Bücherschau. Bücherschau. Herausforderung an alle Mathematiker der Welt oder die Losung der Fermat'schen Probleme. Von Friedrich August Otto. 96 Seiten und ein Ergänzungsblatt. Berlin 1918. Carl Kroll. Die prätentiöse „Herausforderung“ und viele sehr selbstbewußte Bemerkungen nebst geringschätzigem Aburteilen berühmter Mathematiker wie Dirichlet, Kummer und Hilbert lassen mich auf das Buch genauer eingehen, als es dies verdient. Vielleicht gelingt es mir auch, den Autor und andere seines Schlages durch Belehrung zu heilen. Seite 85 beschäftigt sich Verfasser mit der dritten Aufgabe des fünften Buches Diophants. Dort steht ein Porisma: „Wenn a + q, b + q und ab + q Quadrate sind, so sind die Wurzeln aus a + q und b + q zwei um die Einheit verschiedene Zahlen.“ Verfasser fügt wörtlich hinzu: „Ich will diesen Satz beweisen und verallgemeinern. Sei a + q = x2, dann ist nach meiner Verwandlung der unbestimmten Gleichungen: a (1 ± 2nx + n2a) + q = (x ± na)2. Sei jetzt 1 ±  2nx + n2a = b und hierin a = x2 – q eingesetzt, so wird b + n2q = (nx ±  1)2, so daß der Satz ausgesprochen werden kann: Sind allgemein a + q, b + n2q und ab + q Quadrate, dann bestehen die Gleichungen: a + q = x2 und b + n2q = (nx ±  1)2.“ Herr Otto, der die Mathematiker der ganzen Welt herausfordert, bemerkt nicht, daß das Porisma falsch ist. Beispiel: 3 + 1 = 22, 120 + 1 = 112, 3 . 120 + 1 = 192 aber doch ist nicht 11 – 2 = ± 1. Also ist auch der allgemeine Satz falsch. Beispiel: q = 1, n = 7, a = 8, b = 15, 8 + 1 = 32, 15 + 72 . 1 = 82, 8 . 15 + 1 = 112 und doch ist nicht: 8 = 7 . 3 ± 1. Der Fehler bei Diophant besteht in einer unberechtigten Umkehrung eines Satzes, beim Verfasser ebenfalls darin, daß er durch seine Methode nicht alle Lösungen des Systems unbestimmter Gleichungen gewinnt bzw. berücksichtigt, also auch nicht umkehren darf. Das spricht nicht sehr für die „Tiefe seiner Theorie der unbestimmten Gleichungen.“ Da schon der nächste Satz, wo Verfasser Fermat „in eine Sackgasse geraten läßt“, auf einer durch Verfasser falsch angesetzten Gleichung beruht – die richtige heißt (x2 – y2)xy = 2(u2 – v2)uv –, so können wir wohl den ganzen Abschnitt XV, der „verschiedene Lehrsätze, Beweise usw.“ enthält, aus der ferneren Betrachtung ausschalten. Das Ziel, sofort handgreiflich zu zeigen, wes Geistes Kind der Herausforderer ist, so daß er es durch einfaches Nachrechnen einiger Zahlen selbst erkennen kann, ist erreicht. Er müßte sich nun selbst sagen: „Wenn ich in diesen einfachsten Dingen Fehler mache, so wird wohl auch der viel schwierigere Hauptgegenstand meines Buches, die Kritik der bisherigen Lösungen des letzten Fermatproblems und meine eigene Lösung desselben mangelhaft sein. Ich ziehe daher meine „Herausforderung“ zurück, rühre keinen Finger mehr wegen des Fermat-Wolfskehlproblems, erhole mich lieber in Wald und Feld oder mache praktische Arbeit, die ich verstehe, und bin zugleich meiner Familie und meinen Freunden als Mensch wiedergewonnen.