Die Zustandsfläche des Wasserdampfes. Von Dr. K. Schreber, Aachen. SCHREBER: Die Zustandsfläche des Wasserdampfes. Zeichnerische Grundlagen der Darstellung. Seit Clapeyron durch Anwendung der zeichnerischen Darstellung die Arbeiten Carnots dem Verständnis näher gebracht hat, hat sich das zeichnerische Verfahren namentlich in der Technik, welche durch ihren Beruf zum Zeichnen gezwungen und deshalb daran gewöhnt ist, so eingeführt, daß wohl kaum eine Arbeit erscheint, in welcher nicht die Versuchsergebnisse, häufig aber auch die Ergebnisse reiner Rechnungen zeichnerisch anschaulich gemacht werden. Bei jeder solchen Darstellung muß sich der Darstellende, bevor er mit der Arbeit beginnt, die Frage nach dem Maßstab, in welchem er seine Zahlen darstellen will, vorlegen und beantworten. Ist x die darzustellende Größe und l die Länge, mit der sie auf dem Blatt dargestellt werden soll, und entspricht einer Aenderung Δx der darzustellenden Größe eine Aenderung Δl der darstellenden Länge, so nenne ich \frac{\Delta\,l}{\Delta\,x}=\mu . . . . . . . 1 a) oder beim Grenzübergang \frac{d\,l}{d\,x}=\mu . . . . . . . 1 b) den Maßstab der Darstellung. Bei der Eichung von Indikatorfedern werde die Belastung der Feder um Δx = 1 at geändert. Dadurch ändert sich der Ausschlag l des Schreibstiftes um z.B. Δl = 5 mm, dann ist \frac{\Delta\,l}{\Delta\,x}=\frac{5\mbox{ mm}}{1\mbox{ at}} der gesuchte Maßstab der Feder. Beim Indikator wird möglichst dafür gesorgt, daß der Maßstab auf dem ganzen Blatt unveränderlich ist. Ob Δx = 1 at bei x = 4 at oder bei x = 8 at zugelegt wird, die Aenderung Δl des Ausschlages soll, so sucht man die Feder einzurichten, jedesmal wieder den Wert 5 mm erreichen. Nur dadurch erhält man eine einfache Rechnung bei der Benutzung des Indikatordiagrammes zur Feststellung der indizierten Arbeit, d.h. nur dadurch wird der Hauptzweck des Indikators bequem erreicht. Ein derartiger unveränderlicher Maßstab führt aber gelegentlich zu recht unangenehmen Mißständen. Ich verweise als Beispiel auf die Darstellung der Abhängigkeit zwischen Temperatur und Raumumfang des Wasserdampfes bei SchüleSchüle, Techn. Thermodynamik.. Schüle will ähnlich, wie man es für Indikatorfedern vorschreibt, denselben Maßstab auf dem ganzen Blatt beibehalten. Das gelingt aber nur dadurch, daß er die ganze Darstellung in drei Abschnitte zerlegt und für jeden Abschnitt einen Maßstab beibehält, ihn aber von Abschnitt zu Abschnitt ändert, und zwar in den recht großen Verhältnissen 1 : 20 : 200. Durch einen derartigen sprungweisen Wechsel des Maßstabes geht sicherlich der hauptsächlichste Wert der zeichnerischen Darstellung, ihre Anschaulichkeit, zum großen Teil verloren. Noch schlimmer aber ist, daß sich die Genauigkeit der Darstellung einmal stetig und dann auch noch sprungweise ändert. Bei jeder Beobachtung und bei jeder Darstellung beobachteter Größen macht man Fehler, welche durch die Unvollkommenheiten des Menschen und seiner Werkzeuge bedingt und veranlaßt sind. Beträgt bei einer Größe G der Fehler f, so ist die Darstellung um so genauer, je größer der Wert \frac{G}{f}=\epsilon . . . . . 2) ist. Man kann deshalb ε als das Maß der Genauigkeit ansehen. Bei zeichnerischen Darstellungen ist der Fehler f = Δl wesentlich bedingt durch die Dicke des Striches und durch die Verschiedenheit der Haltung des Stiftes, der Reißfeder, am Lineal. Diese Einflüsse sind auf dem ganzen Blatt die gleichen. Es ist also Δl von der Lage auf dem Blatt unabhängig. Daraus folgt, daß die Genauigkeit ε = l/Δl um so größer ist, je größer l selbst ist, d. h: je weiter die Lage des zu ziehenden Striches vom Anfangspunkt der Zählung von l entfernt ist. Von der zeichnerischen Darstellung einer beobachteten oder errechneten Größe muß man aber verlangen, daß sie auf dem ganzen Blatt überall dieselbe Genauigkeit besitzt, denn sonst wird die Genauigkeit der Beobachtung oder Rechnung durch die veränderliche Genauigkeit der Darstellung gestört, überdeckt, und läßt sich nicht mehr einwandfrei beurteilen. Es muß, wenn Δx der durch die Darstellung bedingte Fehler in x ist, \epsilon_x=\frac{x}{\Delta\,x} . . . . . . 