Das Schwingkurbel-Lenker-Getriebe. (Kinematik des Oelschalter-Getriebes.) Von Prof. Ing. Robert Edler, Honorardozent an der Technischen Hochschule in Wien. EDLER, Das Schwingkurbel-Lenker-Getriebe. 1. Einleitung. Während beim gewöhnlichen Kurbelgetriebe (Abb. 1) eine mit gleichförmiger Geschwindigkeit um die Achse O gedrehte Kurbel K mit Hilfe der Schubstange l einer Stange S, deren Verlängerung durch O geht, eine hin- und hergehende Bewegung erteilt, wobei die Bewegungs- und Kräfteverhältnisse allgemein bekannt sind, kommt in der Elektrotechnik und im Maschinenbau häufig ein Getriebe vor, bei dem die Verlängerung der Stange S im Abstande A neben der Kurbelachse O vorbeigeht (Abb. 2). Gewöhnlich wird dabei nur ein Weg des Kurbelzapfens Z ausgenutzt, der kleiner ist, als der halbe Kurbelkreisumfang; die Kurbel schwingt also um eine mittlere Lage hin und her und verschiebt dabei die Stange S in ihrer Längsrichtung. Textabbildung Bd. 342, S. 181 Abb. 1. Textabbildung Bd. 342, S. 181 Abb. 2. In der vorliegenden Studie sollen nun die Bewegungsgesetze eines derartigen, aus einer Schwingkurbel K und aus einem Lenker l bestehenden Getriebes untersucht werden. Eine der wichtigsten Anwendungen findet dieses Schwingkurbel-Lenker-Getriebe im Oelschalterbau; die Kurbel wird durch ein Handrad oder durch ein Seil- oder Kettenrad, allenfalls auch durch einen Dreh-Elektromagneten angetrieben, während an der Stange S die Oelschalter-Traverse mit den Schaltkontakten hängt. Die Kraftverhältnisse an der Kurbel bestimmen also die Kraft, mit der die Schaltkontakte gehoben werden, wobei natürlich auch das Eigengewicht der Oelschalter-Traverse, sowie die Wirkung der Ausschaltefedern zu berücksichtigen sind; der Kurbelweg aber beeinflußt den Hub der Stange S und damit den Schaltweg. Es ist ohne weiteres klar, daß die Bewegungsverhältnisse und das Kräftespiel an dem Schwingkurbel-Lenker-Getriebe (Abb. 2) von dem Kurbelhalbmesser R, von der Länge l des Lenkers und von dem Abstande A, sowie von dem Kurbelwinkel abhängig sind. Um die Kraft- und Weg-Verhältnisse zunächst grundsätzlich klarzustellen, kann die vereinfachende Annahme gemacht werden, daß 1 = R          (1) gewählt wird und daß die Umfangskr!ft P an der Kurbel konstant bleibt. Es genügt dann, das Verhältnis der Kraft V an der Stange S zu der Umfangskraft P festzustellen, wobei der Abstand A und der Kurbelwinkel (α und β in Abb. 3) als veränderbare Größen angenommen werden. Am einfachsten ist es, den Wert \xi=\frac{A}{R}          (2) als veränderbaren Parameter zu wählen und dann das Verhältnis V : P als Funktion der Winkel α und β zu ermitteln, um das Kräftespiel zu überblicken; anderseits wird man den Weg des Stangenpunktes M in Abhängigkeit von den Winkeln α und β darstellen, wodurch sich die Bewegungsverhältnisse klarstellen lassen. Textabbildung Bd. 342, S. 181 Abb. 3. Aus der Abb. 3 ist es schon erkennbar, daß der tiefste Punkt, den das Stangenende M erreichen kann, der Totlage der Kurbel entspricht; für l = R erhält man diese gestreckte Lage der Kurbel als Schnittpunkt der im Abstande A liegenden Geraden mit dem Kreise vom Halbmesser 2R. Um den Winkel