“ Aber nach unseren Erfahrungen geben die „Fermatiker“ ihre Sache um so schwerer auf, mit je dürftigeren Mitteln sie ausgestattet sind. Kommen wir zum letzten Fermatproblem. Verfasser glaubt (Seite 35), daß die Unmöglichkeit der Lösung von xm + ym = zm für den Fall, daß x, y, z durch m nicht teilbar sind und m eine Primzahl von der Form 6n – 1 ist, erweisbar ist „wie im Folgenden gezeigt wird“. Er sagt, daß für kleinste Reste (mod m) zwei Zahlen a und v gefunden werden müßten, so daß 1 + um ≡ vm (mod m2), wenn die Lösung möglich sein soll. Das ist natürlich richtig. Aber er zeigt nur für m = 5. 11, 17, 23, 29, daß es eine solche Kongruenz nicht gibt. Hätte er sich noch weiter bemüht, dann hätte er das von Waldemar Meißner, der auch als niederste Primzahl p für die 2p – 1 ≡ 1 (mod p2) ist, p = 1093 gefunden hat, mir vor vier bis fünf Jahren im Gespräch mitgeteilte Beispiel m = 59 gefunden. Es ist sowohl 1 + 359 ≡ 459 (mod 592), als auch 1 + 459 ≡ 559 (mod 592), wodurch gleich zwei Möglichkeiten geliefert sind. Es ist 359 ≡ 298, 459 ≡ 299, 559 = 300. Auf diese Weise also ein Viertel des Fermatschen Problems erledigen zu können, erweist sich als eitler Wahn, Herr Otto! Aus der Identität xm + ym = zm, wo m eine ungerade Primzahl ist, gewinnt Verfasser durch Setzen von z = y + h die Gleichung: xm = 2m – ym = (y + h)m – ym = mhyM + hm, wo M leicht zu bestimmen ist Es folgt dann, falls x nicht durch m teilbar ist, daß h eine m-te-Potenz ist, also etwa: h = tm, x = tC und (Seite 80) II myM + (tm – 1)m = Cm. Dies muß eine Lösung von (A) myξ + (tm – 1)m = ζm sein, wo m bzw. my und tm – 1 festgehalten werden, yξ bzw. ξ und ζ die unbekannten Bestimmungsgrößen sind. Alle Lösungen dieser Gleichung lassen sich aber auf gewisse „Grundlösungen“ zurückführen, die dadurch erhalten werden, daß man ζ durch Subtraktion von Vielfachen des Koeffizienten m bzw. my, je nachdem man yξ oder ξ als Bestimmungsgröße betrachtet, auf seinen kleinsten positiven Wert bringt. Kennen wir alle Grundlösungen, so lassen sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von m bzw. my alle Lösungen der Gleichung (A) entwickeln und unter diesen Lösungen muß sich auch die der Fermatgleichung wiederfinden. Nehmen wir als ersten Koeffizienten die Primzahlm, so kann die Gleichung (A) nur eine Grundlösunghaben, denn gäbe es zwei verschiedene, etwa mN1 + (tm – 1)m = αm, mN2+ (tm – 1)m = βm, wo α < m, β < m und α ≷ β, so könnte αm – βm, bzw. α – β nicht durch m teilbar sein, was aber durch Subtraktion aus den beiden Gleichungen folgen würde. Diese eine Grundlösung ist aber sehr einfach zu finden. Sie folgt aus (A) durch Nullsetzung von ξ als „Nullösung“. Es wird dann ζ = tm – 1 oder (tm – 1)m = (tm – 1)m, was mod m reduziert ergibt: mP + (tm – 1)m = (tm – 1 – mu)m, wo tm – 1 – mu < m. Daraus erhält man sicher durch Addition eines passenden Vielfachen von m in dem rechtsstehenden Klammerausdruck die obige Gleichung II. myM + (tm – 1)m = (tm – 1 – mu ± mv)m = (tm – 1 + mQ)m = Cm (B) Der weitere Fortgang enthält einen Fehler, den Verfasser in dem Ergänzungsblatt zu bessern sucht. Verfasser behauptet nämlich, daß Q hier durch y teilbar sein muß, während doch nur (tm – 1 + mQ)m – (tm – 1)m = mQR ≡ 0 mod y folgt, also QR, nicht aber notwendig Q durch y teilbar sein würde. „Q teilbar durch y“ würde in der Tat zum Ziele führen! Um das zu bessern, nimmt Verfasser als festen