Freie und unfreie Wirbelströmungen idealer Flüssigkeiten. Von Prof. Dr. Hans Baudisch, Wien. BAUDISCH, Freie und unfreie Wirbelströmungen idealer Flüssigkeiten. Durchströmt das Wasser einen Rotationshohlraum, so wird diese Strömung als Wirbelströmung bezeichnet, wenn neben achsialen und radialen auch Umfangskomponenten der Geschwindigkeiten auftreten. Tritt in einem Punkte des Rotationshohlraumes die Geschwindigkeit c auf, so kann dieselbe in die Achsialkomponente cz, die Radialkomponente cr und die Umfangskomponente cu zerlegt werden. Bezeichnet man diese Strömung als räumliche Wirbelströmung, so wird im Falle cz = 0 eine ebene Wirbelströmung vorliegen. Die folgenden Ableitungen beziehen sich – wenigstens vorerst – nur auf ebene Wirbelströmungen. Sind in dem Rotationshohlraume keine feststehenden oder umlaufenden Führungsflächen (Schaufeln) eingebaut, so ist die Strömung in der Umfangsrichtung als vollkommen freie Wirbelströmung zu bezeichnen. Sind darin aber Schaufeln eingebaut, durch welche dem Wasser eine bestimmte Bewegung aufgezwungen wird, so ist die Strömung in der Umfangsrichtung als unfreie Wirbelströmung anzusprechen. Ist die Schaufelzahl hierbei unendlich groß, so liegt eine vollkommen unfreie Wirbelströmung vor; ist dagegen die Schaufelzahl endlich, so ist die Strömung als unvollkommen freie, bzw. als unvollkommen unfreie Wirbelströmung zu betrachten. Wird näherungsweise das Wasser als ideale, reibungsfreie Flüssigkeit aufgefaßt, so sind alle diese Wirbelströmungen der Rechnung leicht zugänglich. 1. Die vollkommen unfreie Wirbelströmung werde hier, weil bereits wiederholt in der Literatur behandelt, vorausgeschickt. Sie entspricht, wie erwähnt, dem Falle, daß in einem Rotationshohlraume unendlich viele Führungsflächen (Schaufeln) eingebaut sind. Eine dieser Schaufeln – es seien vorerst nur ruhende Schaufeln betrachtet – sei in Atb. 1 in AA' dargestellt. O sei die Wirbelachse, demnach die Achse des Rotationshohlraumes, O' der dem Punkte M der Schaufel zugeordnete Krümmungsmittelpunkt. Befindet sich in M eine Wasser masse m, ist deren Geschwindigkeit längs der Schaufel c, so sind deren Umfangs- und Radialkomponenten cu und cr mit α als Neigungswinkel der Schaufel gegenüber der Umfangsrichtung durch cu = c cos α, cr = c sin α               (1) gegeben. Infolge der Krümmung der Wasserbahn (Krümmungshalbmesser O'M = ρ) wirkt auf m die Fliehkraft F=\frac{mc^2}{\rho}, welche durch die Festigkeit der Führungsfläche aufgenommen wird, in der Weise, daß die Rückwirkung der Schaufel durch die Zentripetalkraft \frac{mc^2}{\rho} ersetzt werden kann; diese Zentripetalkraft, sie ist eine vektorielle Größe, kann in die Umfangs- und Radialkomponenten \frac{mc^2}{\rho} und \frac{mc^2}{\rho} zerlegt werden. Textabbildung Bd. 343, S. 1 Abb. 1 Die auf m wirkende Umfangskraft Pu, die darauf wirkende Radialkraft Pr ergeben sich dann zu P_u=m\,\frac{dc_u}{dt}-m\,\frac{c^2}{\rho}\,sin\,\alpha,\ P_r=m\,\frac{dc_r}{dt}+m\,\frac{c^2}{\rho}\,cos\,\alpha. Unter Einführung des Wertes (1), sowie unter Berücksichtigung der Beziehung \frac{c_u}{r}=\frac{c}{\rho}     (2) welche besagt, daß die Winkelgeschwindigkeit des Punktes M hinsichtlich der beiden Drehungsmittel O und O' dieselbe sein muß,Vergl. die Ausführungen in der deutschen Wasserwirtschaft 1927, Heft 9, Seite 287. schreiben sich die den Kräften Pu und Pr zugeordneten Beschleunigungen b_u=\frac{P_u}{m} und b_r=\frac{P_r}{m} in Umfangs- und Radialrichtung in der Form b_u=\frac{dc_u}{dt}-\frac{c_rc_u}{r},\ b_r=\frac{dc_r}{dt}+\frac{{c_u}^2}{r}.     (3) Mit c_r=-\frac{dr}{dt}     (4) vereinfacht sich die erste Gleichung (3) auf b_u=\frac{1}{r}\ \frac{d(rc_u)}{dt}     (5) Die Gleichungen (3) und (5) gelten nicht nur für den Fall unendlich vieler ruhender Schaufeln AA', sondern auch für den Fall unendlich vieler um O umlaufender Schaufeln SS', wenn hierbei aus der Schaufel SS' welche den relativen Wasserweg darstellt, mit Hilfe des Geschwindigkeitsdreieckes w – u – c in bekannter Weise auf den absoluten Wasserweg übergegangen wird. Die Gleichungen (3) und (5) gelten auch für den Fall, daß das Wasser seine Bewegungsrichtung umkehrt; cr wechselt hierbei sein Vorzeichen. Nach Gleichung (5) kann bu ⋚ O sein. Ist bu < O, so wird das Wasser in der Unfangsrichtung verzögert. Bei umlaufender Schaufel – und diese sei hier allein verfolgt – entspricht dies einer Kraftmaschine mit ausschließlich oder wenigstens teilweise dynamischer Arbeitsübertragung im Laufrade, demnach z.B. einer Francisturbine. Ist bu > O, so wird das Wasser in der Umfangsrichtung beschleunigt, so daß bei umlaufender Schaufel eine Arbeitsmaschine, also eine Kreiselpumpe vorliegt. Ist schließlich bu = O, so erfolgt längs der Schaufel keine Arbeitsübertragung; es liegt dann das arbeitsfreie Schaufelende einer der genannten Turbomachinen vor. Der Fall bu = O ist, wie aus Gleichung (5) unmittelbar hervorgeht, durch die Beziehung r cu = konstant,     (6) den sogenannten Flächensatz gegeben. Er gilt, wie ersichtlich, für die arbeitsfreien Schaufelenden der erwähnten Turbomaschinen. Hat in einem Spezialfalle die Konstante in Gleichung, (6) den Wert O, so kann dies nur für cu = O erfüllt sein, was z.B. bei der Turbine der Schaufelung des Laufrades mit rein statischer Arbeitsübertragung, also den verschiedenen Formen der geradschaufligen Propellerturbine entspricht. Im Sonderfalle α = O° ist nach Gleichung (1) cr = O, nach Gleichung (4) demnach auch r = konstant; dann sind die Bahnen AA' und SS' Kreise mit dem Mittelpunkte O. Hierdurch geht die vollkommen unfreie Wirbelströmung in eine vollkommen unfreie kreisende Strömung über, wofür nach Gleichung (3) die Werte b_u=\frac{dc_u}{dt},\ b_r=\frac{{c_u}^2}{r}     (3) giltig sind. Dieser Sonderfall entspricht mit bu < O der Achsialturbine mit teils oder rein dynamischer Arbeitsübertragung, also etwa der Jonvalturbine, mit bu > O der achsialen Kreiselpumpe, während im Falle bu = O, also für cu = konstant arbeitsfreie Schaufelenden dieser achsial durchströmten Kreiselmaschinen vorliegen. Diese Schaufelenden sind bekanntlich krümmungsfrei. Der ganz spezielle Fall cu = O verkörpert die geradschauflige Achsialturbine oder Kreiselpumpe mit rein statischer Arbeitsübertragung, somit z.B. die geradschauflige Propellerturbine mit achsialer Durchströmung des Laufrades. Textabbildung Bd. 343, S. 2 Abb. 2. Im weiteren Sonderfalle α = 90° ist nach Gleichung (1) cu = O; hierfür verläuft die Bahn AA' rein radial. Die vollkommen unfreie Wirbelströmung geht in eine drallfreie Strömung über, in eine radiale Zuströmung zu einer Sinkstelle O, in eine radiale Abströmung von einem Quellpunkte O, je nachdem, ob cr zum oder vom Radmittel gerichtet ist. Hierfür ist nach den Gleichungen (3) b_u=O;\ b_r=\frac{dc_r}{dt}    (3'') Auch hier ist eine Arbeitsübertragung auf dynamischem Wege nicht mehr möglich. Dies ist bei den Kraftmaschinen z.B. durch die Flügelradturbinen nach Bauart Lawaczek, bei den Arbeitsmaschinen durch die Finksche, die sogenannte neutrale Schaufelung verwirklicht. 