γ, um den der Lenker nach rechts oder links ausschlägt, nicht unnötig groß zu machen und die Reibung in den Stangenführungen in mäßigen Grenzen zu halten, wird man A nicht kleiner als R/2 wählen. Anderseits wirkt eine Vergrößerung von A auf 0,8 . R bis 0,9 . R günstig, weil die Seitenkräfte kleiner werden; allerdings bedingt diese günstigere Anordnung (großes A) eine Verringerung der Winkel α und β, so daß sich nur ein kleinerer Kurbeldrehwinkel ausnutzen läßt. Es ist daher wichtig, den Zusammenhang aller maßgebenden Größen festzustellen. Es kommt aber noch eine Erwägung hinzu. Wenn das Drehmoment (bzw. die Umfangskraft P) an der Kurbel K nicht konstant ist, dann ändert sich natürlich auch die Kraft V, die auf die Stange S einwirkt; aber das Verhältnis V:P bleibt unge-ändert, wenn bestimmte Werte für A, α und β gelten. Es ist daher verständlich, daß man die Wirkung der Kräfte an dem Getriebe (Abb. 2 und 3) am klarsten durch dieses Verhältnis V : P zum Ausdruck bringen kann. Wenn die Kurbel K eines Oelschalterantriebes durch ein Hand- oder Seilrad betätigt wird, so kann man die Umfangskraft P als annähernd konstant annehmen, oder richtiger, man darf voraussetzen, daß die Umfangskraft P vom Bedienungsmanne dem Bewegungswiderstande selbsttätig angepaßt wird. Wenn aber die Kurbel K durch eine gespannte Feder betätigt wird, so nimmt die Umfangskraft P von ihrem anfänglichen Höchstwerte vollständig oder annähernd gleichmäßig ab, je nachdem wie die Feder angeordnet ist. Wenn endlich die Kurbel K durch einen Drehmagneten angetrieben wird, so ändert sich die Umfangskraft nach einer sehr verwickelten Funktionsform, die von der Form der Polschuhe der Feldmagnete und des Ankers abhängt und theoretisch durch Formeln kaum erfaßt werden kann. Hiezu kommt noch der Umstand, daß bei der Bewegung der Stange S die Ausschaltfedern, die ja stets schon eine gewisse Vorspannung besitzen, noch mehr gespannt werden, je höher der Punkt M heraufsteigt. Aus allen diesen oft sehr verwickelten Kraft-und Bewegungsverhältnissen kann man aber den Schluß ziehen, daß eine Klärung aller Fragen erleichtert wird, wenn das Verhältnis V : P ermittelt wird, das ja durch die Geometrie des Getriebes bestimmt ist. 2. Die Kräfteverteilung im Schwingkurbel-Lenker-Getriebe. Schon aus der Abb. 3 erkennt man, daß bei der Bewegung der Kurbel aus der gestreckten Lage (Totlage) 01 bis 09 – und allenfalls noch etwas darüber hinaus – einige charakteristische Stellungen vorkommen, die hervorgehoben werden müssen; es sind folgende Stellungen: a) Kurbelstellung 01; die Kurbel K und der Lenker l liegen in einer geraden Linie; Stangenpunkt M1 in der tiefsten Stellung. (Totlage der Kurbel.) (Winkel α 1.) b) Kurbelstellung 03; der Kurbelzapfen Z liegt im Abstande A; der Lenker l bildet die Verlängerung der Stange S. (Winkel α 3.) c) Kurbelstellung 05; die Kurbel steht normal zur Stange S. (Winkel α 5 = β 5 = 0.) d) Kurbelstellung 07; der Kurbelzapfen Z liegt im Abstande A; der Lenker l bildet die Verlängerung der Stange S. (Winkel β 7.) e) Kurbelstellung 09; die Kurbel steht parallel zur Richtung der Stange S. (Winkel β 9 = 90°.) Die Kurbelstellungen über 