Koeffizienten nicht m, sondern my. Er erhält dann aus der Nullgleichung die erste Grundgleichung myP + (tm – 1)m = (tm – 1 – myu)m = α1m, wo α1 < my. Von dieser sucht er ebenfalls zu beweisen, daß es die einzig mögliche sei. Beständen hier zwei Grundgleichungen myP + (tm – 1)m = α1mmyP1 + (tm – 1)m = α2m (α1 < my, α2 < my, α1 ≶ α2), so wäre der Schluß aus α1m – α2m = 0 (mod my), also α1 – α2 ≡ 0 (mod my) nicht mehr berechtigt. Aber es gäbe dann zwei Grundgleichungen mit dem Koeffizienten m, was nicht anginge. Das ist ein neuer Fehler, denn es könnten sehr wohl beide Grundgleichungen mit my zu einer und derselben einzigen Grundgleichung mit m gehören, indem α1 ≡ α2 (mod m), wenn auch nicht (mod my) wäre. Die weitere Reduktion von α1, α2 auf Werte < m würde also zu dem gleichen Werte α bei beiden Gleichungen führen können. Der letzte Fermatsche Satz ist also noch nicht bewiesen, Herr Otto! Wir können übrigens die rätselhafte Gleichung (B) viel klarer herstellen, woraus sofort hervorgeht, daß Q nicht durch y teilbar sein kann. Es ist nämlich xm = xm. Statt des linken xm schreiben wir zm – ym, statt des rechten [(z – y) + (x + y – z)]m = [tm + (x + y – z)]m. Links kann ferner zm – ym – tmm + tmm geschrieben werden. Nun dividieren wir beide Seiten durch tm. Dann folgt: y\,\frac{(y+h)^{\mbox{m}}-y^{\mbox{m}}-t^{\mbox{mm}}}{y\,t^{\mbox{m}}}+(t^{\mbox{m}-1})^{\mbox{m}}=\left(t^{\mbox{m}-1}+\frac{x+y-z}{t}\right)^{\mbox{m}}. Nun ist, wenn entsprechend x = tC auch y = uD geschrieben wird, wo um = z – x. x + y – z = mtuDt, also wird die rechte Seite (tm – 1 + muDt)m, und wir sehen, daß muDt als Teiler von x + y – z nicht y, sondern von y nur den Faktor u enthalten kann, den y mit z – x gemeinsam hat. Links aber steht, da tm = h ist, genau myM + (tm – 1)m wie in (B). Die ganze „Theorie der unbestimmten Gleichungen“ des Verfassers ist, um dies Resultat zu erzielen, also überflüssig! Aus Raummangel und weil es sich nach dem Ausgeführten wenig lohnt, muß auf eine Zurückweisung der Ausfälle, die Verfasser gegen Dirichlet, Kummer und Hilbert richtet, verzichtet werden. Verfasser hat sichtlich seine Seele von jedem Verständnis ihrer hervorragenden Leistungen ferngehalten. Ganz richtig jedoch verlangt er „einen regelrechten möglichst elementaren Beweis, daß die von Euler angewandte Zerlegung alle Zahlen der Gleichung p2 + 3q2 = s3 umfaßt, wo p und q unter sich teilerfremde Zahlen sind“. Er führt Gegenbeispiele an, aber nicht etwa für die Gleichung p2 + 3q2 = s3, wohl aber p2 – 3q2 = s3, wo durch analoge Zerlegung p = t(t2 + 9u2) und q = 3u(t2 + u2) gewonnen wird, welche Ausdrücke aber nicht die Lösung 472 – 3 . 22= 133 enthalten. Der grundlegende Unterschied zwischen beiden Formen links, der bekanntlich eine große Rolle spielt und mit den Einheiten zusammenhängt, ist ihm aber völlig verborgen geblieben. Daran bessert auch nichts, daß auch für die Gleichung p2 + 7q2 = s3 die Lösung 572 + 7 . 