3) überall auf dem Blatt denselben Wert haben. Man darf deshalb den Maßstab nicht für das ganze Blatt unveränderlich annehmen, sondern muß ihn dieser Bedingung entsprechend wählen. Bilden wir aus 3) Δx = x/εx und setzen das in 1 a) ein, so erhalten wir \frac{\Delta\,l}{x}\,.\,\epsilon_x=\mu oder         Δl • εx = x • μ. Wie eben aus den Bedingungen für die zeichnerische Darstellung erhalten wurde, ist Δl auf dem ganzen Blatt unveränderlich. Ferner hatten wir soeben die Bedingung festgelegt, daß εx auf dem ganzen Blatt unveränderlich sein solle. Aus beiden folgt, daß Δl • εx = μ' eine auf dem ganzen Blatt unveränderliche Größe ist. Mit anderen Worten, wir müssen den Maßstab μ der Darstellung so wählen, daß er sich umgekehrt mit x ändert: \mu=\frac{\mu'}{x}. Also erhalten wir aus 1b) \frac{d\,l}{d\,x}=\frac{\mu'}{x} oder d\,l=\mu'\,\frac{d\,x}{x} und daraus durch Integration l = μ' lnx . . . . . . 4) Nur wenn nicht die darzustellende Größe x selbst sondern ihr Logarithmus im Längenmaßstab aufgetragen wird, bekommen wir auf dem ganzen Blatt überall dieselbe Genauigkeit der Darstellung. Solange x innerhalb enger Grenzen sich ändert, z.B. zwischen 1 und 10, ist es ziemlich gleichgültig, ob man x selbst oder seinen Logarithmus durch die Länge darstellt. Sobald aber, wie es z.B. bei Druck und Raumumfang des Wasserdampfes der Fall ist, Aenderungen von x im Verhältnis 1 : 10000 bis 1 : 100000 vorkommen, ist es von großer Bedeutung, wie man den Maßstab wählt. Die Zustandsflächen des Wasserdampfes. Bei den Gasen sind die drei Größen p = Druck, v = Raumumfang, T= Temperatur, durch welche der Zustand einer bestimmten Menge, z.B. n Molen eines Gases gegeben ist, in erster, aber sehr weit gehender Annäherung durch die bekannte Zustandsgleichung pv = nRT miteinander verbunden, welche eine Vereinigung des Boyleschen Gesetzes mit der Gay-Lussacschen Temperaturzahlenreihe bildet. R ist eine für sämtliche Gase gleiche unveränderliche Größe, welche ihren Wert auch für das Gesetz des osmotischen Druckes von Lösungen beibehält. Für Wasserdampf wie überhaupt für Stoffe in der Nähe eines Umwandlungspunktes ihrer Erscheinungsart, läßt sich zurzeit eine solche Zustandsgleichung noch nicht angeben. Da kann man sich, wenn man die Beobachtungen zusammenfassen will, nur durch zeichnerische Darstellung helfen. Man hat sich in der Technik meist darauf beschränkt, nur eine der Zustandsgrößen als Grundveränderliche anzusehen und die anderen in Abhängigkeit von ihr durch getrennte Linienzüge auf einem einfachen Blatt mit zwei Bezugslinien darzustellen. Ich verweise dabei wieder auf das schon oben erwähnte Blatt von Schüle. Will man den Zustand vollständig darstellen, so muß man zur räumlichen Durchbildung übergehen. In der reinen Wissenschaft ist das schon vielfach geschehenz.B. Ostwald, Allgemeine Chemie II 2 1897, S. 342., hier aber stets ohne Rücksicht auf die wirklichen Werte, sondern nur in allgemeinen Ueberblicken. Für meinen Unterricht in der technischen Wärmelehre habe ich mir nun eine solche räumliche Darstellung der Zustandsfläche des Wasserdampfes mit möglichst genauer Wiedergabe der wirklichen Werte herstellen