acht Teile und erledigen die Quadratur vermittels der Simpsonschen Regel. Um w zu berechnen, müssen wir zuerst eine Festsetzung über c treffen. Nehmen wir an, daß die angegebene Riemengeschwindigkeit von 10 m/sek. sich auf eine Anstrengung k = 72 kg/cm2 bezieht, so folgt aus Abb. 53 (Stiel) f = 2,36 v. H. und damit c = 9,77 m/sek. Mit dem Anfangsschlupf von 40 cm/sek. ergibt sich die Umfangsgeschwindigkeit der Riemenscheibe a = 977 ∙ 1,0025 – 40 = 939,44 cm/sek. Damit sind aber sämtliche w = u – a= c [1 + f (k)] – a leicht aus Abb. 53 (Stiel) (vgl. Abb. 2.) zu ermitteln. Wir erhalten dann untenstehende Tabelle, und φ1 = Σφ = 3,537 gegenüber 3,500 bei Stiel. Die Uebereinstimmung ist befriedigend. Unser Rechnungsgang, der φ in Abhängigkeit von k darstellt, verursacht augenscheinlich weniger Mühe als das Stielsche Verfahren, bei welchem φ als unabhängige Variable gewählt wird. Aber auch diese Arbeit ist noch viel zu groß, wenn man einen Ueberblick über alle Riementriebe erlangen will. Wir wollen deshalb einmal die Zulässigkeit unserer Formel (17) an Hand der Abb. 54 (Stiel) prüfen, um so vielleicht doch zu einem brauchbaren Ersatz für die genaueren Berechnungen zu gelangen. Unter der Voraussetzung m = 0 (Vernachlässigung der Massen Wirkung) vereinfacht sich unsere Formel (17) in S\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right]+\frac{b\,r}{\mu}\,[v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst. }e^{\mu_1\,\varphi} \mu_1=\mu\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right] . . . . . (18) oder wenn durch q dividiert wird k\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right]+\frac{b\,r}{\mu\,q}\,[v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst. }e^{\mu_1\,\varphi} Mit q = b ∙ δ erhält man schließlich k\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,[v_0+\beta\,(c-\alpha)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst. }e^{\mu_1\,\varphi} \mu_1=\mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right] . . . . . (19) Der Schlupf, welcher, dem Auflaufpunkt entsprechend, der Materialanstrengung k2, zugehört, ist w2 = u2 – a = c – a + c f (k2) also c-a=w_2-c\,f\,(k_2)=w_2-c\,\left(\varepsilon_0+\frac{k_2}{E}\right) und \beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0=\beta\,\left[w_2-\frac{c\,k_2}{E}\right], womit man aus (19) k\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,\left[v_0+\beta\,\left(w_2-\frac{c\,k_2}{E}\right)\right]=\mbox{konst. }e^{\mu_1\,\varphi} wo \mu_1=\mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right] . . . . . (20) erhält. Für das in Rede stehende Beispiel von Stiel Riemengeschwindigkeit 1000 cm/sec. Scheibenradius r = 25 cm, Riemenbreite b = 10 cm, Riemenstärke δ = 0,5 cm, Anstrengung im schlaffen Trum k2 = 4 kg/cm2, Textabbildung Bd. 333, S. 235 nehmen wir wie oben (mangels näherer Festsetzung über den Begriff der „Riemengeschwindigkeit“) c = 977 cm/Sek. an. Wir setzen an Stelle der μ Kurve einen konstanten Wert μ = 0,595. Bei Ersatz der ν-Kurve durch eine Gerade wählen wir v0 = 0,08, β = 0,005 und bei der λ-Kurve wählen wir, entsprechend dem benutzten Intervall für k; ε0 = 0,01, \frac{1}{E}=0,0001765. Diese Annahme ergibt dann zum Beispiel für k = 30, f = 0,0153 gegen λ = 1,4 v. H. bei Stiel k = 150, f = 0,0365 gegen λ = 3,56 v. H., während für k = 4 die Abweichung sehr groß wird; es wird              f = 0,0100 gegen λ ~ 0,4 v. H. Es zeigt sich aber, daß selbst dieser anfechtbare Punkt unserer Annahme beim Schlußresultat wenig ausmacht. Es wird dann \beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}=0,0733,\ \mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]=0,6386. Wenn wir nun die Verhältnisse bei w2 = 40 cm/Sek. (bei Stiel wg = 40, Abb. 54. S. 88) prüfen, so erhalten wir \frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,\left[v_0+\beta\,\left(w_2-\frac{c\,k_2}{E}\right)\right]=23,2. Aus Formel (20) ergibt sich dann leicht φ als Funktion von k in der Form 0,6386 ∙ φ = log [1,0733 k + 23,2] – log [1,0733 k2 + 23,2] = log [1,0733 k + 23,2] – 3,3138 zum Beispiel ergibt sich für kn = 110, k = 114. φ = 2,610 gegen 2,500 nach Abb. 54 (Stiel), also ein Fehler von etwa 4 v. H., der gegenüber den Unsicherheiten der Grundkurven λ, μ, ν gar keine Bedeutung hat. Textabbildung Bd. 333, S. 236 Abb. 3. Es macht keine große Mühe, auf diese Weise die Kurven für w2 = 40, 30, 20 