112 = 163 als nicht aus den Formeln abzulesen angegeben wird. Verfasser kann nicht sagen, daß seine kühne Herausforderung grob zurückgewiesen sei. Im Gegenteil. Wir sind geradezu mit Liebe und vor allem rein sachlich auf die vielen Mängel seines Machwerks eingegangen und können deshalb vielleicht hoffen, daß er unseren oben gegebenen Rat wenigstens insofern befolgt, als er es aufgibt, das schon unter der Presse befindliche größere Werk „Probleme der Arithmetik“ wirklich auf die Menschheit loszulassen. Albert Fleck. Getriebelehre. Eine Theorie des Zwanglaufes und der ebenen Mechanismen. Von Martin Grübler. Berlin 1917. Julius Springer. Preis geh. 7,20 M. Im Laufe der Zeit hat die Darstellung der Kinematik in ihren führenden Lehrbüchern eine weitgehende Wandlung erfahren. Bei Reuleaux war es in erster Linie eine Systematisierung des umfangreichen Gebietes, die freilich von der technischen Welt ziemlich geschlossen abgelehnt wurde; Burmester befaßt sich im bewußten Gegensatz dazu hauptsächlich mit der Untersuchung der Bewegungsvorgänge, und zwar der Bahnen, welche die einzelnen Punkte einer gegebenen kinematischen Kette durchlaufen; auch von anderer Seite wurde gerade dieser Teil der Kinematik besonders ausgebaut, so zum Beispiel von R. Hartmann. Grübler geht in dem vorliegenden Bändchen von 154 Seiten Text mit 202 Abbildungen erheblich weiter. Auf den ersten 12 Seiten werden die Grundbegriffe und die kinematische Analyse überhaupt erörtert, es folgen dann auf den Seiten 13 bis 38 die Bedingungen der Zwangläufigkeit für die ebenen geschlossenen und ungeschlossenen kinematischen Ketten, die auf einen einfachen ganzzahligen Zusammenhang der Anzahl der vorhandenen Glieder hinauslaufen, ihnen schließt sich auf den Seiten 39 bis 61 an die Untersuchung der komplanen Bewegung einer starren Ebene, d.h. einer solchen, bei der alle ihre Lagen innerhalb einer anderen Ebene verbleiben, und die Relativbewegung von drei und mehr komplanen Ebenen. Man erkennt schon hieraus, daß die Grüblersche Darstellung allgemeiner gefaßt ist als die bisher gebräuchliche. Als Erweiterung folgt eine eingehende Erörterung des Bewegungs- und Geschwindigkeitszustandes der zwangläufigen Ketten mit ihren Grenz-, Verzweigungs- und Wechsellagen (Seite 62 bis 101). Nach einer kurzen Besprechung über die Aufsuchung neuer Mechanismen und der Art, wie den dabei etwa gestellten Forderungen der Zwangläufigkeit, bestimmter gegenseitiger Lagen, bestimmter Bahngeschwindigkeiten und Beschleunigungen genügt werden kann (Seite 102 bis 115), gibt der Schlußabschnitt einen ausführlichen Abriß über den Beschleunigungszustand der kinematischen Kette. Die knappe, klare Ausdrucksweise des Buches ist besonders hervorzuheben, leider wirken bisweilen Druckfehler gerade in den Herleitungen der Formeln, wo öfters die griechischen Buchstaben vom Setzer vertauscht worden sind, störend. Durchweg wird neben der rechnerischen Untersuchung der gestellten Aufgabe auch die zeichnerische Lösung erörtert und, so weit nötig, an bestimmten Beispielen neuerer bzw. ziemlich kompliziert zusammengesetzter Getriebe wie zum Beispiel der Walschaert-Steuerung durchgeführt. Das Buch bietet jedem Ingenieur, der sich mit der Untersuchung der Bewegungs-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverhältnisse von ebenen Getrieben, Steuerungen usw. zu befassen hat, eine knappe Zusammenfassung aller der Methoden, die zur Lösung der an ihr