Der Einfluß der elastischen Vorspannung auf die Beanspruchung von Schrauben. Von Ing. Guido Bersa. Technische Hochschule Graz. BERSA, Der Einfluß der elastischen Vorspannung. Die übliche Berechnung von Schrauben und Schraubenverbindungen vernachlässigt vollkommen die Elastizität des Schraubenbolzens und der verschraubten Teile. Im allgemeinen ist das auch ohne weiteres zulässig. Es gibt aber doch Fälle, bei welchen die Elastizität des Materials in Verbindung mit der Vorspannung der Schraube zu nicht zu unterschätzenden Ueberbeanspruchungen der letzteren führt. Im folgenden werden wir nun sehen, wie man diesen Einfluß der elastischen Vorspannung bestimmen und ihm unter Umständen vorbeugen kann. Textabbildung Bd. 342, S. 133 Abb. 1. Wir betrachten die Schraubenverbindung in der Abbildung 1. Zwei Teile a und b werden durch die Schraube f zusammengehalten. Damit sich die beiden Teile auch unter der Betriebslast P, welche sie voneinander zu entfernen sucht, in ihrer Berührungsfläche O mit einem Fugendruck Si berühren, wird die Schraube mit einer gewissen Vorspannung S angezogen. Solange P nicht auftritt, haben wir nun folgende Verhältnisse: a und b werden mit der Kraft S zusammengedrückt und verkürzen sich insgesamt um während sich der Schraubenbolzen um längt. Der Abstand der Schraubenmutter vom Schraubenkopf ist jetzt x1 = 1 – δa1 Im ungespannten Zustand der Schraube ist dieser Abstand y = x1 – δl1 = 1 – δa1 – dl1. Jetzt tritt eine Kraft K auf, welche die beiden Teile a und b zu trennen sucht. Unter der Einwirkung von K wird sich nun die Schraube etwas mehr längen. Dafür können sich aber a und b etwas ausdehnen und der Fugendruck in O, der bis jetzt gleich S war, wird auf Si sinken. Die Gesamtbelastung der Schraube ist jetzt K + S1 und dieser entspräche eine Dehnung δ1. Der Abstand der Mutter vom Kopf wird also sein: x2 = y + δl2. Die Zusammendrückung der Teile a und b durch S1 und K sei insgesamt a2. Es ist daher auch x2 = l – δa2 = y + dl2 = l – δa1 – (δl1 – δl2). δa1 – δa2 = δl2 – δl1 . . . . . . . . . . (1) Diese Deformationen sind im allgemeinen direkt proportional den sie erzeugenden Kräften, so daß wir setzen können: δa1 = S . A1, δa2 = S1 . A1 + K . A2 δl1 = S . L1, δl2 = (S1 + K) . L1 S1 ist wie S eine reine Druckkraft, im Innern der Teile a und b; man kann daher denselben Faktor A1 verwenden. K dagegen tritt von. außen auf und erzeugt eine andere Formänderung, daher A2. Setzen wir nun diese Werte in Gleichung (1) ein, so erhalten wir: S_1=S-K\,\cdot\,\frac{L_1+A_2}{L_1+A_1}=S-K\,\cdot\,\frac{u}{v} (2) und die Gesamtbeanspruchung der Schraube ist: K+S_1=S+K\,\left(1-\frac{u}{v}\right) (3) Diese Beziehung wurde der Einfachheit halber an dem üblichsten Falle von zwei miteinander verschraubten Teilen abgeleitet. Sie läßt sich aber sinngemäß auch auf jede beliebige Schraubenverbindung anwenden. Ihre praktische Anwendung wollen wir nun an einem einfachen Beispiele zeigen. Und an den folgenden Variationen desselben werden wir sehen, wie man durch konstruktive Aenderungen der Schraubenverbindung den Einfluß der elastischen Vorspannung wenigstens innerhalb gewisser Grenzen beherrschen kann. Wir hätten einen doppelwandigen Kolben einer Dampfmaschine mit der üblichen Kolbenstangenbefestigung, wie Abbildung 2 zeigt. Der Kolben sei aus Gußeisen und ohne Rippen. Die Schraube wird nun mit der Vorspannung S angezogen. Ihre Längendehnung ist daher \delta\,l_1=S\,\cdot\,\frac{1}{f\,\cdot\,E} können wir als konstant annehmen, wenn wir 1 so wählen, wie aus der Abbildung erwichtich. Für die Kolbenstange sei E = 2200000 kg/cm2. Durch S wird andererseits die Nabe zusammengedrückt und zwar nach demselben Gesetz \delta\,a_1=S\,\cdot\,\frac{1}{F\,\cdot\,E_1}. Den Querschnitt der Nabe können wir ebenfalls über die Länge l als ungefähr