usw. nachzurechnen, die Sache geht aber noch einfacher zeichnerisch vermittels einer einzigen logarithmischen Linie: man ziehe, für unser obiges Beispiel eine Parallele A B zur Achse der k im Abstand 3,3138 und trage auf derselben die Skala 1,0733 (kn + 4) ab, so kann man unmittelbar den Winkel 0,6386 φ abgreifen und an einer geeigneten Skala φ selbst ablesen (vgl. Abb. 3). Für andere Werte von w2 ändert sich nur die Lage der Skala gegenüber der logarithmischen Kurve. Führt man die kleine Arbeit durch, so findet man in dem Gebiet w2 = 1 cm bis 40 cm/Sek., kn = 0 – 250 kg/cm2 eine Abweichung von den Ergebnissen von Stiel, die nicht mehr als 7 v. H. beträgt. Bei w2 = 0,1 cm/Sek. ist die Abweichung etwas größer als 10 v. H. Man wird vielleicht bessere Ersatzkurven wählen, wenn erst einmal die Grundgesetze über λ, μ, ν feststehen. Eventuell gibt man aber damit die Einfachheit des Schlußresultats preis. Unsere Formeln (19) und (20) ergeben alles, was in den Abb. 54 bis 68 (Stiel), soweit sie sich auf die getriebene Scheibe beziehen, enthalten ist. Die Kurve für we in Abb. 55 geht natürlich zufolge Gl. (11) in eine Gerade über. Qualitativ hat dies jedoch keine Bedeutung, wenn man kleine kn und w, also die linke untere Ecke des Diagramms ausschließt. Wir wollen unsere Formel noch mit Abb. 68 vergleichen und zu diesem Zweck kn bei gegebenem Gesamtschlupf w1, φ = 3, c = 10 m/Sek., k2 = 4 kg/cm2 als Funktion von r bestimmen. Auf dieselbe Weise wie Gl. (20) folgt aus (19) k\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,\left[v_0+\beta\,\left(w_1-\frac{c\,k_1}{E}\right)\right]=\mbox{konst. }e^{\mu_1\,\varphi} \mu_1=\mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right] . . . . . (21) Hieraus ergibt sich dann \frac{k_1+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}{k_2-\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\,k_{\mbox{n}}+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}=e^{\mu_1\,(\varphi_1-\varphi_2)}=e^{\mu_1\,\varphi_{1\,2}} oder \frac{k_2+k_{\mbox{n}}+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}{k_2-\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\,k_{\mbox{n}}+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}=e^{\mu_1\,\varphi_{1\,2}} . . . . . (22) In unserem Falle ist dann k2 = 4, \frac{\beta}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}=0,00297, μ1 = 0,595 + 0,00177 r. Wählen wir w1 = 40, so folgt \frac{1}{\mu\,\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)=0,941, φ12 = 3 und aus Gl. (22) folgt \frac{4+k_{\mbox{n}}+0,941\,r}{4-0,00297\,r\,k_{\mbox{n}}+0,941\,r}=e^{1,785=0,00531\,\mbox{r}} . . . . . (23) Bestimmt man hieraus kn, so erhält man für r = 0 kn = 19,84 gegen kn = 20,0 nach Abb. 68 (Stiel) r = 50 kn = 160,5 „ kn = 159 r = 100 kn = 227 „ kn = 225 r = 150 kn = 256 Diese Zahl ist jedoch bedeutungslos, da sich hierfürw2 < 0 ergibt, im Widerspruch mit unserer Voraussetzung r = ∞ kn = 317 Mit Ausnahme der beiden letzten Werte findet eine sehr gute Uebereinstimmung mit Abb. 68 statt. Wenn die Konstanten der Relationen (11), (12), (13) bekannt sind, wird man nach dem Vorhergehenden die Formeln (17) und (19) zur Berechnung des Riemens benutzen dürfen, wenigstens so lange, bis eine Formel gefunden ist, die besseren Anschluß an die tatsächlichen Verhältnisse bei kleinen k und w gewährt. Umgekehrt können auch, wenn zuverlässige Versuchsreihen von besonderen Versuchs-Riementrieben vorliegen (genaue Messung von k1, k2, w, a) diese Konstanten bestimmt werden Die Konstante c müßte aus der Umlaufzeit des Riemens, die sich durch optische Mittel leicht feststellen läßt, berechnet werden. Die Berechnung der übrigen Konstanten erfordert die Auflösung einer transzendenten Gleichung mit einer Unbekannten, die Erörterung dieser Materie soll jedoch auf einen geeigneten Zeitpunkt aufgeschoben werden. Ob die elastische Nachwirkung formelmäßig zum Ausdruck gebracht werden kann, steht noch dahin. Hinsichtlich des stationären Zustandes, auf den sich unsere ganze Betrachtung bezieht, muß man noch Zweifel hegen, ob er überhaupt dauernd unterhalten werden kann; denn in sehr vielen Fällen sind bei elastischen Systemen Reibungskräfte Erzeuger von Schwingungserscheinungen, und deshalb wäre es von Wichtigkeit für die Einschätzung der Theorie, wenn einmal ein stationärer Zustand eines Riementriebes experimentell einwandfrei nachgewiesen würde. (Schluß folgt.)