herantretenden Aufgaben erforderlich sind. Die oft mißbrauchte Aeußerung „das Buch füllt eine bisher vorhanden gewesene Lücke aus“ ist hier durchaus am Platze. P. Stephan. Haus- und Geschäfts-Telephonanlagen. Von Carl Beckmann. Eine kurz gefaßte Belehrung für alle, die sich eine Telephonanlage beschaffen wollen, mit einem Anhange der wichtigsten, gesetzlichen Bestimmungen über Postnebenstellen. (Sammlung Vieweg. Tagesfragen aus den Gebieten der Naturwissenschaften und der Technik. Heft 34.) Braunschweig. Friedrich Vieweg & Sohn. Der Verfasser verfolgt den Zweck, einem Laien, der die Absicht hat, sich eine Telephonanlage zu beschaffen, mit den gebräuchlichsten Systemen der Reichspost und der Privatindustrie bekannt zu machen, damit er ein Urteil darüber gewinnen könne, welches von diesen Systemen für den von ihm beabsichtigten Zweck das vorteilhafteste ist. Im Hinblick auf die äußerst zahlreichen und umfangreichen Systeme muß das Werk, das nur 86 Seiten umfaßt, als äußerst beschränkt bezeichnet werden; dies könnte indessen dem Verfasser nicht zum Vorwurf gemacht werden, da sich bekanntlich in der Beschränkung erst der Meister zeigt. Bei näherem Zusehen zeigt sich indessen, daß bei aller Meisterung des Stoffes die Beschränkung zu seinem Nachteile ausgefallen ist, indem Verfasser in der Hauptsache nur die Fabrikate einer speziellen Firma, nämlich der Firma Mix & Genest näher beschreibt. Wenn nun auch im Prinzip sämtliche Systeme auf denselben Zweck hinauslaufen, nämlich mit möglichst einfachen Handgriffen der manchmal sehr komplizierten Schaltungen Herr zu werden, so mußte in einem Werk, das auf Belehrung Anspruch erhebt, doch diese Belehrung etwas allgemeiner aufgefaßt werden, das heißt es mußten auch diejenigen zu Worte kommen, welche außer der oben genannten Firma sich mit diesem Stoff beschäftigt haben, und wie nicht abgestritten werden kann, mit großem Erfolg beschäftigt haben. Man kann daher zwar sagen, daß es dem Verfusser gelungen ist, sein Auditorium mit den Konstruktionen der Firma Mix & Genest bekannt zu machen und daß es dem Laien hiernach wohl möglich ist, das seinen Zwecken am besten entsprechende System dieser Firma auszuwählen, daß er aber über die unzähligen Konkurrenzfabrikate mit Stillschweigen hinweggegangen ist. Im einzelnen ist zu bemerken, daß die Schaltungsschemata meist recht unübersichtlich sind, indem nur die Anschlußklemmen der einzelnen Apparate verzeichnet sind, nicht aber der Stromlauf in den Apparaten selbst, und wenn auch bei verwickelten Schaltungen im Interesse der Uebersichtlichkeit hiervon abgesehen werden könnte, so müßte doch verlangt werden, daß wenigstens bei der Beschreibung der einzelnen Apparate ein Schaltungsschema beigefügt wäre, aus dem die Verbindung der einzelnen Teile untereinander ersichtlich wäre; aber auch das ist nicht geschehen, und so tappt derjenige, der sich über die Schaltungen wirklich genau unterrichten will, vollständig im Dunkeln. Wenn zum Beispiel Verfasser auf Seite 67 behauptet, daß von den Spulen der Batterie g in gleicher Weise viele andere Telephonverbindungen abgezweigt werden können, ohne daß eine gegenseitige Beeinflussung stattfindet, so hätte er wenigstens