2. Die vollkommen freie Wirbelströmung entspricht, wie eingangs hervorgehoben, dem Falle, daß in einem Rotationshohlraume keine Führungsflächen eingebaut sind. Dies trifft z.B. bei den modernen Vollstrahlturbinen, also z.B. bei den Francisturbinen mit stark zurückgezogener Laufradeintrittskante, den sogenannten Sichelschaufelrädern, oder noch ausgeprägter, bei den Propellerturbinen zu, bei welchen der Schaufelspalt, also der Spalt zwischen Leit- und Laufradschaufeln sehr groß ist. Da die genaue Kenntnis der Strömung im Spaltraume für die Berechnung dieser Turbinen sehr wichtig ist, liegt gerade heute die vollkommen freie Wirbelströmung im Brennpunkt des Interesses der Hydrauliker. Ist AA' (Abb. 2) eine Stromlinie einer derartigen vollkommen freien Wirbelströmung, so unterscheidet sie sich von der früheren aufs einschneidendste dadurch, daß sie als absolut nachgiebig, als bar jeder Festigkeit zu betrachten ist. War früher die Führungsfläche AA' befähigt, ob ihrer Festigkeit eine Zentripetalkraft \frac{mc^2}{\rho} auf das Wasserteilchen auszuüben, so ist dies nun nicht mehr der Fall. Nun müssen auch die Komponenten -\frac{c_rc_u}{r} und \frac{{c_u}^2}{r} der Zentripetalbeschleunigung \frac{c^2}{\rho} in Umfangs- und Radialrichtung verschwinden, wodurch sich die Gleichungen (3) auf b_u=\frac{dc_u}{dt}.\ b_r=\frac{dc_r}{dt}     (7) vereinfachen. Die in der Richtung O'M wirkende Fliehkraft dF', welche auf die Elementarmasse dm'=\rho\,d\,\Psi\,d\rho\,dz\,\frac{\gamma}{g} mit dz als Höhe des Flüssigkeitselementes ausgeübt wird, muß nunmehr durch den nach außen von p auf p+\frac{\vartheta\,p}{\vartheta\,\rho}\,d\rho zunehmenden Flüssigkeitsdruck aufgenommen werden. Es ergibt sich daher \rho\,d\,\Psi\,d\,\rho\,dz\,\frac{\gamma}{g}\,\frac{c^2}{\rho}=\frac{\vartheta\,p}{\vartheta\,ro}\,d\rho\,.\,\rho\,d\Psi\,dz, oder vereinfacht \frac{\gamma}{g}\,\frac{c^2}{\rho}=\frac{\vartheta\,p}{\vartheta\,\rho}     (8) Während früher die Fliehkraft eine vektorielle Größe war, die in Komponenten zerlegt werden konnte, ist nunmehr die hierdurch hervorgerufene Pressungsänderung \frac{\vartheta\,p}{\vartheta\,\rho}\,d\,\rho eine skalare Größe, die nicht mehr in Komponenten in der Umfangs- und Radialrichtung zerlegt werden kann. Der skalare, also richtungslose Charakter dieser Pressungsänderung ergibt sich z.B. daraus, daß für die in Richtung OM wirkende Fliehkraft dF mit der Elementarmasse dm=rd\,\varphi\,dr\,dz\,\frac{\gamma}{g} aus der Beziehung rd\,\varphi\,dr\,dz\,\frac{\gamma}{g}\,\frac{{c_u}^2}{r}=\frac{\vartheta\,p}{\vartheta\,r}\,dr\,.\,rd\varphi\,.\,dz der Wert \frac{\gamma}{g}\ \frac{{c_u}^2}{r}=\frac{\vartheta\,p}{\vartheta\,\rho}     (8') berechnet werden kann, welcher mit den Beziehungen (1) und (2), sowie mit dr=\frac{d\rho}{cos\,\alpha} wieder in Beziehung (8) übergeht. Man erkennt aus einer Gegenüberstellung der Gleichungen (8) und (8'), daß beide zu derselben Druckzunahme nach außen führen, daß demnach keiner dieser Gleichungen eine bestimmte Richtung zugeordnet ist. Nach Gleichung (7) kann wieder bu ⋚ O werden. Ist bn < O, so wird das Treibmittel in der Umfangsrichtung verzögert. Dann liegt eine Kraftmaschine nach Art der Teßlaturbine vor. Ist bu > O, so wird die Flüssigkeit in der Umfangsrichtung beschleunigt, es liegt eine Arbeitsmaschine, etwa eine Flüssigkeitsbremse vor. Ist schließlich bu = O, so hat man es mit einer freien ungedämpften Wirbelströmung zu tun. Nach den Gleichungen (7) lautet die Kenngleichung einer derartigen freien Wirbelströmung cu = konstant      (9) Diese Gleichung ist der Strömung im Spaltraume der Turbinen zugrunde zu legen.Vergl. auch Z. d. ö. l. u.a. V. 19 7, Heft 3/4, Seite 31; bezw. die unmittelbare Ableitung in der „Wasserwirtschaft“ 1927, Heft 7, Seite 145. Im Sonderfalle α = O° ist, wie bereits erwähnt, nach Gleichung (1) cr = O und nach Beziehung (4) r = konstant. Es liegt dann eine freie kreisende Bewegung um O als Mittelpunkt vor. Hierfür ist nach den Gleichungen (7) b_u=\frac{dc_u}{dt},\ b_r=O     (7') Im weiteren Sonderfalle α = 90° ist nach Gleichung (1) cu = O; die Stromlinie AA' verläuft dann radial, so daß wieder eine drallfreie Strömung zu einer Si*kstelle, bzw. zu einem Quellpunkte O vorliegt. Hierfür gelten die Beziehungen b_u=O,\ b_r=\frac{dc_r}{dt}     (7'') identisch mit den Beziehungen (3''), so daß also in diesem letzten Sonderfalle die vollkommen freie und die vollkommen unfreie Wirbelströmung einander die Hand reichen. Textabbildung Bd. 343, S. 3 Abb. 3. 