0,9 hinaus gegen 0,10 sind ungünstig; darauf wird später noch kurz hingewiesen werden. Zwischen den 5 charakteristischen Kurbelstellungen liegen 4 Bereiche, die durch die allgemeinen Lagen 02, 04, 06, 08 gekennzeichnet sind. Die 5 charakteristischen Kurbelstellungen bilden dann die Grenzlagen jedes Bereiches und sind durch die Winkel α 1 α 3 α 5= 0 = β 5 β 7 β 9 gekennzeichnet. Diese Sonderwerte der Winkel kann man leicht berechnen; man findet mit l = R (Gl. 1) und mit \xi=\frac{A}{R} (Gl. 2): \cos\,\cdot\,\alpha_1=\frac{A}{1+R}=\frac{A}{2\,R}=\frac{1}{2}\,\cdot\,\xi          (3) \cos\,\alpha_3=\frac{A}{R}=\xi          (4) \cos\,\beta_7=\frac{A'}{R}=\xi          (5) Die Werte α 5 = β 5 = 0° und β 9 = 90° sind unmittelbar verständlich. Wählt man für \xi=\frac{A}{R} die Werte 0,5 bis 1,0, dann erhält man bei Abrundung der Winkel werte auf 10': Zahlentafel 1. Textabbildung Bd. 342, S. 182 Durch die Winkel α 1 α 3 α 5 = β 5 β 7 β 9 sind die 4 Bereiche I II III IV bestimmt, in denen die allgemeinen Kurbelstellungen 02 04 06 08 liegen; letztere sollen nun näher untersucht werden. Textabbildung Bd. 342, S. 182 Abb. 4. Winkelbereich I zwischenα1undα3. (Vgl. Abb. 4.) α1 ≧ α ≧ α 3. Der Kurbelzapfen beschreibt den Bogen Z 1 Z2 Z3; dabei hebt der Lenker l = R das obere Stangenende von M1 über M2 bis M3. In der allgemeinen Lage Z2 (Winkel α) wirkt die Umfangskraft P auf den Lenker l ein; diese Kraft P ergibt die Komponenten P1 (Zug in dem Lenker l) und P2 (tangential zum Lenkerkreis K1). Die Zugkraft P 1 im Lenker l kann nach M2 verlegt werden und zerfällt dort in die beiden Komponenten V (Hubkraft für die Stange S) und P3 (Seitendruck in der Führung der Stange S); dieser Seitendruck P3 ruft den Reibungswiderstand W = μ . P3 hervor, der der Hubkraft V entgegenwirkt. Wir wollen diesen Reibungswiderstand W zunächst unberücksichtigt lassen; sein Einfluß soll später untersucht werden. Aus der Abb. 4 kann man leicht die folgenden Beziehungen ablesen (für l = R): A = n + R . cos α n = 1 . sin γ = R . sin y \xi=\frac{A}{R}=\sin\,\gamma+\cos\,\alpha sin γ = ξ – cos a          (6) P1= P . cos (α + γ) V = P1 . cos γ V : P = cos (a + y) . cos γ          (7) Für die Lage des Punktes M2 unter der horizontalen Mittelachse 0 findet man (für l = R): a2 + m2 = R . sin α + 1 . cos γ = R . (sin α + cos γ)           (8) Grenz-werte . . . M1 . . . a1 + m1 = R . (sin α 1 + cos γ 1)M3 . . . a3 + m3 = R . (sin α 3+ cos γ 3) Wegen (Gl. 6) ist γ von ξ und α abhängig. Der Hub der Stange S von M1 bis M3 ist h1–3 = (a3 + m3) – (a1+ m1) = R . (sin α 3 – sin α 1 + cos γ 3 – cos γ 1); daher wird der relative Stangenhub \frac{h_{1-3}}{R}=\sin\,\alpha_3-\sin\,\alpha_1+\cos\,\gamma_3-\cos\,\gamma_1          (9) Man erhält folgende Ergebnisse: Werte für (V : P) = cos (α + γ) . cos γ Zahlentafel 2. \xi=\frac{A}{R} α = 75° 30' 72° 30' 69° 30' 66° 20' 63° 20' 60° 00' 53° 10' 45° 30' 36° 50' 25° 50' 20° 00' 10° 00' 0° 00' 0,5 0 0,1025 0,203 0,308 0,401 0,500 – – – – – – – 0,6 – 0 0,1012 0,206 0,305 0,410 0,599 – – – – – – 0,7 – – 0 0,1053 0,204 0,311 0,513 0,701 – – – – – 0,8 – – – 0 0,1007 0,206 0,420 0,824 0,800 – – – – 0,9 – – – – 0 0,1038 