die Abzweigung mehrerer Telephonverbindungen schematisch darstellen müssen, um glaubhaft zu machen, daß dies tatsächlich möglich ist; so aber steht der Fachmann vor einem Rätsel, und bei dem Laien werden falsche Vorstellungen erweckt. Uebrigens leiden fast alle Lehrbücher über Telephonanlagen an diesem Uebelstand und es wäre wünschenswert, daß hier endlich einmal Wandel geschaffen wird, damit auch demjenigen, der zwar Schaltungen zu verfolgen versteht, der aber mit den Einzelheiten von Telephon-Schaltanlagen nicht ganz vertraut ist, das Verständnis dafür nicht verschlossen bleibt. Dr. Koepsel. Der Bau des Dieselmotors. Von Kamillo Körner. 349 Seiten Groß-8° mit 500 Textfiguren. Berlin 1918. Julius Springer. Preis 30,– M. Mit der Herausgabe des vorliegenden Werkes beabsichtigte der Verfasser, wie er in dem Vorwort selbst hervorhebt, weniger ein wissenschaftliches als ein konstruktiv praktisches Werk zu veröffentlichen. Dieser Absicht entsprechend besteht der Hauptwert des umfangreichen Werkes in einer überreichen Fülle durchweg vorzüglicher Ausführungszeichnungen, herstammend von den bekanntesten Firmen, die sich überhaupt mit dem Bau von Dieselmotoren befassen. Anzuerkennen und zu bewundern ist dabei neben den Bemühungen des Verfassers die Freigebigkeit, mit welcher die Fabriken die Einzelheiten ihrer Bauart der Oeffentlichkeit zugänglich gemacht haben, Wie der Verfasser im Vorwort erwähnt, war das Buch schon vor Ausbruch des Krieges im Druck fertig und sein Erscheinen wurde nur durch allerlei mit dem Kriege zusammenhängende Ursachen verzögert. Es sind daher die neuesten Gestaltungen in dem Werke noch nicht berücksichtigt, doch ist wohl anzunehmen, daß ohnehin die meisten Firmen oder auch die Zensur mit einer solchen Veröffentlichung allerneuester Einzelheiten nicht einverstanden gewesen wären. Uebrigens behandelt das Werk überhaupt mehr die Einzelheiten des Dieselmotors in seiner allgemeinen Bauart, während die Verwendung des Dieselmotors zu Sonderzwecken, Versuchsergebnisse, Angaben über Wirtschaftlichkeit, Raumbedarf und dergleichen einer späteren Veröffentlichung des Verfassers vorbehalten sind. Das Werk stellt eine wertvolle Bereicherung der deutschen technischen Literatur dar und dürfte bald in keinem Konstruktionsbüro fehlen, in welchem Dieselmotoren entworfen werden. Die Ausstattung und namentlich die Ausführung der vielen Abbildungen ist vortrefflich. R. Vater. Planimetrie zum Selbstunterricht. Von P. Crantz. Zweite Auflage. (Aus Natur und Geisteswelt. B. 340.) Leipzig 1918. B. G. Teubner. Preis 1,50 M. Es ist eine recht geschickte Einführung in die Grundlehren der Planimetrie. Der Verfasser legt Wert darauf, die Beweise anschaulich zu entwickeln. In dieser Richtung könnten vielleicht die Beweise der Sätze des Pythagoras und des Euklid noch weiter vereinfacht werden. Auch könnte der Verfasser getrost mit der altehrwürdigen Ueberlieferung brechen, vier Aehnlichkeitssätze aufzustellen, obwohl auch drei genügen. Es verdient noch hervorgehoben zu werden, daß praktische Anwendungen und Aufgaben in größerer Zahl eingestreut sind, deren Lösungen teils ausführlich besprochen, teils kurz angedeutet werden. E. Jahnke.