3. Die unvollkommen freie oder unvollkommen unfreie Wirbelströmung tritt bei endlicher Schaufelzahl auf. Auch sie ist für den Fall idealer reibungsfreier Flüssigkeit ohne irgendwelche Schwierigkeit zu behandeln. Sind AA' und A1A'1 (Abb. 3) zwei benachbarte Schaufeln einer derartigen Strömung, greift man zwischen denselben eine Stromlinie aa' heraus, so wird auf das in M befindliche Flüssigkeitselement ρ dΨ dρ dz eine Fliehkraft dF wirken, welche über nach außen zunehmende Flüssigkeitsdrücke schließlich von der Wandung AA' abgestützt wird. Die hierdurch hervorgerufene Zentripetalkraft dF, – sie ist negativ gleich dF – pflanzt sich in unverminderter Stärke wieder bis M fort, zerlegt sich dort wieder in die Umfangs- und Radialkomponente, so daß eine derartige Strömung schließlich wieder durch die Gleichungen (3) und (5) gekennzeichnet ist. Zu demselben Ergebnis kommt man, wenn die an die Schaufel AA' unmittelbar angrenzende Stromröhre s1 als vollkommen unfrai aufgefaßt wird. Ihre innere Begrenzung bb' stellt dann gewissermaßen wieder eine feste Wandung für die Nachbarstromröhre s2 dar, die dann wieder als vollkommen unfrei aufzufassen ist. Dies setzt sich bis zur nächsten Schaufel A1 A'1 fort. Bei idealen, reibungsfreien Flüssigkeiten kann daher die unvollkommen freie oder unvollkommen unfreie Wirbelströmung wie die vollkommen unfreie Wirbelströmung behandelt werden. Diese Auffassung wird bekanntlich in der Hydraulik (Stromfadentheorie) ganz allgemein und mit erwiesen gutem Erfolge angewendet, wiewohl man sich bewußt ist, daß der vorgeschilderte Strömungszustand äußerst labil ist. 1. Anmerkung: Wird nicht eine ebene, sondern eine räumliche Wirbelströmung ins Auge gefaßt, so tritt zu den Komponenten cu und cr wie erwähnt, noch eine Geschwindigkeitskomponente cz parallel zur Wirbelachse O. Hierfür ist die beschleunigende Kraft Pz, bzw. die Beschleunigung bz durch P_z=m\,\frac{dc_z}{dt},\ b_z=\frac{dc_z}{dt}     (10) gegeben. Je nach der Form der Begrenzungswände des Rotationshohlraumes ist b2 ⋛ O ∙ bz = O würde z.B. zylindrischen Begrenzungswänden entsprechen. 2. Anmerkung: Eine nicht unbedeutende Verwicklung tritt ein, wenn die Flüssigkeitsreibung berücksichtigt wird. Wären hierbei die vollkommen unfreie und die vollkommen freie Wirbelströmung noch mit verhältnismäßig einfachen mathematischen Mitteln zu bewältigen, so entzieht sich die unvollkommen freie oder unvollkommen unfreie Wirbelströmung heute noch vollständig jeder exakten rechnerischen Fassung. Hierbei werden sowohl ruhende, als auch bewegte Kanäle nicht in Stromlinien parallel zu den Schaufeln, sondern in wirr sich kreuzenden, verwickelten schraubenförmigen Bahnen durchflössen. Dieses äußerst komplizierte Strömungsbild ergibt sich als Auflösung des oben erwähnten labilen Strömungszustandes; es stellt ein bis heute ungelöstes Problem dar, da, je nach der Wandnähe, Stromfäden verschiedener Geschwindigkeit den Kanal endlicher Ausdehnung durchlaufen. Die Stromlinien größerer Geschwindigkeit werden, indem sie möglichst geradlinig bis an die Wandung vorzustoßen trachten, jene kleinerer Geschwindigkeit gewissermaßen an die Wand drücken, um dann an oder knapp vor der Wandung eine fast plötzliche viel schärfere Umlenkung zu erfahren. Infolge örtlich auftretender Wirbel kann das Strömungsbild sogar eine periodische Funktion der Zeit werden.