0,316 0,534 0,734 0,900 – – – 1,0 – – – – – 0 0,212 0,436 0,651 0,848 0,915 0,982 1,000 Die Berechnung der Werte für (V : P) = cos (α + γ) . cos γ in der Zahlentafel 2 wurde mit Hilfe einiger Hilfstabellen durchgeführt; eine dieser Hilfstabellen ist hier angeführt (für \xi=\frac{A}{R}=0,5); die Winkel sind auf je 10' abgerundet: Zahlentafel 3. ξ = 0,5 α = 75° 30' 72° 30' 69° 30' 66° 20' 63° 20' 60° 00' cos α = 0,25038 0,30071 0,35021 0,40142 0,44880 0,50000 sin γ = ξ – cos α = 0,24962 0,19929 0,14979 0,09858 0,05120 0 γ = 14° 30' 11° 30' 8° 40' 5° 40' 3° 00' 0 α + γ 90° 00' 84° 00' 78° 10' 72° 00' 66° 20' 60° 00' cos (α + γ) 0 0,10453 0,20507 0,30902 0,40142 0,50000 cos γ = 0,96815 0,97992 0,98858 0,99511 0,99863 1,00000 \frac{V}{P}=\cos\,(\alpha+\gamma)\,\cdot\,\cos\,\gamma= 0 0,1025 0,203 0,308 0,401 0,500 Winkelbereich II zwischenα3undα5. (Vgl. Abb. 5.) \alpha_3\,\geq\,\alpha\,\geq\,\alpha_5. Der Kurbelzapfen beschreibt den Bogen Z3 Z4 Z5 und hebt mit Hilfe des Lenkers l den Stangenpunkt M3 über M4 bis M5. Der allgemeinen Lage Z4 entspricht der Winkel α; die Zerlegung der Umfangskraft P in die beiden Komponenten P1 (Zug im Lenker l) und P2 (Tangente an den Kreis K1) ist unmittelbar verständlich. Die nach M4 verlegte Zugkraft P1 liefert wieder die beiden Komponenten V und P3. Textabbildung Bd. 342, S. 183 Abb. 5. Wenn man wieder zunächst den Reibungswiderstand W = μ . P3 unberücksichtigt läßt, dann erhält man die folgenden Gleichungen (vgl. Abb. 5): P1 = P . cos (α–δ) V = P1 . cos δ \frac{V}{P}=\cos\,(\alpha-\delta)\,\cdot\,\cos\,\delta          (10) Der Winkel δ läßt sich aus dem Kurbelwinkel α und aus ξ = A/R berechnen, denn es ist (mit l = R): A + n = R . cos α n = l . sin δ = R . sin δ R . sin δ = R . cos α – A sin δ = cos α – ξ          (11) Die hier geltenden oberen Grenzwerte für α 3 sind in der Zahlentafel 1 eingetragen; der untere Grenzwert für α ist α 5 = 0°. Für die Lage des Punktes M4 findet man aus der Abb. 5 (mit l = R): a4 + m4 = R . sin α + l . cos δ = R . (sin α + cos δ)          (12) Grenz-werte . . . M3 . . . a3 + m3 = R . (sin α 3 + cos δ 3)M5 . . . a5 + m5 = R . (sin α 5 + cos δ 5) = R . cos δ 5. Man gelangt daher zu der folgenden Uebersicht: Werte für (V : P) = cos (α–δ) . cos δ. Zahlentafel 4. \xi=\frac{A}{R} α =60° 00' 53° 10' 45° 30' 36° 50' 25° 50' 20° 00' 10° 00' 0°00' 0,5 0,500 0,673 0,813 0,899 0,917 0,892 0,827 0,750 0,6 – 0,600 0,765 0,886 0,943 0,941 0,901 0,841 0,7 – – 0,701 0,852 0,950 0,965 0,953 0,910 0,8 – – – 0,800 0,935 0,968 0,982 0,960 0,9 – – – – 0,900 0,952 0,992 0,990 1,0 – – – – – – – 1,000 Textabbildung Bd. 342, S. 184 Abb. 6. Die bisher berechneten Werte für (V : P) (vgl. Zahlentafeln 2 und 4) sind in der Abb. 6 eingetragen; diese Abb. enthält auch die noch zu berechnenden Werte für die Bereiche III und IV des Kurbelwinkels (von β 5 bis β 7 und von β 7 bis β 9). Winkelbereich III zwischen β 5 und β 7. (Vgl. Abb. 7.) \beta_5\,\leq\,\beta\,\leq\,\beta_7. Textabbildung Bd. 342, S. 184 Abb. 7. Der Kurbelzapfen beschreibt den Bogen Z5 Z6 Z7; dabei hebt der Lenker l den Stangenpunkt M5 über M6 bis M7. Der allgemeinen Lage Z6 entspricht der Winkel