konstant auffassen. Er sei, nach ausgeführten Kolben, F = 2f, bei einem Elastizitätsmodul von E 1 = 1000000 kg/cm2. Wir erhalten jetzt: L_1=\frac{1}{f\,\cdot\,E}=\frac{1}{2200000\,f},\ A_1=\frac{1}{F\,\cdot\,E_1}=\frac{1}{2000000\,t}, Textabbildung Bd. 342, S. 134 Abb. 2. Das A2 ermitteln wir nach folgenden Gesichtspunkten. Sieht man vom Kolbenstangenquerschnitt ab und betrachtet die volle Kolbenfläche, so kann man die auf einen unendlich schmalen Kreissektor wirkende Kraft dK in seinem Schwerpunkt angreifend denken, so daß entsprechend dieser Dreiecksbelastung \frac{1}{3} dK auf die Nabe und \frac{2}{3} dK auf die Kolbenperipherie wirken. Diese \frac{2}{3} dK müssen nun wieder durch die Kolbenwände auf die Nabe übertragen werden. Unter der Voraussetzung, daß sich daran beide Kolbenwände gleich beteiligen und unter Vernachlässigung der von der rückwärtigen Wand übertragenen \frac{1}{3} dK wirken von links auf die Kolbennabe \frac{2}{3} dK. Ueber die ganze Kolbenfläche genommen sind es also \frac{2}{3} K und die dadurch erzeugte Deformation ist \frac{2}{3}\,K\,\cdot\,\frac{1}{F\,\cdot\,E_1} oder A_2=\frac{21}{3\,F\,\cdot\,E_1}=\frac{2}{3}\,A_1. Diese Ermittlung von A2 erhebt keinen Anspruch auf Genauigkeit, die sich aber auch durch exaktere Ueberlegungen, wozu hier kein Platz ist, nicht viel verbessern ließe. Sie soll vielmehr nur zeigen, wie man sich auch bei schwierigeren Fällen in einfacher Weise helfen kann. S1 = S – 0,82 K. Ist nun S wie üblich 1,2 und K = P, so ist S1 = 0,38 P und S1 + P = 1,38 P, statt 1,2 P, wie beabsichtigt. Die Schraube ist also um 15% überbeansprucht. Man könnte nun zwei Mittel anwenden, um diese Ueberbeanspruchung herabzusetzen. Nämlich Vergrößerung des Nabenquerschnittes F, oder Verkleinerung der Vorspannung S. Würde man z.B. F verdoppeln, so wäre S1 noch immer 0,32 P. So kommen wir also nicht weiter. Es bleibt nur übrig, die Vorspannung herabzusetzen. Wir wollen ein S1 = 0,2 P haben. Nun ist S=S-\frac{u}{v}\,\cdot\,P,\ \frac{u}{v} in unserem Falle 0,82, daher 0,2 P = S' – 0,82 P . S' = 1,02 P, Das ist die Vorspannung, mit welcher wir das gewünschte S1 wirklich erreichen. Die Gesamtbeanspruchung der Schraube ist jetzt P + S1 = 1,2 P wie vorgesehen und wofür die Schraube gerechnet ist. Jetzt wollen wir sehen, wie die Verhältnisse sind, wenn wir den Kolben nicht doppelwandig ausführen, sondern so, wie Abbildung 3 zeigt. Es ist: \delta\,l_1=S\,\cdot\,L_1=S\,\frac{1}{f\,\cdot\,E},\ \delta\,a_1=S\,\cdot\,A_1=S\,\cdot\,\frac{1}{F\,\cdot\,E_1} δl2 = (K + S1) L 1, E1 = 1000000 kg/cm2, δa2 = S1 . A1 + K . A2. Für A2 können wir mit ziemlicher Annäherung setzen A_2\,\sim\,\frac{\frac{a}{2}}{F\,\cdot\,E_1}. Wir überlegen dabei folgendermaßen: Die Kraft K muß von der Kolbenwand auf die Nabe übertragen werden, was nur durch Auftreten von Schub und Biegung möglich ist. In der Berührungsfläche zwischen Mutter und Nabe kann dagegen nur reiner Druck herrschen. Dieser Druck wird sich nun in das Nabeninnere fortsetzen, bis er zu Null geworden und in Schub und Biegung übergegangen ist. Innerhalb dieser Druckregion wird nun eine Deformation eintreten. Daß diese nicht linear von K abhängig sein wird, ist sicher. Da wir aber weiter keinen Anhalt dafür haben, die sonst von K erzeugten Deformationen diese lineare Abhängigkeit besitzen (siehe Abb. 2 und 4), so können wir eine solche auch für diesen Fall annehmen. Die Rechnung würde sonst zu umständlich werden, ohne sonderlich an Genauigkeit zu gewinnen. Im allgemeinen ist der Einfluß dieser Uebergangszone auch nicht groß, so daß der dabei gemachte Fehler zulässig erscheint. Will man sicher gehen, so kann man ja diese Uebergangszone vernachlässigen, man erhält dann nur etwas ungünstigere Werte. Textabbildung Bd. 342, S. 134 Abb. 3. In unserem Falle stellen wir uns