lassen. Die Temperatur ändert sich innerhalb des technisch wichtigen Gebietes der Zustandsfläche nur in beschränktem Maße, von 273 bis vielleicht 700°, also im Verhältnis 1 : 2,6. Nach der oben gegebenen Entwicklung darf man also bei der Darstellung der Temperatur durch die Länge selbst bleiben. Erinnert man sich übrigens des Zusammenhanges dieser Lord Kelvinschen unvollkommen thermo-dynamischen TemperaturzählungSchreber, Naturwissenschaftliche Wochenschrift 1920, Seite 1. mit der natürlichen thermodynamischen Zählung, so erkennt man, daß T selbst eigentlich schon eine logarithmische Zählung ist. Der Druck ändert sich im Verhältnis 1 : 40000 und der Raumumfang sogar im Verhältnis 1 : 200000. Wollte man diese wie üblich durch die Länge unmittelbar darstellen, so würde man zu sehr großer Verschiedenheit in der Genauigkeit der Darstellung kommen. Hier muß man zur logarithmischen Darstellung greifen, die es gleichzeitig ermöglicht, die ganze Fläche durch einen handlichen Körper auszuführen. Da der Körper, um ihn mit in die Vorlesung nehmen zu können, nicht gar zu groß sein darf, so habe ich mir nicht die Arbeit gemacht, die neuesten Beobachtungen selbst einer Berechnung zu unterziehen, sondern ich habe die in den bekannten Zusammenstellungen gegebenen Werte unmittelbar benutzt. Die Zustandsgrößen des überhitzten Dampfes habe ich aus den Tafeln von Stodola abgelesen, soweit diese reichen, und darüber hinaus den Dampf als einfaches Gas behandelt. Der so erhaltene Körper ist durch die Abbildung dargestellt. Die obere, dem Beschauer zugekehrte Fläche wird hinten, auf der abgewendeten Seite, durch die T-v-Ebene begrenzt. Von ihr kommt rechts schräg nach vorn die p-Achse. Die v-Achse geht nach oben, die T-Achse nach links. Der im Körper zum Ausdruck kommende Schnittpunkt der drei Achsen hat die Werte T= 263 (t = – 10), p = 0,001 at und v = 0,0008 m3/kg, so daß der dreifache Punkt der p-T-Ebene noch im Körper vorhanden ist. Ich werde später noch einmal auf ihn zurückkommen. Ich habe mir den Körper durch Ebenen parallel den Bezugsebenen geschnitten gedacht, und zwar durch eine Ebenenschaar parallel der T-v-Ebene und eine Schaar parallel der p-v-Ebene und die Schnitte durch rote Linien auf dem Körper kenntlich gemacht. Die der p-v-Ebene parallelen Ebenen, die also einem unveränderten Wert der Temperatur zugehören, geben bei hinreichend heißen Werten der Temperatur, also ganz links, Schnittlinien, auf denen die beiden sich ändernden Zustandsgrößen dem einfachen Boyleschen Gesetz pv = A gehorchen. Der mit seinem Rechenschieber vertraute Ingenieur weiß, daß in der hier angewendeten logarithmischen Darstellung diese Schnitte Gerade sind, d.h. die auf dem Bild so in die Augen fallende Fläche ist in erster Annäherung eine zylindrische. Je näher wir nach rechts kommen, um so mehr weichen die zueinander gehörenden Werte von Druck und Raumumfang auf einer T-Linie vom Boyleschen Gesetz ab. In der gewählten Größe des Körpers kommt aber diese Abweichung nur sehr wenig zum Ausdruck. Die Schnitte parallel der T-v-Ebene sind, entsprechend der auch hier in erster Annäherung geltenden Gleichung v = BT, da v logarithmisch, T dagegen unmittelbar aufgetragen ist, gekrümmt, aber so schwach, daß man es auf dem Bild nicht erkennt. Textabbildung Bd. 335, S. 227 Wir können uns diese Fläche als den Abhang eines Berges vorstellen, welcher sich, je mehr man nach rechts kommt, d.h. zu je kälteren Temperaturen man gelangt, immer mehr wölbt, bis man schließlich an eine Absturzfläche gelangt, welche der Geologe als Verwerfungsspalte bezeichnen würde. Man kann sich die Fläche auch als die Oberfläche eines Gletschers