β. Die Zerlegung der Kräfte erfolgt ähnlich wie früher. Zur Berechnung dienen die folgenden, Gleichungen: P1 = P . cos (β + δ) V = P1 . cos δ \frac{V}{P}=\cos\,(\beta+\delta)\,\cdot\,\cos\,\delta          13) Der Winkel δ kann wieder aus dem Kurbelwinkel β und aus ξ = A/R berechnet werden, denn man erhält (für l = R): A + n = R . cos β n = l . sin δ = R . sin δ R . sin δ = R . cos β – A sin δ = cos β – ξ          14) Für β gilt der untere Grenzwert β 5 = 0; die oberen Grenzwerte β 7 sind in der Zahlentafel 1 eingetragen. Zur Berechnung des Hubes der Stange S dienen die folgenden Gleichungen (vgl. Abb. 7) mit l = R : m6 – a6 = l . cos δ – R . sin β = R . (cos δ – sin β).          15) Dieser Wert entspricht dem Abstande des Punktes M6 von der horizontalen Achse. Grenz-werte . . . M5 . . . m5 – a5 = R . (cos δ 5 – sin β 5) = R . cos δ 5 . . . M7 . . . m7 – a7 = R . (cos δ 7 – sin β 7m. Man gelangt nun zu der folgenden Uebersicht: Werte für (V : P) = cos (β + δ) . cos δ. Zahlentafel 5. \xi=\frac{A}{R} β =0° 00' 10° 00' 20° 00' 25° 50' 36° 50' 45° 30' 53° 10' 60° 00' 0,5 0,750 0,680 0,622 0,598 0,555 0,533 0,515 0,500 0,6 0,841 0,777 0,722 0,693 0,651 0,624 0,600 – 0,7 0,910 0,858 0,807 0,779 0,731 0,701 – – 0,8 0,960 0,919 0,874 0,848 0,800 – – – 0,9 0,990 0,964 0,925 0,900 – – – – 1,0 1,000 – – – – – – – Die Werte der Zahlentafel 5 sind in der Abb. 6 eingetragen. Winkelbereich IV zwischen β 7 und β 9. (Vgl. Abb. 8.) \beta_7\,\leq\,\beta\,\leq\,\beta_9. Während der Kurbelzapfen den Bogen Z7 Z8 Z9 beschreibt, hebt der Lenker l den Stangenpunkt M7 über M8 und M9. Textabbildung Bd. 342, S. 184 Abb. 8. Der allgemeinen Lage Z8 entspricht der Winkel β. Die Zerlegung der Kräfte ist leicht verständlich. Zur Berechnung dienen die folgenden Gleichungen: P1 = P . cos (β – γ) V = P1 . cos γ \frac{V}{P}=\cos\,(\beta-\gamma)\,\cdot\,\cos\,\gamma.          16) Die Berechnung des Winkels γ kann wieder aus dem Kurbelwinkel β und aus ξ = A/R erfolgen; man erhält (für l = R): A = n + R . cos β n = l . sin γ = R . sin γ R . sin γ = A – R . cos β sin γ = ξ – cos β.          17) Die unteren Grenzwerte β 7 sind in der Zahlentafel 1 eingetragen; als Höchstwert gilt β 9 = 90°. Die Berechnung des Hubes der Stange S kann aus den folgenden Gleichungen (mit l = R) durchgeführt werden (vgl. Abb. 8): m8 – a8 = l . cos γ – R . sin β = R . (cos γ – sin β).          18) Dieser Wert entspricht dem Abstande des Punktes M8 von der horizontalen Achse, und zwar unterhalb der letzteren. Grenz-werte . . . M7 . . . m7 – a7 = R . (cos γ 7 – sin β 7). . . M9 . . . m9 – a9 = R . (cos γ 9 – sin β 9) = R . (cos γ 9 – 1). Der Abstand (m9 – a9) wird daher negativ, d.h. M9 liegt oberhalb der horizontalen Achse. Für das Verhältnis V/P erhält man nun die folgende Uebersicht: Werte für (V : P) = cos (β – γ) . cos γ. Zahlentafel 6. \xi=\frac{A}{R} β =25° 50'° 36° 50' 45° 30' 53° 10' 60° 00' 70° 00' 80° 00' 85° 00' 90°00' 0,5 – – – – 0,500 0,481 0,458 0,446 0,433 0,6 – – – 0,600 0,580 0,554 0,521 0,503 0,480 0,7 – – 0,701 0,675 0,649 0,612 0,567 0,537 0,500 0,8 – 0,800 0,764 0,732 0,703 0,653 0,587 0,540 0,480 0,9 0,900 0,851 0,813 0,775 0,737 0,67 0,574 