vor, daß der Druck von seinem Größtwert an der Berührungsstelle zwischen Mutter und Nabe innerhalb der Strecke a linear auf Null sinkt, so daß wir im Mittel auf die Strecke a einen Flächendruck \frac{K}{2\,F} hätten. Damit wird aber die Formänderung \frac{K}{2\,F}\,\cdot\,\frac{a}{E_1} oder A_2=\frac{\frac{a}{2}}{F\,\cdot\,E_1}. Es sei nun etwa a = 0,31 und F = 2f. Diese Werte setzen wir nun in Gleichung (2.) ein und erhalten: S1 = S–0,55 K. Für S = 1,2 P und K = P ist S1 = 0,65 P und S1 + P = 1,65 P statt 1,2 P. Diese Schraubenverbindung ist also noch ungünstiger als die frühere. Die Schraube ist um 38% mehr beansprucht als vorgesehen. Wollen wir wieder S1 = 0,2 P haben, so muß 0,2 P = S' – 0,55 P sein, und es wird S' = 0,75 P. Diese unerwünschte Ueberbeanspruchung können wir aber hier auch auf andere Weise vermeiden. Wenn wir nämlich den Anschluß der Nabe an den Kolben nach Abbildung 4 vornehmen. Jetzt ist δa2 = S1 . A1 + K . A'2, wobei A'_2\,\sim\,\frac{1-\frac{a}{2}}{F\,\cdot\,E_1}, a sei hier etwas größer, a = 0,41; A'_2=\frac{0,81}{F\,\cdot\,E_1}. Auch die Nabe wird aus konstruktiven Gründen etwas größer ausfallen, etwa F = 3f. Wir erhalten nun: S1 = S–0,92 K; und für S = 1,2 P und K = P ist S1 = 0,28 P und S1 + P = 1,28 P, so daß die Schraube nur um etwa 7% mehr beansprucht ist. Textabbildung Bd. 342, S. 135 Abb. 4. Aehnlicher Beispiele gibt es natürlich noch viele. Es hat aber nicht viel Zweck, noch mehr solcher Fälle zu besprechen, denn es wäre ja doch nur eine mehr oder minder variierte Wiederholung des schon Gebrachten. Die in den vorstehenden Beispielen gezeigte Anwendung der Gleichungen (1), (2) und (3) läßt sich. für jeden anderen Fall ohne weiteres durchführen. Auch den kompliziertesten Verhältnissen wird man durch sinngemäße Anwendung der Gleichung (1) gerecht werden. Auf Schwierigkeiten dürfte man nur bei der Bestimmung der Faktoren A1 und A2 stoßen. Diese lassen sich exakt überhaupt nicht bestimmen. In den meisten Fällen wird es aber gelingen, sie innerhalb der Genauigkeitsgrenzen, die diese Rechnung verlangt, zu ermitteln. Es ist nur zu beachten, daß die Verhältnisse nicht immer so einfach sein müssen, wie in den vorstehenden Beispielen, wo wir reinen Druck hatten. Es können unter Umständen auch Biegung und Verdrehung und Kombinationen davon auftreten, was beim Aufsuchen der Faktoren A berücksichtigt werden muß. Welcher der oben für die Erreichung eines kleinen S1 gezeigten Wege eingeschlagen werden soll, läßt sich natürlich im allgemeinen nicht sagen. Das muß von Fall zu Fall entschieden werden. Durch Vergrößerung von F wird man, wie wir schon gesehen haben, und wie man sich leicht überzeugen kann, nicht viel erreichen können. Denn das F läßt sich aus leicht begreiflichen Gründen nicht beliebig vergrößern. Und wäre es auch möglich, so hätten wir dann wahrscheinlich keine Gewähr mehr dafür, daß wirklich das ganze F als tragender Querschnitt gilt. Das beste Mittel ist sicherlich das beim einwandigen Kolben gezeigte, das auf dem Prinzip beruht, den Kraftfluß innerhalb der verschraubten Teile so zu gestalten, daß die Kraft K, die von außen kommt, den verschraubten Teil auf einem möglichst großen Teil der Strecke 1 durchfließt. So gut und einfach dieses Mittel ist, so selten dürfte es sich aber anwenden lassen. Im allgemeinen wird man sich also nur durch Verkleinerung der Vorspannung S helfen können. Und damit kommen wir in ein altbekanntes, sehr leidiges Gebiet, das außerhalb jeder Voraussicht und Berechnung liegt. Denn wir haben gar keine Kontrolle darüber, wie stark eine Schraube bei der Montage angezogen wird. Das muß man eben dem Gefühl des Arbeiters überlassen. Und dieses äußert sich meistens darin, daß die Schrauben einfach „angeknallt“ werden. Dieser Unsicherheit in bezug auf die Vorspannung kann