denken, welcher in das Meer mündet und „gekalbt“ hat. Diese Verwerfungsspalte, Bruchfläche des Gletschers, ist eine zur p-T-Fläche senkrecht stehende abwickelbare Fläche. Ihre Fußpunktlinie auf der p-T-Fläche gibt die Dampfdruck-Temperaturlinie. Je schwächer der Druck, und damit wegen der eben genannten Fußpunktlinie zusammenhängend, je kälter die Temperatur, um so höher ist der Absturz. Für den Grenzsiedepunkt, kritischen PunktDa das Wort kritisch für sehr viele Eigenschaften benutzt wird, so daß es für keine kennzeichnend ist, so verwende ich hier das Wort Grenzsiedepunkt, denn dieser Punkt gibt die Grenze an, bis zu welcher man ein Sieden oder umgekehrt ein Verflüssigen beobachten kann. Bei Drucken stärker als der Grenzsiededruck erhält man durch keine Aenderung der Temperatur und bei Temperaturen heißer als die Grenztemperatur durch keine Aenderung des Druckes ein Sieden oder Verflüssigen. Man hat stets einen stetigen Uebergang und kann nicht angeben, wann der Stoff flüssig oder gasig ist., schrumpft die Absturzhöhe zu 0 zusammen. Bei stärkeren Drucken oder heißeren Temperaturen als dem Grenzsiedepunkt zukommen, geht der eben betrachtete Bergabhang des gasigen Zustandes stetig über in die auf dem Bild nur wenig auffallende, weil durch die Perspektive sehr verkürzt erscheinende Fläche des flüssigen Zustandes. Diese Fläche ist für Wasser nahezu eine Ebene, welche der p-T-Ebene innerhalb des Bereiches der Darstellung durch den Körper nahezu parallel ist. Namentlich die Linien unveränderter Temperatur, welche die Zusammendrückbarkeit des Wassers zum Ausdruck bringen, sind als parallel der p-T-Ebene anzusehen. In der Richtung senkrecht hierzu, also auf Schnitten unveränderten Druckes, welche die Abhängigkeit des Raumumfanges von der Temperatur zum Ausdruck bringen, erkennt man die geringe, aber immerhin sichtbare Ausdehnung des Wassers bei der Erwärmung. Das ist namentlich vorn, wo der Körper abgeschnitten ist, zu erkennen. Diese Linie liegt schon weit außerhalb des Grenzsiedepunktes und unter diesen Bedingungen ist die Ausdehnung schon viel merklicher, sie geht allmählich in die recht bedeutende der Gase über. Ganz rechts erkennt man noch eine die Flüssigkeitsfläche begrenzende schmale Leiste, welche ein wenig über die Flüssigkeitsfläche hervorragt. Es ist das der von mir mit in die Darstellung hineingenommene Teil der den festen Zustand darstellenden Fläche. Daß der geringe Unterschied des Raumumfanges von Eis und Wasser hier, wo die großen Werte des Raumumfanges des Dampfes ebenfalls dargestellt sind, doch zum Ausdruck kommt, ist nur durch die logarithmische Darstellung ermöglicht. Der Uebergang von der einen Fläche zur anderen ist ebenso wie der von der Dampf- zur Flüssigkeitsfläche durch eine Verwerfungsspalte bedingt, die man infolge der Stellung des Körpers bei der Aufnahme des Bildes nicht sehen kann; sie wird durch die Fläche selbst verdeckt. Ihre Fußpunktlinie darf in dem zur Darstellung gekommenen Bereich als eine Gerade mit der bekannten ganz schwachen negativen Neigung, welche die Aenderung der Schmelztemperatur mit dem Druck gibt, angesehen werden. Bleiben wir in dem Bereich zwischen dem atmosphärischen Zustande und dem Grenzsiedepunkte, so haben wir in der Zustandfläche zwei Arten von Flächen; die einen stellen den Stoff in einem einheitlichen Zustand, gasig, flüssig oder fest dar, die anderen, von mir als Verwerfungsspalten bezeichnet, bringen die Gemische zweier Zustandsarten, gasig und flüssig oder flüssig und fest zur Anschauung. Diese letzteren beiden sind streng mathematisch abwickelbare Flächen; ihre Erzeugenden sind senkrecht zur p-T-Fläche, welche