0,502 0,392 1,0 β = 0° 00' 10° 00' 20° 00' 25° 50' 36° 50' 45° 30' 53° 10' – – 1,000 0,987 0,957 0,935 0,885 0,843 0,797 – – β =60° 00' 70° 00' 80° 00' 85° 00' 88° 00' 90° 00' – – – 0,750 0,652 0,514 0,386 0,255 0 – – – Die Ergebnisse der Berechnungen (V : P für die Winkelbereiche I, II, III, IV) sind in der Abb. 6 dargestellt. Die Kurven für V : P gehen durch die Horizontalachse (d.h. es wird V : P = 0), wenn α die in der Zahlentafel 1 angeführten Werte α 1 erreicht; in der Zahlentafel 2 wurden ja auch die von ξ abhängigen Winkel α 1 für V : P = 0 tatsächlich wieder gefunden. Textabbildung Bd. 342, S. 185 Abb. 9. Die Kurven für V : P zeigen aber, daß außerdem V : P = 0 wird, wenn β ≧ 90° wird. Aus der Abb. 9 kann man leicht entnehmen, daß (für l = R): n = A + R . cos φ = l . sin γ = R sin γ cos φ = cos (180 – β) = – cos β R . sin γ = A – R . cos β sin γ = ξ – cos β wie Gl. 17) P1 = P . cos (β – γ) V = P1 . cos γ \frac{V}{P}= cos (β – γ) . cos γ.                  wie Gl. 16) Die für den Winkelbereich IV (β 7 bis β 9) ermittelten Berechnungsgleichungen gelten also auch für β > β 9 bis zu jenem Grenzwerte β 10, für den (V : P) = 0 wird. Man kann diesen Wert sehr leicht berechnen, denn nach Gl. 16) wird für (V : P) = 0 0 = cos (β – γ) . cos γ          19) Man erhält offenbar zwei Lösungen: A.             cos γ 10 = 0          19 A) dabei ist sin γ10 = ξ – cos β 10.          17)      Wegen cos2 γ 10 = 1 – sin2 γ 10 = 0. wird sin2 γ 10 = 1 = (ξ – cos β 10)2 ξ2 – 2ξ . cos β 10 + cos2 β 10 = 1 cos2 β 10 – 2ξ . cos β 10 = 1 – ξ 2 \cos\,\beta_{10}=\xi\,\pm\,\sqrt{\xi^2+(1-\xi^2)}=\xi\,\pm\,1.          20) Da cos β 10 nicht größer als 1 werden kann, so gilt nur das –-Zeichen. Man erhält daher die folgenden Werte: Werte für \beta_{10}\,\geq\,90^{\circ} für \frac{V}{P}=0. Zahlentafel 7. \xi=\frac{A}{R} cos β10 = ξ – 1 β10 ≧ β 9 0,5 – 0,5       90° + 30° = 120° 0,6 – 0,4 90° + 23° 30' = 113° 30' 0,7 – 0,3 90° + 17° 30' = 107° 30' 0,8 – 0,2 90° + 11° 30' = 101° 30' 0,9 – 0,1 90° +   5° 40' = 95° 40' 1,0 0 90° Die Werte β 10 > β 9 haben keine praktische Bedeutung, weil die durch die Seitenkraft P3 (vgl. Abb. 8 und 9) verursachte Reibung W = μ . P3 die Vertikalkraft V schon bedeutend schwächt. B. Die zweite Lösung folgt aus der Gleichung: cos (β – γ) = 0          19 B) wozu noch die Bedingung kommt (vgl. 17): sin γ = ξ – cos β, daher wird: cos β . cos γ + sin β . sin γ = 0. Durch Quadrieren erhält man: (1 – sin2 β) . (1 – sin2 γ) = sin2 β . sin2 γ 1 – sin2 β – sin2 γ = 0 sin2 β + (ξ 2 – 2ξ . cos β + cos2 β) = 1 ξ2 = 2ξ . cos β \cos\,\beta=\frac{\xi}{2}          21) Man erhält daher aus Gl. 21) für β dieselben Werte, die aus der Gl. 3) für a 1 berechnet worden waren; für die Winkel a 1 hatte sich aber bei Annahme des zugehörigen Wertes von ξ = (A : R) der Wert (V : P) = 0 ergeben. –––––––––– Aus den Kurven für (V : P) (Abb. 6) erkennt man auch, daß für jedes ξ ein Maximalwert (V : P) max entsteht; alle diese Höchstwerte liegen im Winkelbereich II (α 3 ≧ α ≧ α 5), so daß die Gleichungen: \frac{V}{P}=\cos\,(\alpha-\gamma)\,\cdot\,\cos\,\gamma          10) sin γ = cos α – ξ          11) gelten. (Schluß folgt.)