man da nur so gerecht werden, daß man die Beanspruchung der Schraube durch P niedrig hält, damit dann die Beanspruchung durch P + S1 nicht zu hoch wird. Es gibt aber nun doch noch ein Mittel, mit welchem man die Vorspannung wenigstens innerhalb gewisser brauchbarer Grenzen nach Wunsch einstellen kann. Das ist die Verwendung elastischer Unterlegscheiben, wie sie gewöhnlich als Schraubensicherung verwendet werden. Es darf das freilich nicht irgendeine beliebige elastische Unterlage sein. Diese muß so beschaffen sein, daß man an ihr die Kraft, mit welcher die Schraube angezogen wird, feststellen kann. Diesen Anforderungen genügt der neue Spannring des Bochumer Vereins, wie ihn die Z.d.V.D.I. 1925 auf S. 109 bringt. Er erfüllt aber den von uns gewünschten Zweck auch nur dann, wenn er nicht ganz flachgedrückt ist, so daß die Schraube nicht weiter angezogen werden kann. Der Ring darf nur auf ein bestimmtes Maß zusammengedrückt werden, das sich mittels einfacher Hilfsmittel, etwa Paßbleche verschiedener Stärke, leicht ermitteln läßt. Da die elastischen Eigenschaften jedes Ringes geprüft werden und bekannt sind, läßt sich damit die Vorspannung mit genügender Genauigkeit einstellen. Erzeugt eine Kraft K eine Zusammendrückung des Ringes von δb1 = P . B1, so erhält unsere Gleichung (2), wie man sich leicht überzeugen kann, die Gestalt: S_1=S-K\,\cdot\,\frac{L_1+A_2+B_1}{L_1+A_1+B_1}. Infolge der großen Durchbiegung des Spannringes, die mehrere Millimeter beträgt, ist aber B 1 ein vielfaches von L 1 + A2 und L1 + A1 so daß der Bruch \frac{u}{v} sehr nahe bei 1 liegt. A2 ist im allgemeinen kleiner als A1, so daß \frac{u}{v} kleiner als 1 wird, aber bloß um Geringes. Sagen wir \frac{u}{v}=0,98. Ist also K = P und S = 1,2 P, so ist S1 = 0,22 P und S1 + P = 1,22 P. Einen Nachteil hat aber dieser Ring. Wird nämlich K aus irgendeinem Grunde größer, als die Betriebskraft P, so kann der Fall eintreten, daß Si zu Null wird, und in diesem Augenblicke heben sich die miteinander verschraubten Teile voneinander ab. Das kann freilich bei jeder anderen Schraubenverbindung ohne Spannring auch eintreten. Der Unterschied ist aber der, daß sich in dem einen Falle die Schraube allein längt. Und diese Dehnung beträgt höchstens einige Hundertstel Millimeter. Im anderen Falle kommt die Zusammendrückung des Spannringes dazu, und diese kann bis zu Millimetergröße anwachsen. Es wird also ein „sichtbares“ Abheben eintreten. Das ist aber in vielen Fällen, in welchen eine solche Ueberlastung hie und da vorkommen kann, ohne daß man die Schraube deswegen stärker zu bemessen braucht, unstatthaft. Da ist der Spannring eher ein Schaden als ein Nutzen. Besondere Beachtung verdient ein Sonderfall, der kurz gestreift werden möge. Das ist der Fall einer elastischen Zwischenlage zwischen zwei verschraubten Teilen, also z.B. eine Dichtung. Ist die Zusammendrückung der Zwischenlage durch eine Kraft K . . δc1 = P . C1, so wird S_1=S-K\,\cdot\,\frac{L_1+A_2}{L_1+A_1+C_1}. Besitzt nun die Zwischenlage eine ziemliche Stärke, ist es z.B. eine Dichtung aus Leder, so kann C1 unter Umständen recht groß werden, und \frac{u}{v} dann sehr klein. Dadurch steigt aber S1 und damit auch die Gesamtbeanspruchung der Schraube. Das ist zwar zum Zwecke der Dichtung nur günstig, für die Schraube aber höchst unwillkommen. Rechnerisch wird sich dieser Einfluß der Dichtung sehr selten feststellen lassen. Denn die elastischen Eigenschaften des zur Dichtung verwendeten Materials sind besonders bei hohen Drücken meistens unbekannt. Diese Drücke sind gewöhnlich auch so hoch, daß auch noch plastische Deformationen hinzukommen, welche die Materialeigenschaften stark verändern können. Man wird sich daher auch hier meistens damit bescheiden müssen, die Schrauben gefühlsmäßig -reichlich stark zu wählen.