ich deshalb auch als Grundfläche des Körpers gewählt habe. Die anderen sind doppelt gekrümmte, welche aber ebenfalls auf einem großen Teil ihrer Erstreckung als abwickelbar betrachtet werden dürfen. Ihre Erzeugenden sind aber niemals senkrecht zu einer Bezugsebene. Die beiden Verwerfungsspalten treffen sich in einer Geraden, deren Fußpunkt der sogenannte dreifache Punkt der p-T-Ebene ist, auf den oben schon einmal hingewiesen wurde. Oberhalb dieses Punktes, also in der durch ihn gelegten v-Achse, endet jede der drei Flächen einheitlichen Zustandes in einem Zipfel, von denen der der Flüssigkeitsfläche sehr spitz ist. Die der beiden anderen sind so stumpf, daß man sie auf dem Bild nicht erkennt. Am Körper selbst erkennt man den der Eisfläche noch recht gut, dagegen den der Dampffläche auch dort nicht. Das ist dadurch begründet, daß die Fußpunktlinien der Verwerfungsspalten Dampf-Flüssigkeit und Dampf-Eis sich unter so spitzen Winkel schneiden, daß er nicht zum Ausdruck gebracht werden kann. Da man aber zwei der drei Zipfel gut erkennt, so ist es leicht, auch den dritten als vorhanden zu bezeichnen, selbst wenn er nicht zu erkennen ist. Die Linien unveränderter Trockenheitszahl. Bei der Aufzeichnung der Grundrisse für den Schreiner ergab sich ganz von selbst in der p-v-Ebene die von ZeunerZeuner, Techn. Thermodynamik II 1890, S. 36. erkannte Polytrope der Dampfgrenzlinie, die in dieser logarithmischen Darstellung eine gerade Linie ist. Das veranlaßte mich, nun auch die benachbarten Linien unveränderter Trockenheit aufzuzeichnen, um die Frage zu entscheiden, bis zu welchem Wert der Trockenheitszahl x auch diese gerade Linien sind, d.h. als einfache Polytrope betrachtet werden dürfen. Dabei erkannte ich, daß auf dem recht großen Blatte die Grenzlinie bis p = 50 at geradlinig verläuft, mit einer solchen Neigung, daß man bei der Verlängerung den Grenzsiededruck bei einem zu großen Raumumfang treffen würde. Die benachbarten Linien gleicher Trockenheit verlaufen parallel, nur verschiebt sich der Schnittpunkt ihrer Verlängerung mit dem Grenzsiededruck zu immer kleineren Werten des Raumumfanges. Infolgedessen erscheint die Linie mit der Trockenheitszahl x = 0,1 bis zu 100 at geradlinig, von da ab ändert sie ihre Neigung in die der Flüssigkeitsgrenzlinie. Für x = 0,03 haben wir noch immer bis zum Druck von 10 at eine der Dampfgrenzlinie parallele Gerade. Innerhalb der hierdurch gegebenen Grenzen kann man die Linien gleicher Trockenheit darstellen durch die Gleichung pvz = a + b x, wo z = 1,066, a = 0,07, b = 1,86. Der von Zeuner gegebene Festwert ist für physikalische Atmosphären berechnet, während hier in der jetzt üblichen Weise kg/cm2 der Rechnung zugrunde gelegt sind. Da die Bedeutung dieser Polytropen in der Technik nicht so groß ist, wie Zeuner, zu dessen Zeiten ja die Dampmaschinen noch mit Naßdampf arbeiteten, vermutete, so habe ich mich nicht bemüht, die Festwerte sehr genau festzustellen. Es genügt, zu wissen, daß man diese Eigenschaft der Trockenheitslinien so weit in das Gebiet des Naßdampfes hinein fortsetzen kann. Zusammenfassung. Aus der Bedingung, daß bei zeichnerischer Darstellung von Beobachtungsergebnissen die Genauigkeit der Zeichnung auf dem ganzen Blatt dieselbe sein soll, ergibt sich, daß man nicht die beobachtete Größe selbst, sondern ihren Logarithmus nach der Länge auftragen muß. Hiervon wird Gebrauch gemacht, die Zustandsfläche des Wasserdampfes darzustellen, die dann nach ihren Eigenschaften beschrieben wird. Als Anhang wird die Zeunersche Polytrope für die Dampfgrenzlinie erweitert auf die dieser benachbarten Linien unveränderter Trockenheit.