Kleinere Mitteilungen. Kleinere Mitteilungen. A. E. Wiener's graphische Verfahren bei Flächenberechnungen. Ein neues bemerkenswertes zeichnerisches Verfahren zur Ermittelung unregelmässig begrenzter Flächen ist nach American Machinist, 1898 Bd. 21, Nr. 20, S. 361, im folgenden kurz vorgeführt. Dieses ist auf die Zurückführung des gegebenen Flächeninhaltes auf eine Quadratfläche mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreieckes begründet, dessen Katheten Grenzwerte einer sogen. z-Kurve sind, welche aus den Ordinaten der Flächenstreifen der gegebenen Figur entwickelt wird. Bekanntlich ist F = Σ (y . Δx) oder F = ∫ f y d x . . . . . . . . . 1) die allgemeine Gleichung des Flächeninhaltes der Fig. 1 und F=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,y\,d\,x . . . . . . . . . 2) die begrenzte Gleichung. Wird der Inhalt des Flächenelementes ydx = zdz . . . . . . . . 3) dem Elemente eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieckes (Fig. 2) gemacht, so ist eine Hilfsgrösse eingeführt, deren Begehung zu ydx aus Fig. 3 ersichtlich ist. Um nun bei einem angenommenen Wert für z den entsprechenden Wert für dz zu finden, kann folgendes Kreisbogenverfahren eingehalten werden, welches sich übrigens auf den Aehnlichkeitssatz von Dreiecken \frac{d\,z}{d\,x}=\frac{y}{z}=\frac{a\,c}{a\,b} . . . . . . . 4) gründet, wobei c Fusspunkt des Viertelkreises vom Halbmesser y ist. Textabbildung Bd. 311, S. 131 Fig. 1. Textabbildung Bd. 311, S. 131 Fig. 2. Für zwei parallele Streifen 1 und 2, deren Ordinaten y1 und y2 sind, wobei den beiden dx Werten entsprechende dz Werte zukommen, folgt für einen angenommenen z1 Wert nur ein bestimmter z2 Wert, welcher aus dem Schnittpunkte d des aus c1 gezogenen Kreisbogens mit der Senkrechten durch den halben Parallelabstand mit c2 d als Halbmesser eines Kreisbogens gefunden wird. Aus dem nun ermittelten z2 Werte folgt selbstverständlich für die Flächengleichheit der entsprechende Wert für dz. Werden nun die Schnittpunkte d einer grösseren Anzahl Parallelstreifen durch einen Linienzug verbunden, so entsteht eine Kurve, deren Grenzwerte für die weitere Rechnung zu Bestimmungsgrössen (Fig. 5) werden. Nach Gl. 3 kann daher geschrieben werden F = ∫ydx = ∫zdz . . . . . . . 5) daher nach der Begrenzung F=\int\limits_{z_1}^{z_2}\,z\,d\,z . . . . . . . . . 6) Sind nun z die Ordinaten in einem gleichschenklig und rechtwinkligem Dreiecke (Fig. 5), so folgt als Flächeninhalt F=\frac{1}{2}\,({z_2-z_1}^2) . . . . . . . 7) Man braucht daher bloss die Grenzwerte z2 und z 1 der z Kurve zu ermitteln, um die Verwandlung des Flächeninhalts der gegebenen Figur in ein Quadrat vornehmen zu können. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 3. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 4. Wird aber, wie in Fig. 5a gezeigt, die Begrenzung der Werte z1 und z2 derart gewählt, dass z.B. z1 zu z2 entgegengesetzt steht, also F=\int\limits_{-z_1}^{z_2}\,z\,d\,z=\frac{1}{2}\,({z_2}^2+{z_1}^2) . . . .  . . 8) wird, so ist eine Uebereinstimmung mit der Rechenweise (Fig. 6) geschaffen, in welcher z2 und z1 die gefundenen Grenzwerte der z Kurve sind, die durch den Achsenschnittpunkt (Ursprung) von der positiven nach der negativen Seite verläuft. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 5. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 5a. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 6. Werden diese Grenzwerte z1 und z2 als rechtwinklig stehende Dreiecks-Reiten aufgetragen, so ist \sqrt{{z_2}^2{z_1}^2}=h die Hypothenuse im rechtwinkligen Dreieck. Wird nun h zur Diagonalen eines Quadrates bestimmt, so ist, da die Quadratseite l offenbar aus l 2 + l 2 = h 2 folgt, 2l2 = h2 und l^2=\frac{h^2}{2}=\frac{{z_2}^2+{z_1}^2}{2} . . . . . . . 9) als Quadratfläche anzunehmen. Um nun den Vorteil dieser einfachen zeichnerischen Rechnung sich nutzbar zu machen, und die Beziehung 8 mit 9 zu erfüllen, braucht man bloss den z1 Grenzwert der z Kurve negativ zu machen, was durch Teilung der gegebenen Fläche in zwei annähernd gleiche Abschnitte erfolgt, wie dies in Fig. 7 durchgeführt ist. Mit der Mittelordinate OO wird demnach die gegebene Fläche abgeteilt und zugleich im Schnittpunkt mit der Basislinie ab, der Durchgangspunkt O der z Kurve, der Wendepunkt derselben erhalten. Wird daher mit y0 als Radius ein Halbkreis aus c gezeichnet, so bilden die Fusspunkte a und b dieses Halbkreises auf der Basislinie die Krümmungsmittelpunkte der z Kurventeile aus O. Wird der Abstand aO der beiden Ordinaten, sowie jener Ob halbiert, und mit deren Senkrechten die beiden Krümmungskreise geschnitten, so werden die folgenden Krümmungskreise durch diese Schnittpunkte d und f geführt. Die Krümmungsmittelpunkte g1 und h liegen wieder in der Basislinie und sind die Fusspunkte der Viertelkreise, welche der Anfangsordinate y1 und der Endordinate y2 als Halbmesser entsprechen. Weil nun zufälligerweise die Endordinate y2 = 0 Wert hat, so fällt der Fusspunkt h in die Endordinate, und ist zugleich Mittelpunkt des Krümmungskreises durch den Schnittpunkt f. Die z Kurve wird aber durch die Endordinaten begrenzt und gibt in ihren Abschnitten darauf die Grenzwerte z1 und z2 , welche nach Gl. 8 in Fig. 6 die vorbeschriebene Anwendung finden. Diese z Kurve ist des besseren Verständnisses der Rechenmethode wegen auf drei Punkte bezw. vier Ergänzungskreise beschränkt, das Endergebnis daher ungenau. Bei Annahme einer grösseren Ordinatenzahl (Fig. 8) ist das Schlussergebnis selbstverständlich ein entsprechend genaueres. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 7. Textabbildung Bd. 311, S. 132 Fig. 8. In dem angezogenen Beispiel (Fig. 8) handelt es sich um ein Indikatordiagramm, dessen Fläche in eine Quadratfläche von der Seitenlänge l verwandelt ist. Da beim Indikatordiagramm es weniger auf den Flächeninhalt in Bezug auf den reduzierten Kolbenhub s, da die Diagrammfläche ohnedies auf 1 qcm Kolbenfläche bezogen ist, daher die mechanische Arbeit als reduzierte Fläche zur Darstellung bringen kann, so ist es allgemein üblich, die Diagrammfläche F = l 2 = s . p in eine Rechteckfläche umzuwandeln, also die auf den Diagrammhub s bezogene mittlere Spannung pm = p zu ermitteln. Dieses p findet man im Abschnitt der zweiten Quadratseite, welche zu l und s Proportionale ist, wie dies aus der Dreieckähnlichkeit zu erweisen ist, wobei \frac{p}{l}=\frac{l}{s} also p=\frac{l^2}{s} folgt. Bücherschau. Der Graphit, seine wichtigsten Vorkommnisse und seine technische Verwertung von Dr. E. Weinschenk. Hamburg. Verlagsanstalt und Druckerei A.-G. (vormals J. F. Richter). 50 S. Dieses Heft 295 der Sammlung gemeinverständlicher wissenschaftlicher Vorträge, herausgegeben von Rud. Virchow, gibt eine interessante Beschreibung des Vorkommens, der Gewinnung, der Eigenschaften und der Verwendung des Graphits; zurückgreifend auf die prähistorischen Zeiten der Bekanntschaft der Menschheit mit dem Graphit, wird die industrielle Verwendung desselben bis zu dem heutigen Stand dieser in populärer Art besprochen.